《复变函数论》试题库及答案

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复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

4.有界整函数必为常数. ( )
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列收敛，则与都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设，则 .
2.若，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数与在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程在单位圆的零点个数为________.
8.设，则的孤立奇点有_________.
9.函数的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是在D解析.

《复变函数论》答案

第1页《复变函数论》答案一、单项选择题1．在复平面上方程|z -i|=|z +i|表示（ A ） A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆周D ．抛物线2．在复平面上方程|z +1|=4表示( B )A ．直线B ．圆周C ．椭圆周D ．抛物线3．arg(1=( C )A. 3π- B. 6π- C. 56π D. 2,6k k ππ+∈Z4．arg(1)i +=( B )A.4π- B. 4π C. 54π D. 2,4k k ππ+∈Z5．在z 平面上处处解析的函数是( B ) A. 31()f z z =B. 3()f z z = C. ()f z z = D. ()R e f z z z =6．下列函数中( A )是整函数. A.1()1f z z =- B. ()1f z z =- C. 2()f z z = D. ()I m f z z =7．2||2sin (1)z zdz z ==-⎰( C ) A. 0 B.sin1- C. 2cos1i π D. 2sin1i π-8．2||1cos (2)z zdz z ==-⎰( A ) A.0 B. 2sin 2i π- C. 2cos 2i π D. 2sin 2i π-第2页9．幂级数112nnn n n z z ∞∞==+∑∑的收敛半径是( A )A. 1B. 2C.14 D.1210．在复平面上不等式|z -2|<3表示（ C ）A ．直线B ．圆周C ．圆D ．正方形 11．arg()i -=( A )A.2π- B. 2π C. 32π D. 32,2k k ππ+∈Z12．在z 平面上处处解析的函数是( C ) A. 21()1f z z =+ B. ()f z z = C. 2()1f z z =- D. ()Im f z z =13．||2sin 1z zdz z ==-⎰( D ) A. 0 B.2sin1i π- C. 2cos1i π D. 2sin1i π14．幂级数1!n n n z ∞=∑的收敛半径是( A )A. 0B. 1C. 2D. e15．幂级数21nn z n∞=∑的收敛半径是( B )A.0B. 1C.2D.416．0z =是2cos ()zf z z =的( C )极点A.0B. 1C.2D.417．1z =是2cos ()zf z z=的( D )A.零点B. 极点C.孤立奇点D.解析点第3页18．下列等式中，成立的是( C )A.22Lnz Lnz =B.rg(2)arg()A i i -=-C.10Ln =D.Re()z z z z ⋅=⋅ 19．在复平面上，下列命题中，不正确的是( B )A. 22sin cos 1z z +=B. 0z e >C.cos sin iz e z i z =+D. 10i π是()5z f z e =的周期20．下列等式中，不正确的是( C ) A.33lnz lnz = B.arg(2)arg()i i =-- C.0zLn z= D.Im()0z z ⋅= 二、填空题1. Im(1+i)4=_ _0______.2. Re(1+i)4=____-4______.3.345iz -=，则z = 1 . 4.1z =，则z = 2 . 5.方程41z =-在复数域中共有_ 4 个根. 6.方程21z =-在复数域中共有_ 2 个根. 7.设ω是1的n 次根，1ω≠，则21n ωωω-+++= -18.设31ie πω=，32ieπω-=，则12ωω+= 1 .9.设22()(1)z f z z e =-，则0z =是()f z 的____4____阶零点. 10.设()1z f z e z =--，则0z =是()f z 的____2____阶零点. 11.()f z 以z=a 为m 级极点，则z=a 为2()f z 2m 级极点.12.(),()f z g z 以z=a 为3级和4级极点，则z=a 为()()f z g z +的 4 级极点.第4页13.(),()f z g z 以z=a 为5级和2级极点，则z=a 为()()f zg z 3 级极点. 14.()f z 以z=a 为m 阶零点，且m 0>，则z=a 是()f z '的__m-1___阶零点.15.()zf z e =，则()f z 在0z =的邻域内泰勒展式为212!n z z z n +++++.16.21()1f z z=-，则()f z 在0z =的邻域内泰勒展式为2421n z z z +++++.17. 设sin cos z i αα=+，则z 的三角表示为cos sin 22i ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有___i ± . 19.设1()1f z z=+，则)(z f 的孤立奇点有___-1 .20.幂级数0nn z n∞=∑的收敛半径为____1_____ .21.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为____1_____ .22.4z 在点1z i =-23.3z 在点z i =-处的伸缩率为 3 . 24.z e 在点1z i =+处的伸缩率为 e . 三、完成下列各题 1.求16i ieπ-+解 161cos sin 6622ii iei ie e eπππ-+⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭第5页2.求n L i .解 n 2,2L i i k i k ππ=+∈Z3. 求()34Ln i +解 ()434ln 5arctan2,3Ln i i k i k π+=++∈Z 4. 函数2()f z z =在复平面上何处可导？何处解析？解仅在0z =处可导，处处不解析.5. 函数()()222()2f z x y i xy y =-+-,z x iy =+在复平面上何处可导？何处解析？解仅在直线0y =上可导，在复平面上处处不解析.6. 函数2()f z x iy =-,z x iy =+在复平面上何处可导？何处解析？解仅在直线12x =-处可导，处处不解析. 7. 计算()211sin 1z z dz z π+=-⎰解 ()()2111sin sin 2011z z z z dz i z z πππ+==-=⋅=--⎰ 8. 计算211sin 41z z dz z π-=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰ 解2111sin sin 442112z z z z idz i z z πππ-==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=-+⎰第6页9. 计算()211sin 1z z dz z π+=-⎰解()()2111sin sin 2011z z z z dz i z z πππ+==-=⋅=--⎰ 10. 将sin z 展开为z 的幂级数.解 ()()2101sin 21!nn n z z n +∞=-=+∑ (z <+∞)11. 将cos z 展开为z 的幂级数.解 ()()201c o s2!nn n z z n ∞=-=∑ (z <+∞)12. 将1z展开为1z -的幂级数.解 ()()()0111111n nn z z z ∞===---+∑ (11z -<)四、1. 用留数计算积分：312(1)(2)(4)(5)z dzi z z z z π=----⎰. 解()()()()()31212(1)(2)(4)(5)()()1113412311112612z z z dzi z z z z Res f z Res f z π===----=+=+-⋅-⋅-⋅-⋅-=-+=⎰第7页2. 用留数计算积分：912(1)(2)(5)(10)z dzi z z z z π=----⎰. 解()91012(1)(2)(5)(10)()()1098511985360z z z dzi z z z z Res f z Res f z π===∞----=-+⎛⎫=-+ ⎪⋅⋅⎝⎭=-=-⋅⋅⎰3. 用留数计算积分 ()222211z z z dz z =-+-⎰。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 $ z = a + bi $（其中 $ a, b $ 为实数），则$ \bar{z} $ 表示（）A. $ a - bi $B. $ -a + bi $C. $ -a - bi $D. $ a + bi $答案：A2. 对于复变函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，以下说法正确的是（）A. $ u $ 和 $ v $ 都是调和函数B. $ u $ 和 $ v $ 都是解析函数C. $ u $ 和 $ v $ 都是连续函数D. $ u $ 和 $ v $ 都是可微函数答案：A3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可导，则下列说法中正确的是（）A. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析B. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续C. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可微D. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数为0答案：C4. 已知 $ f(z) $ 是解析函数，且 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有孤立奇点，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的留数是（）A. 0B. $ \infty $C. 1D. $ -1 $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ z = x + yi $，且 $ |z| = 2 $，则 $ x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ $。

答案：42. 设 $ f(z) = z^2 $，则 $ f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ $。

答案：-5 + 12i3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数 $ f'(z_0) $ 等于 \_\_\_\_\_。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数论习题及答案

第一章习题1．设12z -=，求||z 及Arg z .2．设12z z i ==，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .3．解二项方程440(0).z a a +=> 4．证明2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。

6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？（1）1|212|||,()z z z z z z -=-≠；（2）|||4|z z ≤-；（3）111z z -<+；（4）0arg(1) 2Re 34z z π<-<≤≤且；（5）|| 2 z >且|3|1z ->；（6）Im 1 ||2z z ><且；（7）||2 0arg 4z z π<<<且；（8）131 2222i i z z ->->且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2||.AC β> 9．试证：复平面上的三点1,0,a bi a bi +-+共直线。

10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线：（1）(1)z i t =+；（2）cos sin z a t ib t =+；（3）i z t t =+；（4）22i z t t =+.11．函数1w z =将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线（,z x iy w u iv =+=+）？（1）224;x y +=（2）y x =；（3）x = 1；（4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证：（1）多项式1010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续；（2）有理分式函数101101()n n nm m m a z a z a f z b z b z b --+++=+++（000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数论习题集解答

第一章一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A13.D 14.D 15D二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE三、1. yarctg xπ+ 2.()20,1,,1k ink n θπ+=-3.(1).D 开集 (2)D 中任意两点可用全在D 中的折线连接.4.在D 内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D.5.对E 内每一复数,z 有唯一确定的复数w 与之对应.6.如果0z 及()0f z 之一或者它们同时取∞7. 51212e π 8. 0z z r -=,0z 为圆心,r 为半径9.平面上点0z 的任意邻域都有E 的无穷多个点.10.(1)彼此不交 (2)()I C 是一个有界区域 (3)()E C 是一个无界区域(4)若简单折线p 的一个点属于()I C ,另一个端点属于()E C ,则p 必与C 有交点. 四、1.解:44z a =-22cos sin,0,1,2,344k k k z i k ππππ++⎫=+=⎪⎭2.解:21cos sin 2sin 2sincos222i i ψψψψψ-+=+2sinsin cos 222i ψψψ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sincos sin 22222i ψπψπψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222sin2i eπψψ⎛⎫- ⎪⎝⎭=3.解:设,,z x iy w u iv =+=+则曲线11z -=,可写成222x y x += 2222221z x iv x y w i z x y x y x y z z -====-+++⋅即22122x x u x y x ===+ 故1w z =将z 平面上曲线11z -=变成w 平面上的直线12u =4.解:设z x iy =+,则()()()()22221211111x y yi x iy z w z x iy x y--++++===----+ 故()22221Re 1x y w x y --=-+ ()2221m y I w x y=-+w =5.解:()4cos sin i θθ+432234cos 4cos sin 6cos sin 4cos sin sin i i θθθθθθθθ=+--+但()4cos sin cos 4sin 4i i θθθθ+=+故442222cos 4cos sin 6cos sin 18sin cos θθθθθθθ=+-=-33sin 44cos sin 4cos sin θθθθθ=-五.1.证明21,az b az b az bz bz a bz a bz a+++=∴=⋅+++ 22221a abz abz b b abz abz a+++==+++故1az bbz a+=+ 设(1nn n x iy +=- (.n n x y 为实数,n 为正整数) 2.证明:已知(155122cos sin 2233nnn n n n n n x iy i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此 552cos,2sin 33n n n n n n x y ππ== 11n n n n x y x y ---()()151515522cos sin sin cos 3333n n n n n n ππππ---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()215152sin 33n n n ππ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭21211542sin 2sin 43322n n n n ππ---⎛⎫=-==⋅= ⎪⎝⎭3.证明:由于123z z z ∆与123w w w ∆同向相似的充要条件是33,z w ∠=∠且23231313z z w w z z w w --=--,而23313arg,z z z z z -∠=-2313arg w w w w w -∠=-,于是有23231313z z w w z z w w --=--, 即1122331101z w z w z w =试证:以123,,z z z 为顶点的三角形和以123,,w w w 为顶点的三角形同相似的充要条件为1122331101z w z w z w = 4．证明：123,,z z z 4,z 四点共圆或共直线的充要条件为1233410z z z z z z ∠+∠=或π试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z zz z z z z z ----为实数。

(完整版)复变函数试题及答案

-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7

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《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （）2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （）3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （）4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f .（）5. 若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （）6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （）7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在. （）8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （）9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （）10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （）二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn ...lim 21______________.3. 函数e z 的周期为__________.4. 函数211)(zz f +=的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________. 7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10.=)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （）2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数. （） 3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （） 5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （） 6. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （）7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （）9. 若0z 是)(z f 的一级极点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→. （）10. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （）二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=ze ，则___=z .4.z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。