复变函数与积分变换考试题库及答案
复变函数与积分变换试题及答案7
复变函数与积分变换试题与答案一、填空（每题2分）1．z=i 的三角表示式是：。
指数表示式是。
2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。
3．38的全部单根是： ，， 。
4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。
5．设C 是正向圆周|z |=1，积分⎰c z dz2=。
6．函数221)1()(z ez f -=的弧立奇点是和，其中是极点，是本性奇点。
7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。
8．分式线性映射具有，，。
二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。
1．零的辐角是零。
（ ） 2．i <2i .（ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。
（ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。
（ ） 5．z e e -=2（ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数（ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。
（）8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。
（ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。
（）三、计算题（每题6分） 1．dz zzc ⎰3sin （其中C 为正向圆周|z|=1）2．⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行）3．dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）4．求函数)2()(1)(10-+=z i z z f 在无穷远点处的留数四、求解题（每题6分）1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数)(z f ，使f （0）=0。
2． 求函数2)1(1)(z z z f -=在1|1|0<-<z 内的罗朗展开式。
五、解答题（每题6分）1．求函数⎩⎨⎧≥<=-000)(t e t t f tβ的傅氏变换)(ωF 。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试题及答案23解读
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：(每空3分)1. 1(•、2 i.2)的三角表达式 _________________________________________________________2. i =-bo4.幕级数a n! z n 的和函数的解析域 _____________________________________________________n z05 •分式线性函数、指数函数的映照特点分别是:6•若 L [f (t)]二 F(s),则 L [f (at b)]二二、简答题：(每题6分)1 •叙述函数f(z)在区域D 内解析的几种等价定义。
2.若Z )分别为f ⑺及g(z)的m 阶及n 阶零点，贝U g(z)在z 0具有什么性质。
f (z)3.叙述将上半平面lm(z)保形映照为单位圆盘|w 卜：1且将Z )(Im(z 0) 0)映照为w = 0的分式线性函数 w=产生的关键步骤。
Z —%三、计算题：(每题7分) 1•求f(z) =zRe(z)的解析点；z -12.求f(z)Z丄 在2”：|z|：：：3时的罗朗级数；(z-2)(z + 3)3 •求积分I =,|z|d z, C 为沿单位圆(|z|=1)的左半圆从T 到i 的曲线。
C|Z| = 1,则Z -Z o 1 -Z o Z2的拉普拉斯逆变换。
s 45s 24四、证明及解方程(每题 6分) 1.证明：J 幅dt=2感(⑷)。
'-O0t2•解方程：y'(t)°y( )d =1 , y (o )=o 。
4. 求积分砒 Z 2(z 2—9)dz。
5. 求积分sin dz,叱 z-16、求函数 (t-2)f(-2t)的傅里叶变换. 7. 求函数标准答案一、填空题： (每题3分共21分)1.丄(、2 i 、、2)的三角表达式 cos(— 2k 二)isi n( — 2k二)(k =0, _1, _2,|l()244i-(2k 5)-2. i^ e 2 3 (k =0,_1,_2川)2 若f(z)的实部、虚部均为 D 内的可微函数，且柯西一黎曼方程成立，则称f (z)为在D内的解析函数。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3