专题08 数学归纳法与极限备战二轮复习热点难点全面(上海地区)
高考数学二轮复习 专题八 附加题 第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法学案
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————第2讲 计数原理、随机变量、数学归纳法[考情考向分析] 1.考查分类计数原理、分步计数原理与排列、组合的简单应用，B 级要求. 2.考查n 次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的数学期望与方差，B 级要求.3.考查数学归纳法的简单应用，B 级要求．热点一 计数原理与二项式定理例1 (2018·苏州调研)已知f n (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n ，n ∈N *.(1)当a ＝1时，求f 5(x )展开式中的常数项；(2)若二项式f n (x )的展开式中含有x 7的项，当n 取最小值时，展开式中含x 的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数a 的值．解 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 3n的展开式通项为T r ＋1＝C r n ()x 2n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a x 3r ＝C r n (3a )r x2n －5r(r ＝0,1,2，…，n )， (1)当n ＝5，a ＝1时，f (x )的展开式的常数项为T 3＝9C 25＝90. (2)令2n －5r ＝7，则r ＝2n －75∈N ，所以n 的最小值为6，当n ＝6时，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3a x 36的展开式通项为T r ＋1＝C r 6(3a )r x12－5r(r ＝0,1,2，…，6)， 则展开式中含x 的正整数次幂的项为T 1，T 2，T 3，它们的系数之和为 C 06＋C 16(3a )＋C 26(3a )2＝135a 2＋18a ＋1＝10， 即15a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－13或15.思维升华 涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面：(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念，必须严格加以区别． (2)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用，注意活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质．(3)关于x 的二项式(a ＋bx )n(a ，b 为常数)的展开式可以看成是关于x 的函数，且当x 给予某一个值时，可以得到一个与系数有关的等式，所以，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决．跟踪演练1 (2018·江苏丹阳高级中学期中)设n ≥3，n ∈N *，在集合{}1，2，…，n 的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a ，较小元素之和记为b . (1)当n ＝3时，求a ，b 的值；(2)求证：对任意的n ≥3，n ∈N *，b a为定值．(1)解 当n ＝3时，集合{}1，2，3的所有元素个数为2的子集为{}1，2， {}1，3，{}2，3，所以a ＝2＋3＋3＝8,b ＝1＋1＋2＝4.(2)证明 当n ≥3，n ∈N *时，依题意，b ＝1×C 1n －1＋2×C 1n －2＋3×C 1n －3＋…＋()n －2×1(2)C n n --＋()n －1×1(1)C n n --， a ＝2×C 11＋3×C 12＋4×C 13＋…＋()n －1×C 1n －2＋n ×C 1n －1＝2×1＋3×2＋4×3＋…＋()n －1×()n －2＋n ×()n －1.则a2＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1， 所以a ＝2C 3n ＋1.又a ＋b ＝(n －1)(1＋2＋3＋…＋n )＝n ()n ＋12×()n －1＝3C 3n ＋1，所以b ＝C 3n ＋1.故b a ＝12.热点二 随机变量及其概率分布例2 (2018·南京师大附中考前模拟)如图，设P 1，P 2，…，P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S ＝32的概率； (2)求S 的概率分布及数学期望E (S )．解 (1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形，(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35. (2)S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)， 共6种，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝34＝6C 36＝310. S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)， 共2种，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫S ＝334＝2C 36＝110.又由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的概率分布为所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. 思维升华 求解一般的随机变量的数学期望的基本方法先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望公式计算．跟踪演练2 (2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元．(1)求概率P ()X ＝600；(2)求X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形． ∴P ()X ＝600＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521. (2)X 的所有可能值为300,400,500,600,700. 则P ()X ＝300＝C 34C 39＝484＝121，P ()X ＝400＝C 14·C 24C 39＝2484＝27，P ()X ＝500＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514， P (X ＝600)＝521，P ()X ＝700＝C 11·C 24C 39＝684＝114.∴X 的概率分布为∴E ()X ＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.热点三 数学归纳法例3 (2018·江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)已知数列{}a n 满足a n ＝C 0n ＋C 1n ＋12＋C 2n ＋222＋C 3n ＋323＋…＋C nn ＋n 2n ，n ∈N *. (1)求a 1, a 2, a 3的值；(2)猜想数列{}a n 的通项公式，并证明． 解 (1)a 1＝2, a 2＝4, a 3＝8. (2)猜想： a n ＝2n (n ∈N *)． 证明如下：①当n ＝1时，由(1)知结论成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立， 则有a k ＝C 0k ＋C 1k ＋12＋C 2k ＋222＋C 3k ＋323＋…＋C kk ＋k 2k ＝2k.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝C 0k ＋1＋C 1k ＋1＋12＋C 2k ＋1＋222＋C 3k ＋1＋323＋…＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1.由C k ＋1n ＋1＝C k ＋1n ＋C kn 得a k ＋1＝C 0k ＋C 1k ＋1＋C 0k ＋12＋C 2k ＋2＋C 1k ＋222＋C 3k ＋3＋C 2k ＋323＋…＋C k k ＋k ＋C k －1k ＋k 2k＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1 ＝2k＋C 0k ＋12＋C 1k ＋222＋C 2k ＋323＋…＋C k －1k ＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1k ＋1＋k 2k . 又Ck ＋1k ＋1＋k＝()2k ＋1！k ！()k ＋1！＝()2k ＋1！()k ＋1()k ＋1k ！()k ＋1！＝12()2k ＋1！()2k ＋2()k ＋1！()k ＋1！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1， a k ＋1＝2k＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫C 0k ＋1＋C 1k ＋22＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1k ＋1＋k ＋12k ＋1，于是a k ＋1＝2k＋12a k ＋1.所以a k ＋1＝2k ＋1,故n ＝k ＋1时结论也成立．由①②得，a n ＝2n，n ∈N *.思维升华 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．跟踪演练3 (2018·常州期末)记()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n (n ≥2且n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为S n ，含x 2项的系数为T n . (1)求S n ；(2)若T nS n＝an 2＋bn ＋c 对n ＝2,3,4成立，求实数a ，b ，c 的值； (3)对(2)中的实数a ，b ，c 用数学归纳法证明：对任意n ≥2且n ∈N*, T nS n＝an 2＋bn ＋c 都成立． (1)解 S n ＝1＋2＋…＋nn ！＝ n ＋12()n －1！.(2)解T 2S 2＝23， T 3S 3＝116， T 4S 4＝72，则⎩⎪⎨⎪⎧23＝4a ＋2b ＋c ，116＝9a ＋3b ＋c ，72＝16a ＋4b ＋c ，解得a ＝14， b ＝－112， c ＝－16，(3)证明 ①当n ＝2时，由(2)知等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，等式成立，即T k S k ＝14k 2－112k －16. 当n ＝k ＋1时，由f (x )＝()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤()x ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ！＋S k x ＋T k x 2＋…⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1k ＋1，知T k ＋1＝S k ＋1k ＋1T k ＝k ＋12()k －1！·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16，所以T k ＋1S k ＋1＝ k ＋12()k －1！⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－112k －16k ＋1＋12k ！＝k k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1＋3k 2－k －212＝k ()3k ＋512，又14()k ＋12－112()k ＋1－16 ＝k ()3k ＋512， 等式也成立；综上可得，对任意n ≥2且n ∈N *，都有T n S n ＝n 24－n 12－16成立．1．(2018·全国大联考江苏卷)(1)求4C 47－7C 36＋k C k n n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)的值．(2)设f (n )＝1·C 1n ·3＋2·C 2n ·32＋…＋n C n n ·3n (n ∈N *)，求方程f (n )＝3 840的所有解． 解 (1)因为4C 47＝4×35＝140, 7C 36＝7×20＝140，k C k n ＝k ·n ！k ！(n －k )！＝ n ·(n －1)！(k －1)！[(n －1)－(k －1)]！＝n C k －1n －1(n ≥k ，且n ，k ∈N *)． 所以4C 47－7C 36＋k C knn C k －1n －1＝1.(2)由(1)知k C k n ＝n C k －1n －1对1≤k ≤n ，且n ，k ∈N *成立． 所以f (n )＝n (C 0n －13＋C 1n －132＋…＋C n －1n －13n)， 所以f (n )＝3n (C 0n －1＋C 1n －13＋…＋C n －1n －13n －1)＝3n (1＋3)n －1＝3n ·4n －1(n ∈N *)．又因为f (n ＋1)f (n )＝3(n ＋1)·4n 3n ·4n －1 ＝4(n ＋1)n ＝4＋4n>1，即f (n ＋1)>f (n )对n ∈N *成立， 所以f (n )是关于n (n ∈N *)的递增函数． 又因为f (n )＝3 840＝3×5×44＝f (5)，所以当且仅当n ＝5时才满足条件，即n ＝5是方程f (n )＝3 840的唯一解．2．(2018·江苏)设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．解 (1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.3．已知实数数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＝n ＋23n·(a n －1＋2)，n ≥2. 证明：当n ≥2时，{a n }是单调减数列． 证明 当n ≥1时，有a n ＋1－a n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋33(n ＋1)－1a n ＋2(n ＋3)3(n ＋1)＝23(n ＋1)(n ＋3－na n)．下面用数学归纳法证明：a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝2时，a 2＝46(3＋2)＝103>1＋32；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，结论成立，即a k >1＋3k.那么，a k ＋1＝k ＋33(k ＋1)(a k ＋2)>k ＋33(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3k ＋2＝1＋3k >1＋31＋k.故由(1)(2)知，a n >1＋3n(n ≥2，n ∈N *)．因此，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＋1－a n ＝23(n ＋1)(n ＋3－na n )<0，即当n ≥2时，{a n }是单调减数列．4．(2018·江苏盐城中学模拟)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a (a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a .求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解 (1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为“没有1首原创新曲被演唱”．所以P (A )＝1－P (A )＝1－C 45C 48＝1314.所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314.(2)设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0,1,2,3. 依题意知，X ＝ax ＋2a (4－x )，故X 的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a .则P (X ＝8a )＝P (x ＝0)＝C 45C 48＝114，P (X ＝7a )＝P (x ＝1)＝C 13C 35C 48＝37，P (X ＝6a )＝P (x ＝2)＝C 23C 25C 48＝37，P (X ＝5a )＝P (x ＝3)＝C 33C 15C 48＝114.从而X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝8a ×114＋7a ×37＋6a ×37＋5a ×114＝132a .A 组 专题通关1．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E (X )． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， P (X ＝k )＝C k5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E (X )＝5×13＝53.2．(2018·江苏省南京师大附中模拟)设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集．(1)若M ＝{a 1，a 2}，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(A ，B )的个数；(2)若M ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }，且A 的元素个数比B 的元素个数少，求所有有序集合对(A ，B )的个数．解 (1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}， 则A ＝∅，{}a 1，{}a 2，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 12种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为C 12×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.(2)集合M 有2n个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n－1)．若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为 C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝ ()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn )，又(x ＋1)n(x ＋1)n的展开式中x n的系数为()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2,且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n2n ， 所以()C 0n 2＋()C 1n 2＋()C 2n 2＋…＋()C n n 2＝C n2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时， 有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n.所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为 2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n2n2.3．已知()1＋x 2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k .(1)求T 2的值；(2)化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *,T n 都能被4n ＋2整除． 解 由二项式定理，得a i ＝C i2n ＋1(i ＝0,1,2，…，2n ＋1)． (1)T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C 25＋3C 15＋5C 05＝30. (2)∵()n ＋1＋k C n ＋1＋k2n ＋1＝()n ＋1＋k ·()2n ＋1！()n ＋1＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1·()2n ！()n ＋k ！()n －k ！＝()2n ＋1C n ＋k2n ，∴T n ＝∑nk ＝0()2k ＋1a n －k ＝∑nk ＝0()2k ＋1Cn －k 2n ＋1＝∑nk ＝0()2k ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝∑nk ＝0[]2()n ＋1＋k －()2n ＋1C n ＋1＋k2n ＋1＝2∑nk ＝0()n ＋1＋k Cn ＋1＋k 2n ＋1－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k2n ＋1＝2()2n ＋1∑nk ＝0Cn ＋k 2n－()2n ＋1∑nk ＝0C n ＋1＋k 2n ＋1＝2()2n ＋1·12·()22n ＋C n 2n －()2n ＋1·12·22n ＋1＝()2n ＋1C n 2n .∴T n ＝()2n ＋1C n2n ＝()2n ＋1()C n －12n －1＋C n2n －1＝2()2n ＋1C n2n －1.∵C n 2n －1∈N *，∴T n 能被4n ＋2整除．4．是否存在正整数m 使得f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9对任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解 由f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，得f (1)＝36，f (2)＝3×36，f (3)＝10×36，f (4)＝34×36，由此猜想m ＝36. 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，结论成立，即f (k )能被36整除， 设f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9＝t ·36. 当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝(2k ＋7)·3k ＋1＋2·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k＋9]＋18(3k －1－1)＝3·36t ＋18·2s ＝36(3t ＋s )． 所以当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切正整数n ，存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9都能被m 整除，m 的最大值为36.B 组 能力提高5．(2018·常州模拟)已知正四棱锥P －ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)； 若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)． (1)求P ()ξ＝0的值；(2)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ()ξ.解 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC ，△PBD 为等腰直角三角形， ξ的可能取值为： 0, π3， π2，共C 28＝28种情况，其中，当ξ＝0时，有2种；当ξ＝π3时，有3×4＋2×4＝20(种)；当ξ＝π2时，有2＋4＝6(种)．(1)P ()ξ＝0＝228＝114. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π3＝2028＝57， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝π2＝628＝314， 根据(1)的结论，随机变量的概率分布如下表：根据上表， E ()ξ＝0×114＋π3×57＋π2×314＝2984π. 6．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．(1)解 当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C kn11＋k＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C nn ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明 P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m )． 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.7．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 3是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的前三项的系数．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2与13的大小．解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋…＋C m m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x m，依题意a 1＝1，a 2＝12m ，a 3＝m (m －1)8，由2a 2＝a 1＋a 3，可得m ＝1(舍去)或m ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)由(1)知，a n ＝3n －2，当n ＝2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140>13；当n ＝3时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125＝17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋113＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫119＋122＋125 >18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116＋116＋116＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332>18＋316＋116>13. 猜测：当n ≥2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13.以下用数学归纳法加以证明： ①当n ＝2时，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a k 2>13，则当n ＝k ＋1时，1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k ＋1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a k 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a k 2＋1＋1a k 2＋2＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋2k ＋1a (k ＋1)2－1a k＝13＋2k ＋13(k ＋1)2－2－13k －2＝13＋(2k ＋1)(3k －2)－[3(k ＋1)2－2][3(k ＋1)2－2](3k －2) ＝13＋3k 2－7k －3[3(k ＋1)2－2](3k －2). 由k ≥3可知，3k 2－7k －3>0， 即1a k ＋1＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2>13. 综合①②，可得当n ≥2时， 1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13. 8．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2·tan nθ，其前n 项和为S n .(1)求证：当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)求证：对任意正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·[1＋(－1)n ＋1·tan 2nθ]．证明 (1)因为a n ＝sinn π2tan nθ.当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈N *)，a n ＝a 2k ＝sin 2k π2tan 2k θ＝sin k π·tan 2kθ＝0，a n ＝0.当n 为奇数时，设n ＝2k －1(k ∈N *)，a n ＝a 2k －1 ＝sin (2k －1)π2tan 2k －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2·tan 2k －1θ.当k ＝2m (m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－π2·tan 4m －1θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2·tan 4m －1θ＝－tan 4m －1θ，此时n －12＝2m －1，a n ＝a 2k －1＝－tan 4m －1θ＝(－1)2m －1tan 4m －1θ＝(－1)12n -tan nθ.当k ＝2m －1(m ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－3π2·tan 4m －3θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2·tan 4m －3θ＝tan 4m －3θ，此时n －12＝2m －2，a n ＝a 2k －1＝tan4m －3θ＝(－1)2m －2tan4m －3θ＝(－1)12n -tan nθ.综上，当n 为偶数时，a n ＝0； 当n 为奇数时，a n ＝(－1)12n -tan nθ.(2)当n ＝1时，由(1)得S 2＝a 1＋a 2＝tan θ， 12sin 2θ[1＋(－1)n ＋1tan 2n θ]＝12sin 2θ(1＋tan 2θ) ＝sin θ·cos θ·1cos 2θ＝tan θ. 故当n ＝1时，命题成立．假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立， 即S 2k ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2kθ]．当n ＝k ＋1时，由(1)得S 2(k ＋1)＝S 2k ＋a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝S 2k ＋a 2k ＋1＝12sin 2θ·[1＋(－1)k ＋1tan 2k θ]＋(－1)k tan 2k ＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋1tan2kθ＋(－1)k·2sin 2θtan2k＋1θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－1tan2θ＋2sin 2θtan θ＝12sin 2θ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ⎝⎛⎭⎪⎫－cos2θsin2θ＋1sin2θ＝12sin 2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ]．即当n＝k＋1时命题成立．综上所述，对正整数n，命题成立．。
(2021年整理)专题08解析几何-2020年高考数学(文)二轮专项复习
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专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此,我们要关注：将几何问题代数化,用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题,分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d （A ，B ）＝｜AB ｜＝|x 2－x 1｜．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2），则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y ）的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中,若A （x 1,y 1，z 1），B (x 2，y 2，z 2),A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式:（1）|x －3｜＝1；（2)|x －3|≤4；（3)1＜|x －3|≤4．略解：（1)设直线坐标系上点A ,B 的坐标分别为x ，3，则|x －3｜＝1表示点A 到点B 的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x ＝4或x ＝2．（2)与（1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x －3|≤4表示直线坐标系上点A 到点B 的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为｛x |－1≤x ≤7｝．(3)与（2)类似，解不等式1＜｜x －3｜，得解集{x ｜x ＞4，或x ＜2｝，将此与不等式｜x －3｜≤4的解集｛x ｜－1≤x ≤7}取交集，得不等式1＜｜x －3｜≤4的解集为{x |－1≤x ＜2，或4＜x ≤7}．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x 的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．|x －a ｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A （x )到点B (a ）的距离．例2 已知矩形ABCD 及同一平面上一点P ，求证：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．解：如图8－1－3，以点A 为原点，以AB 为x 轴，向右为正方向，以AD 为y 轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ,AD ＝b ,则 A （0，0），B （a ,0），C （a ,b ),D （0，b ),设P （x ，y ）， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a ）2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+ ＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋（y －b )2,所以PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法，非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1,2，－1),B (2，0，2)．（1）求A ,B 两点的距离；(2）在x 轴上求一点P ，使｜PA |＝｜PB |；(3）设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解:(1）由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB（2)设P （a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a40)2(2++-=a ， 即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8,解得a ＝1，所以P (1,0,0)．（3)设M （x ，y ，0)，则有,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0．【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ,B ，C 的坐标分别为3，－1，－5,则AC ＋CB 等于（ )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 2．若数轴上有两点A (x ），B （x 2)(其中x ∈R ),则向量AB 的数量的最小值为（ ）A ．21B ．0C ．41D ．41 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是（ ）A ．(1,－2，－3)B ．（1，2,3）C ．(－1，－2，3）D ．（－1，2,3）4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y ）,且｜AP ｜＝|BP ｜，则实数x ，y 满足的方程为（ ）A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程|x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A （2,3）关于点B (－4，1）的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，｜DC ｜＝4，｜DD 1｜＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A（4，3，1)，B(7，1，2)，C（5,2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A（1,3)，B（4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB|的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定,与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角的取值范围是0°≤＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2）为直线y ＝kx ＋b 上任意两点,其中x 1≠x 2,则斜率⋅--=1212x x y y k 倾斜角为90°的直线的斜率不存在,倾斜角为的直线的斜率k ＝tan （≠90°）．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式:y ＝kx ＋b ；两点式:);,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=-- 一般式:Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则（1)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或)0(222121=/=/B A B B A A （2）l 1与l 2平行⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而(3）l 1与l 2重合⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2,截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2;l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2,b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1 B 2＝0．当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1,k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式⋅+++=2211||B A C By Ax d【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1（1）直线082=-+y x 的斜率是______，倾斜角为______； (2)设A （2，3）,B (－3，2),C （－1,－1）,过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线082=-+y x 可以化简为，22822+-=x y所以此直线的斜率为22-，倾斜角;22tan arc π-=α（2）如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为，图8－2－1因为此直线的斜率为341213=++=AC k ，所以;34tan =α设直线BC 的倾斜角为，因为此直线的斜率为,231312-=+-+=BC k 所以⋅-=23tan β因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角满足≤≤， 由正切函数图象，得tan ≥tan 或tan ≤tan ,故l 斜率k 的取值范围为]23,[],34[-∞+∞∈ k ．【评析】（1）求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角，当≠90°时，k ＝tan ；②已知直线上两点的坐标（x 1,y 1），（x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝1212x x y y --； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0,当B ≠0时,k ＝B A -． (2）已知直线的斜率k 求倾斜角时，要注意当k 〉0时，＝arctan k ；当k 〈0时,＝－arctan|k ｜．例2 根据下列条件求直线方程：（1)过点A (2,3），且在两坐标轴上截距相等； (2）过点P （－2,1)，且点Q （－1,－2)到直线的距离为1．解：(1）设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2（舍)，令y ＝0,得x ＝2－k3（k ≠0）；令x ＝0，得y ＝3－2k , 由题意，得2－k 3＝3－2k ，解得k ＝23或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；（2)设所求直线方程为y －1＝k （x ＋2）或x ＝－2，当直线为y －1＝k （x ＋2)，即kx —y ＋（2k ＋1)＝0时，由点Q （－1，－2）到直线的距离为1,得1|122|2++++-k k k ＝1，解得34-=k ， 所以，直线03534=---y x ，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：（m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：（m 2－4)x —my －3＝0,(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；（2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一:（1）因为l 1∥l 2，所以（m －2)(－m )＝（m ＋2）（m 2－4），解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合,所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；（2）因为l 1⊥l 2，所以(m －2)（m 2－4）＋(－m )（m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直；当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－22－+m m ，k 2＝m m 42-，截距b 1＝－21+m ，b 2＝m 3-， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2,b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4,若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；（2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个,但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率"的情况)，解题过程中要注意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1:3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点,且点A （3，3）和B （5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ,B 在l 的两侧,此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 得交点（1，2）， 由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时,因为215323-=--=AB k ,此时)1(212:--=-x y l ，即x ＋2y －5＝0; ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为),25,4(M 所以,1412252:--=--x y l 即l :x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l :x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限,求实数k 的取值范围．解法一：解方程组⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ，得交点),1255,125(+--+-k k k k由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ，解得⋅<<250k 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k （x ＋2）,知l 1过定点P (－2，0），图8－2－2由l 2:x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A （0,5）,B （5,0），因为,0,252005==+-=BP AP k k 由题意,得⋅<<250k 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题,体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线（直线）的方程,解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P （4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限），与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解:设B （a ,0），则),4(4044:---=-x ay l 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为),3)(34,3(>--a a a a a 则△ABO 的面积,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为53,则l 的斜率k 是( ) A ．43- B ．43 C ．43-或43 D ．34或34- 2．点P （a ＋b ，ab ）在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“21=m ”是“直线(m ＋2）x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2）y －3＝0相互垂直"的( ) A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线3:-=kx y l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( ）A ．)3π,6π[B ．)2π,3π(C )2π,6π(．D ．]2π,6π[ 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2:4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0）,B （0,4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2,2），B （a ，0)，C (0，b ）,（ab ≠0）共线,则ba 11 的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上,点A （1，3），B （－1，－5）．（1）求｜PA ｜的最小值；（2)若|PA ｜＝|PB ｜,求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2:2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0,1)平分,求直线l 的方程．11．已知点P 到两个定点M （－1，0）、N (1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域（1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线（闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3）可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点（x0，y0),从Ax0＋By0＋C 的正（或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0）所表示的区域．当C≠0时，常把原点（0，0)作为特殊点．（4）也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域;y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划（1）基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y,z＝x2＋y2等．约束条件:目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数:目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式（或等式）．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解:使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解（x，y)叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方,则实数a的取值范围是______;(2)若点（3，1)和（－4,6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．解：(1)将直线化为,223a x y += 由题意,得23231a +⨯>，解得a ＜－7． （2)由题意,将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则（3×3－2＋a )［3×(－4)－12＋a ］＜0，即(a ＋7）(a －24）＜0,所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 （1）如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；图8－3－1（2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b ）表示的平面区域．略解：（1)，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x （2）由题意，得b 2－4a 2＞0，即（2a ＋b ）（2a －b ）＜0，所以⎩⎨⎧<->+0202b a b a 或⎩⎨⎧>-<+0202b a b a ,点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x 求：（1）z 1＝x ＋y 的最大值；（2）z 2＝x －y 的最大值;(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；（4）14-=x y z 的取值范围（x ≠1)． 略解：如图8－3－3,作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M （2,3），A (1,0），B （0，2）．(1）作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点,z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3）作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值2)52(，即z 3有最小值;54 （4）1-x y 可看作(1，0)与（x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是（－∞，－2]∪［3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名,女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z ＝10x ＋10y 的最大值是（ )(A ）80 （B ）85 (C ）90 （D ）95略解:由题意，根据已知不等式组及⎩⎨⎧≥≥00y x 可得到点(x ,y ）的可行域．如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移,知在M 点,z ＝10x ＋10y 有最大值,易得),29,211(M 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点（5,4）可使z 取最大值，所以,z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元,运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解:设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨,则可得产品z ＝90x ＋100y （千克)．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x y x上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示,阴影部分(含边界）即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0,并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点,且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M )720,712(，此时z 取到最大值71290⨯.440720100=⨯+ 答：当每天提供甲原料712吨，乙原料720吨时,每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f （x ）＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1）≤4．（1）在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ,b ）所表示的区域；(2）试利用（1)所得的区域,求f (－2)的取值范围．解：(1）∵f （－1)＝a －b ，f (1）＝a ＋b ，∴⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a b a 如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分（含边界）即为可行域．图8－3－6（2）目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大,此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B （3，1)，此时f （－2）取到最大值4×3－2×1＝10．同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得),21,23(C此时f （－2)取到最小值.5212234=⨯-⨯ 所以5≤f (－2)≤10．【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值（或范围）问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点（0,0）和点（1，1）在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 （ )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ）A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x 则z ＝2x ＋3y 的最小值是（ ）A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北)2π0(≤≤α方向行走－段时间后,再向正北方向行走一段时间,但的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟,设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y xB ．⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x二、填空题5．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x ，则x y 的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x 内，点Q (2，2）,求｜PQ |的最小值．10．制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％（%100⨯=投资额盈利额盈利率)，可能的最大亏损率分别为30%和10％(投资额亏损额亏损率= %100⨯），投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1。
高三数学(理)二轮专题复习文档：专题八第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化
第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3. (2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24.答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1 解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d .则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100.答案 (1)1629 (2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōn ɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5. 即需要的茅草面积至少为8 5.答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( ) A.2π B.1π C.12π D.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π.答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( )A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1) 解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k⟹f (x 2＋x )<f (k －x ⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1.故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f(x)的奇偶性及x∈[－2，1]时，函数f(x)单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x∈[－2，1]时，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min.题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查. 【训练3】(2018·烟台模拟)对于函数y＝e x f(x)(其中e是自然对数的底数)，若存在实数T使得e x f(x)≥T在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f(x)具有性质“”.给出下列函数：①f(x)＝2e－2x＋1；②f(x)＝x2－2x；③f(x)＝sin x；④f(x)＝1 x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________.解析对于①f(x)＝2e－2x＋1，e x f(x)＝2e－x＋e x≥22，取T≤22时，f(x)具有性质“”.对于②，令φ(x)＝e x f(x)，则φ′(x)＝e x(x2－2)，x∈(0，＋∞).令φ′(x)＝0，解得x＝2，易知φ(x)在x＝2时有极小值e2(2－22).因此函数f(x)具有性质“”.对于③，易知φ(x)＝e x sin x―→∞，则③不具有性质“”.对于④，φ(x)＝e x f(x)＝e xx，φ′(x)＝e x（x－1）x2，x∈(0，＋∞)，易知φ(x)在x＝1时取到最小值φ(1)＝e，取T≤e，f(x)具有性质“”.综上可知①②④中的函数具有性质“”.答案①②④热点四直观想象与数学运算核心素养【例4】(1)从点P(－1，3)向直线kx－y＋k－1＝0作垂线，垂足为N，则N的轨迹方程为________________.解析易知直线kx－y＋k－1＝0恒过定点Q(－1，－1).如图所示，PN⊥QN.所以点N在以PQ为直径的圆上.因此圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2.所以点N的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1).答案(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长；②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示.在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x ，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x ，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z 3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )， ∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2.(2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】(2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝3×0.2＝0.6.(3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P(X≤255.4)＝P(X≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2.故该批树苗小于等于255.4 cm的概率是0.977 2.。
高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极限、数学归纳法》专题针对训练 理
（考前大通关）2013高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极限、数学归纳法》专题针对训练 理
一、选择题 1．函数f(x)＝ a x2x－1－4x2－1 x在x＝1处连续，则a的值为( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：选B.若f(x)在x＝1处连续，
则有limx→1－f(x)＝limx→1＋ (2x－1－4x2－1)＝limx→1＋ 2x＋1＝a，解得a＝1，故选B. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an
＝( )
A.2n＋2 B.2nn＋
C.22n－1 D.22n－1 解析：选B.由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1， ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝nn＋2an(n≥2)． 当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2， ∴a2＝a13＝13，a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.
由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110. 猜想an＝2nn＋. 3．若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则limn→∞ (1a＋1a2＋…＋1an)＝( ) A.17 B.57 C．－17 D．－57 解析：选C.a＋3i1＋2i＝a＋＋－2a5＝a＋65＋3－2a5i，
则 a＋65＝0，3－2a5≠0，解得a＝－6，所以limn→∞ (1a＋1a2＋…＋1an) ＝limn→∞[(－16)＋(－16)2＋…＋(－16)n]＝－161＋16＝－17. 4．已知a，b∈R，|a|>|b|，且limn→∞ an＋1＋bnan>limn→∞ an－1＋bnan，则a的取值范围是( ) A．a>1 B．－1C．a<－1或a>1 D．－11 解析：选D.∵|a|>|b|，
则limn→∞ an＋1＋bnan＝limn→∞[a＋(ba)n]＝a，
高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 专项限时集训1 与三角变换、平面向量综合的三角形问题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
上海高三数学高考二轮复习教案专题之学习运用题型含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习专题之学习运用题型 教学目标 了解学习运用题型的主要命题方式，并掌握最主要的三类的不同做法。
【解读：学习运用题型命题较难，故考查不多，属于“中级”难度】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，大都是高考原题、一二模考题。
各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等】类型一：“学习解法，模仿解题”例1.（★★★）阅读下列问题的解法： 实数y x ,满足545422=+-y xy x ，设22y x S +=，求min max 11S S +的值．解：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos S y S x 代入545422=+-y xy x ，化简后得5cos sin 54=-ααS S ， 解得α2sin 5810-=S ；∵ 12sin 1≤≤-α，∴ 132sin 583≤-≤a ， ∴ 3102sin 58101310≤-≤α，∴ 581016101310311min max ==+=+S S ． 试用上述解题方法解下列问题：设R y x ∈,且x y x 62322=+，求22y x +的取值范围是_________。
解：由22326x y x +=，得()222113y x -+=，设1cos 6sin 2x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，代入化简后，得()22219cos 222x y α+=--+ ∵ 1cos 1α-≤≤，∴ 2204x y ≤+≤． 因此，22x y +的取值范围是[0,4]．【评述：展示一种解题技巧，让学生学习运用。
此题是三角换元，难度不大】巩固练习1.（★★★★）问题“求不等式345x x x +≤的解”有如下的思路：不等式345x x x +≤可变为34()()155x x +≤，考察函数34()()()55x x f x =+可知，函数()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，∴原不等式的解是2x ≥. 仿照此解法可得到不等式：33(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．解：化简原式，得33(23)(23)x x x x +>+++，再根据所教方法——构造函数法，得到思路，可以设3()f x x x =+，使原式变为()(23)f x f x >+，而3()f x x x =+又明显是一个增函数， 故23x x >+，解得(,3)-∞-．另解：直接可以对该不等式进行因式分解也可得到答案，或者利用计算器猜的答案，但都不推荐。
高考数学二轮专题复习 极限与数学归纳法练习
2009高考数学二轮专题复习 极限与数学归纳法练习 主干知识整合：要求了解数列极限和函数极限的概念。
掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。
理解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
经典真题感悟1．在等差数列{a n }中，a 1＝125，第10项开始比1大，记t ＝2lim n n n a S n →∞+，则t 的取值范围是A ．475t >B ．837525t <≤C ．437550t <<D ．437550t <≤ 1 D2 用数学归纳法证*11111111"1()"234212122n N n n n n n-+-++-=+++∈-++的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为_____ 2 . 221121+-+k k __________3．设常数0a >，42ax⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____ 1 4.已知()131lim 331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围是. 42a ∴-<<5 已知函数()()⎩⎨⎧>≤+=003)(x e x k x x f x，若)(lim 0x f x →存在，则k 的值为______1___，6.有以下四个命题：（1）2n＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+…+2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2)2(-n n (n≥4)．其中满足“假设n =k (k ∈N,k ≥n 0).时命题成立，则当n =k +1时命题也成立.”但不满足“当n =n 0（n 0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是10.(2)（3）考点热点探究例1.1 ( 1）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；(2) 0lim→x bb x a a x -+-+2222．（a ＞0）2．(2006陕西) n →∞lim 12n(n 2+1－n 2－1) 等于( )A ． 1B ． 12C ． 14 D ． 03． 已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn can ++22的值是 A ．2 B ．3 C ．21D ．6 4．（2006重庆）213(21)lim21n n n n →∞+++-=-+ 。
高考数学二轮复习 专题限时集训八配作业 理 解析 试题
专题限时集训(八)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日[第8讲 平面向量及向量的应用](时间是：45分钟)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，那么以下结论正确的选项是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2．e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，那么|a |等于( ) A ．4 B.11 C ．3 D.73．假设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a⊥(a ＋b )，那么a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π64．向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，那么向量a ，b 的夹角的余弦值为( )A.31010 B ．－31010 C.22 D ．－225．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，假设|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，那么|a×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或者8D ．66．两点A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，那么λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－27．两个非零向量OA →，OB →不一共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n >0)，直线PQ 过△OAB 的重心，那么m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝32B ．m ＝1，n ＝12C.1m ＋1n＝3D ．以上全不对8．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于点D ，且AD →＝13AC →＋λAB→(λ∈R )，那么AD 的长为( )A ．2 3 B. 3 C ．1 D ．39．如图8－1，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是线段BN 上的一点，假设AP →＝mAB →＋211AC →，那么实数m 的值是________．图8－110．设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴，y 轴正方向一样的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，那么△OAB 的面积等于________．11．a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，a 与a ＋λb 的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围为________．12．向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)． (1)假设a ⊥b ，求θ的值；(2)假设|2a －b |<m 恒成立，务实数m 的取值范围．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的对边长分别为a ，b ，c .(1)设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，假设z ∥(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；(2)假设sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，证明：a 2－c 2＝2b 2.14．设向量m ＝(cos x ，sin x )，x ∈(0，π)，n ＝(1，3)． (1)假设|m －n |＝5，求x 的值；(2)设f (x )＝(m ＋n )·n ，求函数f (x )的值域．专题限时集训(八)【根底演练】1．D [解析] ||a ＝1，||b ＝22，A 不正确；a ·b ＝12，B 不正确；a ＝λb 时可得1＝12λ且0＝12λ，此方程组无解，C 不正确；(a －b )·b ＝12，－12·12，12＝0，D 正确．2．D [解析] ||a ＝9＋4＋2×3×2cos120°＝7.3．C [解析] 设a ，b 夹角为θ，由a ⊥(a ＋b )，得a ·(a ＋b )＝0，即|a |2＋|a |·|b |cosθ＝0，代入数据解得cos θ＝－22.又θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. 4．C [解析] a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)得b ＝(2，0)， cos 〈a ，b 〉＝222＝22，所以选C.【提升训练】5．B [解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，所以|a×b |＝|a|·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.6．C [解析] OC →＝－2OA →＋λOB →＝－2(1，0)＋λ(1，3)＝(－2＋λ，3λ)．因为∠AOC ＝120°，所以由tan120°＝3λ－2＋λ＝－3，解得λ＝1.7．C [解析] 设重心为点G ，且PG →＝tPQ →， 所以OG →＝OP →＋PG →＝mOA →＋tPQ →＝mOA →＋t ()nOB →－mOA → ＝m (1－t )OA →＋ntOB →.设OG 与AB 交于点D ，那么点D 为AB 的中点．所以OG →＝23OD →＝13(OA →＋OB →)．故⎩⎪⎨⎪⎧m 〔1－t 〕＝13，nt ＝13，消去t 得1m ＋1n C.8.A [解析] 如图，过D 作AC ，AB 的平行线，分别交AC ，AB 于E ，F ，那么AD →＝AE →＋AF →，由AD →＝13AC →＋λAB →及B ，D ，C 三点一共线知AC ＝3AE ，λ＝23.又AB ＝3，所以AF ＝23ABAD 是∠A的平分线知，四边形AEDF 是菱形，所以AE ＝2，|AD →|2＝(AE →＋AF →)2＝AE →2＋AF →2＋2AE →·AF →＝12，∴|AD →|＝23，选A.9.311 [解析] ∵AN →＝13NC →，∴AC →＝4AN →，又AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →.由点B ，P ，N 一共线可知，m ＋811＝1，∴m ＝311.10．5 [解析] 由题可知|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－5，所以cos 〈OA →，OB →〉＝－555＝－15，sin 〈OA →，OB →〉＝25，所求面积为S ＝12×5×5×25＝5.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0∪()0，＋∞ [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ·〔a ＋λb 〕>0，a 与a ＋λb 的夹角不是0，即⎩⎪⎨⎪⎧〔1，2〕·〔1＋λ，2＋λ〕>0，1·〔2＋λ〕－2〔1＋λ〕≠0，即λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0∪(0，＋∞)．12．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， ∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈－π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3∈－32，1，∴|2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.13．解：(1)x ＋y ＝(sin B ＋cos B ，sin C ＋cos C )， ∵z ∥(x ＋y )，∴cos B (sin C ＋cos C )＋cos C (sin B ＋cos B )＝0， 整理得tan C ＋tan B ＋2＝0， ∴tan C ＋tan B ＝－2.(2)证明：∵sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，∴由正、余弦定理得：a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋3×b 2＋c 2－a 22bc×c ＝0，∴a 2－c 2＝2b 2.14．解：(1)∵m －n ＝(cos x －1，sin x －3)，由|m －n |＝5得cos 2x －2cos x ＋1＋sin 2x －23sin x ＋3＝5， 整理得cos x ＝－3sin x ，显然cos x ≠0，∴tan x ＝－33. ∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π6.(2)∵m ＋n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)，∴f (x )＝(m ＋n )·n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)·(1，3) ＝cos x ＋1＋3sin x ＋3 ＝232sin x ＋12cos x ＋4＝2sin x ＋π6＋4.∵0<x <π，∴π6<x ＋π6<7π6.∴－12<sin x ＋π6≤1⇒－1<2sin x ＋π6≤2，∴3<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋4≤6，即函数f (x )的值域为(3，6]．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。