复变函数试题及答案

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复变函数期末试题

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）判断题（20分）1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z0是)(z f 的m 阶零点，则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9.z zsin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证:()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在.( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n n f .( )二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是)('z f 的_____零点.6. 函数ez 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-z z .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz =处的值.3. 计算积分：⎰-=iizz I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D 内解析，试证：f(z)在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.( )5. 若函数f(z)是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D 内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是)(z f 的m 阶零点, 则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f .( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的定义域为___________.2. 函数ez 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设1-=ze ，则___=z . 9. 若0z 是)(zf 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zz e .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数n n nz n n ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。

答案：$(1+i)^3=-2+2i$。

2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。

答案：$(-2+i)^4=7-24i$。

3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。

答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。

4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。

答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。

5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。

答案：$z^*=2+i$。

6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。

答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。

7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。

答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。

答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。

答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。

10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。

答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数试题(卷)和答案解析

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43 ９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+-13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. 五、设复数i z ±≠，试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z yx xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222--（B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+-（D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1-（D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( ) （A ）2（B ）i 2（C ）i +1（D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )（A ）0（B ）1（C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( ) （A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --=（D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( ) （A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1（D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i -（B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz wd dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2iπ-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin -（B ）1sin （C ）1sin 2i π-（D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π（B ）0（C ）1cos 6i π（D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2-（B ）1-（C ）i π2（D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2（B ）等于i π2-（C ）等于0（D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰c z dz ze （）（A ）21e π-(B) 21e π--(C)i e 21π+(D) i e 21π- 9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( )（A ）i π22（B ）i π2（C ）0（D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2（B ）eiπ2（C ）0（D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是( )(A)c iz +2（B ）ic iz +2 （C ）c z +2（D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v +（B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u -（D ）xv i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π =+⎰cdz zzz6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a fnn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >>（C ）321R R R <=（D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1（B ）2（C ）2（D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z +（B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+（B ）1（C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1（D ）不存在的 11．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π（D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41（D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4 二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n n n z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f rn n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+-13．00)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3-（B ）2-（C ）1-（D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z i z三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z±≠，试证21z z +是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性： 1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy z f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是() （A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是()（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4．下列函数中，为解析函数的是()（A ）xyi y x 222--（B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+-（D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数() （A ）等于0（B ）等于1（C ）等于1-（D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ()（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ()（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ()（A ）2（B ）i 2（C ）i +1（D ）i 22+10．i i 的主值为()（A ）0（B ）1（C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上()（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --=（D ）)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，则α1()（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1（D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是()（A ）3)1(i -（B ）i cos （C ）i ln （D ）i e23π- 15．设α是复数，则()（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz （C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim 0 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx ++-= 五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw . 六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A ）i 6561-（B ）i 6561+-（C ）i 6561--（D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z z c ⎰+-2)1)(1(为() （A ）2iπ（B ）2iπ-（C ）0（D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z z c c c 212sin () （A ） i π2-（B ）0（C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z z c 2)1(cos () （A ）1sin -（B ）1sin （C ）1sin 2i π-（D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c 23)1(21cos () （A ）)1sin 1cos 3(2-i π（B ）0（C ）1cos 6i π（D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(() （A ）i π2-（B ）1-（C ）i π2（D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)(() （A ）于i π2（B ）等于i π2-（C ）等于0（D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B)21eπ--(C)i e21π+(D)i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c 1)4sin(2π() （A ）i π22（B ）i π2（C ）0（D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a z z 2)(cos () （A ）ie π2（B ）ei π2（C ）0（D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ()（A ）等于0（B ）等于1（C ）等于2（D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是()（A ）积分⎰=--r a z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰c dz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是()(A)c iz +2（B ）ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是()（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是()（A ）),(),(y x iu y x v +（B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u -（D ）x v i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 3．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰c dz zz z 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z )2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz ．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰c dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r a z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f n n . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）. 八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz zz f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂. 十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n ni a n n ，则n n a ∞→lim () （A ）等于0（B ）等于1（C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为()（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n nn i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i 3．下列级数中，绝对收敛的级数为()（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n n n n i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为()（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是()（A ）321R R R <<（B ）321R R R >> （C ）321R R R <=（D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ()（A ）q （B ）q1（C ）0（D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R () （A ）1（B ）2（C ）2（D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z +（B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D)z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ()（A ）∞+（B ）1（C ）2π（D ）π10．级数+++++22111z z z z的收敛域是() （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1（D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为() （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为()（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H<-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(()(A)12-ic π（B ）12ic π（C ）22ic π（D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为() （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41（D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ()（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是．3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当dz z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为．6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez e e zz z2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e ze z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

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一、填空题（每小题2分）1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+ze ,则z ＝4、()i i +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222= 6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n n z i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（）A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（）A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z-=1 D iz z i=13、下列命题正确的是（）A 函数()z z f =在z 平面上处处连续B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数4、根式31-的值之一是（）A i 2321-B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）A z1sin 1B z 1cos C z ctg e 1D Lnz6、下列积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dz B ⎰=-121z z dz C ⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（）A ()∑∞=+-02121n nnn z （z<1） B ()∑∞=+-01221n n nnz （z <1） C ()∑∞=++-012121n n nn z （z<1） D ()∑∞=-0221n nnn z （z <1）8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z内的和函数是（）A211z - B211z + C112-z D211z +-9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （）A 0B eπ2i C 2πie D icosi10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（）对任何复数z,22zz =成立2、（）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点3、（）方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、（）z=∞是函数()=z f ()251z z -的三阶极点5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x 5、求211)(z z f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析（2）在某一点D z ∈0有0)(0)(=z f n ，（Λ,2,1=n ）证明：)(z f 在D 内必为常数 2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z内有n 个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0,Λ2,1±±)， 4⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππk i ee 242ln (k=0,Λ2,1±±)5 3i -, 6 0 , 721 , 8 可去， 9 2e ， 10 z1-二单选题（每小题2分，共20分）1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A三判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四计算题（每小题6分，共36分）1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3Λ分 y xv u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6Λ分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=12Λ分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5Λ⎰=--22)1(25z dzz z z =π2i(-2+2)=06Λ分3 解：()11+-=z z z f= ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分（1-z <2） …6分4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分=[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz iz ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π …6分5 解：))((1)(i z i z z f +-= (1)分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n n nni z i i z +∞<-<i z 2 (6)分6解:w=L(i)=kiz iz +- 2Λ分2)(2i z i kw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分iz iz iw +-= …6分五证明题（每小题7分，共14分） 1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f Θ在0z 解析由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ ...2分由题设 0)(0)(=z f n ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ (4)分由唯一性定理)()(0z f z f ≡)(D z ∈ (7)分2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2Λ分 (1）()z f 及()z ϕ在1≤z 解析(2）1=z上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zzz ϕ<5 4Λ分故在1=z上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题（每小题2分）1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i =3、若0<r<1，则积分()⎰==+r z dz z 1ln4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，则m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s az Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=8、0=z 是函数zz 1sin 5的奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环内10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分）1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（）A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22zz =成立的复数是（）A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z（）A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin14、根式3i 的值之一是（）A223i- B 223i --C iD i - 5、π=z 是π-z z sin 的（）A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点 6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=( )A 1B 2C 3D 4 7、下列函数是解析函数的为（）A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（）A()21z e z f z -= B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--=9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （）A 0B eπ2i C 2πie D icosi10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题（每小题2分）1、（）幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、（）z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、（）在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、（）函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、计算积分()⎰+-C dz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点（包括∞）处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz 122 , C:1222+=+y y x ，5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题（每小题7分）1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（Λ2,1=n ）的函数()z f 不存在一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 ϕ19i e，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z1-二单选题（每小题2分，共20分）1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A三判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四计算题（每小题6分，共36分）1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3Λ分()⎰+-C dz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+- 6Λ分2解:1=z 为()z f 一阶极点1Λ分1-=z 为()z f 二阶极点2Λ分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3Λ分 ()()411Re 121=+===z z z zz f s 5Λ分 ()0Re =∞=z f s z (6)分 3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分= ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z (5)分（0<iz -<2）…6分4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = (1)分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s (3)分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫⎝⎛-i 210 …6分5解：令θi e z =iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 (1)分 =[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi…3分被积函数在1=z 内的有一个一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z (5)分I=121212222-=-a a i i ππ (6)分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2Λ分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4Λ分于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6Λ分五证明题（每小题7分，共14分）1 证明：设f(z)=u （x ，y ）+iv （x ，y ）)(z f = u （x ，y ）-iv （x ，y ）)(z f i =v （x ，y ）-i u （x ，y ） 2Λ分f （z ）在D 内解析，x y y xv u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4Λ分比较f （z ）的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析7Λ分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫⎝⎛-，nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（Λ2,1=n ） 2Λ分Θ点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,nn f 2121=⎪⎭⎫⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5Λ分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7Λ分【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。