§5.9复变函数的导数与解析函数

（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
求导公式:
c 0
z n nz n1
f z gz f z gz
f zgz f zg(z) f (z)gz
f z g z
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(z)gz f z g 2 z
函数的极限。
设f(z)在 z0 可导，即极限
lim
z0
w z
lim
z0
f z0
z
z
f z0
存在.
意味着z以任何方式趋于零时，上面的极限有确定的极限值。
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x0
z
lim
ux0 x, y0 ivx0 x, y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在直线 x 1 上满足C R条件
2 f (z)在直线 x 1 上 可导，在复平面上处处不解析.
2
例5 证明：如果 w u(x, y) iv(x, y)为解析函数，
那么w必与z无关，可以单独用 z来表示。
证明：即证 w 0.将x 1 (z z ), y 1 (z z )
注：（1） Lnz为无穷多值函数。对应于每个固定的k， 可确定的一个单值分支，记为(Lnz) .当Argz 取主值
k
arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支 Lnz ln z 2ki (k 0,1,2,)
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 lnx(x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
lim lim f z f 0
k (x)2
k
z(1ki )x0
z
x0 (1 ki)x 1 ki
lim
z 0
f z
z
f 0
不存在
f (z) 在 z 0 不可导。
例 3 说明C R条件不是复变函数可导的充分条件
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导
f z0
z
z
f z0
存在,则称函数 f 在 z 0 处可导,并称此极限值为
f 在点 z 0处的导数,记为 f z0 ,即
f z0 lim z 0
f z0
z
z
f z0
或记为
dw ,
dz z z0
w z z0
若函数 f (z) 在区域 D 内的每一点都可导,则称 f (z) 在 D 内可导.
在复平面上处处连续，且满足C R条件， f (z)在复平面上处处可导，处处 解析，且
f (z) ux ivx e x (cos y i sin y) f (z)
（2） f (z) x y ixy
解 u(x, y) x y, v(x, y) xy，而 ux 1, u y 1, vx y, vy x
v bx ay 2x 1y
而 lim 1x 2y 0, lim 2x 1y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
u(x, y),v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微 u(x, y),v(x, y)在(x0 , y0 ) 处满足C R条件,前已证得。 (充分性） u(x, y), v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微
z
2
2i
代入w u(x, y) iv(x, y)，则w为z与z的函数。
w w x w y z x z y z
(u x
ivx )
1 2
(u y
ivy )(
1) 2i
1 2
(u x
vy )
i 2
(u y
vx )
C R条件
0
三 初等函数
1. 指数函数 性质：
w ez ex (cos y i sin y)
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
lim z lim x iy z0 z (x,y)(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy
y0
可导必 连续,连 续不一 定可导
lim x iy lim x 1
y0 x iy x0 x
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
u0 iv0 w0
f (z)在 z0连续
u( x, y)，v( x, y)在( x0 , y0）连续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
5.9 复变函数的导数与解析函数
复变函数 ：
设D C，f是定义在D上的复变函数， f:D C, z x iy w f (z) u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u(x, y) iv(x, y)
一个复变函数 二个二元实函数
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
（1）二元函数u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处满足C R条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在
(
x0
,
y0
)
处连续
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上处处 不解析.
（3） f (z) x 2 iy
解 u(x, y) x2 , v(x, y) y，而 ux 2x,u y 0, vx 0, vy 1
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
ux0 , y0 y ivx0 , y0 y ux0 , y0 ivx 0 , y0
y0
iy
v i u y y
u i v x x v i u
y y
f (z0 )
lim
z0
f z0
z
z
f z0
f z0 z
f z0
f
(
z0
)z
z( lim z0
0)
设 f (z0 ) a ib, 1 i2, z x iy，则
f z0 z f z0 u iv
(a ib)(x iy) (1 i2 )(x iy)
ax by 1x 2y i(bx ay 2x 1y) u ax by 1x 2y
u uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) v vxx vyy o( (x)2 (y)2 )
w u iv z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
u x
v y
(C R
v
u
方程）
x y
定理（1 可导的必要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D 处可导，则二元函数u(x, y),
v(x, y)在点
(x0, y0 )
处存在偏导数 u ，u ，v ，v ，且满足 x y x y
(2) ez ex 0, (ez ) ez 0