复变函数详细讲解

浙江大学
设
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) z1 z 2 r1r2 (cos 1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) r1r2 [cos(1 2 ) i sin( 1 2 )]
x
O
z1
3 3 1 3 z3 i 2 2
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复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n zz z r n (cos n i sin n )
复数的方根
设
z re
i
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
wn z
的所有w值为z的n次方根，并且记为
定理
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
y
Arg ( z1 z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 )
注意多值性 O
z1 z2
x
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ຫໍສະໝຸດ Baidu数形式表示
z1 z 2 r1e r2 e
i1
i 2
r1r2 e
i (1 2 )
推广至有限个复数的乘法
z1 z 2 z n r1e i1 r2 e i 2 rn e i n r1r2 rn e
i (1 2 n )
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除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
或者
z2 z2 z1 z1
z2 Arg z 2 Arg Arg z1 z1 z2 Arg Arg z 2 - Arg z1 z1
z 2 r2 i ( 2 1 ) e z1 r1
wn z
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设
w e i ,
则
n e in re i
r
n
e
in
e
i
n r , n 2k , k 0,1,2,
即
r,
n
2k
n
1 n
,
k 0,1,2,
i sin
w re
n
i
2 k
1 n
w0 r (cos
1 n


wn 1 r (cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
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例： 3
8
8 2 3 (cos i sin )
3
8 2(cos
2k
3
i sin
2k
3
)
k 0,1,2
n
r (cos
2k
n
2k
n
)
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当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
i sin ) n n 1 2 2 n w1 r (cos i sin ) n n 1 4 4 n w2 r (cos i sin ) n n
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复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为
三角式： z
指数式：
r cos i sin
i
x r cos y r sin r x 2 y 2 y arctan x
z re
r z
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例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 1, z 2 2 i
y
z 3 z1 ( z 2 z1 )e 3 1 3 (1 i )( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z3 i 2 2
i

z3
z2
y z=x+iy
O
x
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e) 复数的几种表示法
几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 y
z2 z1
O 加法运算 x
z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2
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y
z1 z2
z1 z 2
O x
z2
减法运算
z1 z 2 z1 z 2
复数的 模
Arg z
复数的 幅角
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讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
0
的幅角称为Arg z的主值。记为
0 arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
即
3
1 i 3 k 0 8 2 k 1 1 i 3 k 2
第一章 复数与复变函数
第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数
第六章 保角映射
第七章 Laplace变换
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第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域
复变函数
复变函数的极限与连续
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复数及其代数运算
a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y

x1 x2 y1 y 2 ix2 y1 x1 y 2
x2 y 2
2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
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c) 共轭复数：
z x iy , z x iy
容易 验证
互为共轭复数
2
z z,
zz x y
2
z z 2 x 2 Re z,
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2 z1 z 2
z z 2iy 2i Im z
z1 z 2 z1 z 2
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d) 复平面
一对有序实 数（x，y）
平面上一点P
复数 z = x + i y 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面
规定：
i 1
2
z1 z 2 x1 x2 , y1 y2 z1 z 2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z 2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 y1 x2 )
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z1 x1 iy1 x1 iy1 x2 iy 2 z 2 x2 iy 2 x2 iy 2 x2 iy 2