复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数一、 选择题 1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3i（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z（C ）)1(11<=--a aza z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+-0)Im()Im(z z -）11．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部六、对于映射1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z yx +≤≤+2.1（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析456 数a （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iz iz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-1234．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e 的全部解为三若记(z w 12. 七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有sv n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n ∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1 234c （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c 23)1(21cos ( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分⎰i 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( )（A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关iv u +是 ( （A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -12345c 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分则六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明22222)(4))(1ln())(1ln(z f z f z f '+∂+∂1 2（C ） ∑∞=1n nn i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+11(1n n in（B ）∑∞=+-12)1([n n n i n(C)∑∞=2ln n nni （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛5321,,R R 67．幂级数∑∞=12(2n n z n 的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( ))12（A ）)2(2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n nn z z c)(0，c 为H 内绕0z) m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ．2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那径数收敛域的外半径=R ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ． 三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． 四、试证明1．);(11+∞<≤-≤-z ez e e zz z2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z12七)1，在z <八、设在R z <内解析的函数)(z f 有泰勒展开式 +++++=n n z a z a z a a z f 2210)(试证当R r <≤0时∑⎰∞==022202)(21n n n i r a d re f πθθπ.九、将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.十、试证在+∞<<z 0内下列展开式成立：∑∞=+++=101)1(n nn n zz z z c c e其中),2,1,0(cos 10cos 2 ==⎰n d n e c nπθθθπ.第五章 留 数一、选择题：12)()z g 的( 3（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323zz z ++的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点61-78z ze z1-9．下列命题中，正确的是( )（A ） 设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s（D ） 若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( )则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z f 的一级极点，并且1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) i12留数Re ．3．设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ．6．设212)(zzz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(z zz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9１．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2 七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f t t t Φ=+-⎰πθθθθθπB ）（C ） A ）33三、]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）．四、当10≤≤a 时解为i a )11(-±±或)11(-+±a当+∞≤≤a 1时解为)11(-+±a .六、像的参数方程为π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u ．表示w 平面上的椭圆1215()217(2222=+v u . 十、1．)(z f 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；2．)(z f 在复平面处处连续.A ） D ） C ） 147．3,2,1,044sin 44(cos 28=+k i 8．),2,1,0(2 ±±=π-k e k9．34arctan - 10．),2,1,0(2 ±±=πk i k四、1．;sin )(z z f -=' 2．.)1()(z e z z f +='五、zw e w dz dw z2322--=, 22222222)23(2431268234)(6z w z e e w e w w e w z w e dzdw dz dw w dzwd z z z z z-+---+=--+-=. 七、c i z i z f )1(21)(2++-=.c 为任意实常数.（B ）．（C ） ．（B ）三、1．当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0.2．0.六、i π2. 七、0.八、,8)()1(122i dz zz f z z π=+⎰=π=θθ⎰πθ2)(2cos 202d e f i . 十、321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数）.第四章 级 数一、1．（C ） 2．（C ） 3．（D ） 4．（A ） ５．（D ）10．（B ）15．（C ）4 三、)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ，),2,1,0(}251()251{(5111 =--+=++n a n n n .六、3)1()1()(z z z z f -+=，6.九、.n n nk k z k n z z z z z z )1()1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+ 第五章 留 数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ） ５．（B ）６．（C ） ７．（A ） ８．（D ） ９．（C ） 10．（A ）15．（C ）5．1．ei π 六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π.。