复变函数试题及答案

成绩

西安交通大学考试题

课程复变函数（A）

系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号

姓名学号期中期末

1. 填空（每题3分，

2. 共30分）

1．＝

2．＝0是函数的

（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）

3. ,则＝

4.

5. 函数在处的转动角为

6. 幂级数的收敛半径为 =____________

7.

8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则

9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________

10．

二．判断题（每题3分，共30分）

1．在解析。【】

2．在点可微，则在解析。【】

3．是周期函数。【】

4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】

5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】

6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】

7．为大于1的正整数, 成立。【】

8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】

9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。

四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。

五．（8分）计算积分。

六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。

七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)

1. ；

2. 三级极点；

3. ；

4. 0 ；

5. 0 ；

6. ；

7. ；

8. 0；

9. 0 ；10. 。

二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。

三(8分) 解: 1)在

-----4分

2) 在

--4分

四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

--------3分

--------6分

故 ---------8分

五.(8分) 解: -------3分

由于1+i在所围的圆域内, 故

-------8分

六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对)

七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:

代入初始条件,得 --------4分

故, ---------8分(用留数做也可以)

复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ；

9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。

三.(8分) 解:因为是调和函数,则有

,即故 ---------2分

1) 当时, , 由C-R方程,

, 则 , 又由

，故 , 所以。

则 ----------3分

2) 当时, , 由C-R方程,

, 则 , 又由

，故 , 所以。

则

四(8分) 解: 1)在

-----4分

2) 在

-------4分

五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

--------3分

--------6分

故 ---------8分

六.(8分) 解: -------3分

由于1+i在所围的圆域内, 故

-------8分

七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对)