复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
= z
23
例6 设复变函数f(z)= u(x, y)+iv(x, y),且u(x, y)
和v(x, y)都有偏导数，试证(形式地)：对于f(z),
柯西 -黎曼方程可以写成：
17
例2 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ),
问常数a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解 析?
解 记u( x, y) x2 axy by2, v( x, y) cx2 dxy y2
u 2x ay, x
u ax 2by, y
价的.
4
证明： 事实上，复变函数在区域内解析 显然在该区域内可导.
反过来，设 f (z)在区域 D内可导， 则 z D, 必存在 z 的某个邻域 U , 使得 U D, 由 f (z)在区域 D内可导，必有 f (z)在 U内可导， 即 f (z)点 z 处解析，由 z 的任意性，得证.
5
例 7 研究函数 f (z) z 2 的解析性.
x
x
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
于是 f (z) c ic2 (常数).
20
参照以上例题可以证明: 如果 f (z) 在区域 D 内解析, 并且满足下列条件之一，
则 f (z) 在 D 内为常数.
(1) f (z)恒取实值;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
z0 x0 y0i
*
u v x y
u v y x
当 f (z在) z可 导z0 时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材P 54-55
11
由该定理，可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z0 x0 iy0 处的导数公式:
此时 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
u v , u v . 且四个偏导数均连续 x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析. 且 f (z) e x (cos y i sin y) f (z) ez .
偏导函数在点 均连续并且z满足 C-R 方 程，则 在点 处可导f (z。) z
由于复变函数在区域内解析与在该区域内可导是 等价的，我们有
定理2 函数f (z) = u( x, y) + iv( x, y)在其定义区
域D内解析的充分条件是：u( x, y)与v( x, y)的一阶偏
导数在D内连续，并且满足C-R方程。
解 f (z0 z) f (z0 ) z0 z 2 z0 2
z
z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0
z
z0
z z
当 z0 0 时,
lim f (z0 z) f (z0 ) 0
z0
z
6
当 z0 0 时,
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
u v y x
当 f (z在) z 可z0导时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材(P 52-53)
10
定理2 复变函数 f (z) u(x, 点y) v(x, y)i 可导的充分必要条件是： ⑴函数 u( x与, y) v在( x, y) 可z0微 x．0 y0i ⑵ 在该点满足方程
8
（5） 函数解析的充要条件
Cauchy-Rieman方程
9
*
定理1 复变函数 f (z) u(x, y点) v(x, y)i z0 x0 y0i
可导（可微）的必要条件是：
⑴函数 u( x,与y) v在( x, y) 存z0 在= x0偏+ y导0i 数
⑵ 在该点满足方程
u v x y
解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象。 这里首先介绍复变函数导数的概念，然后 讨论复变函数在解析的概念和充要条件， 最后介绍几个常见初等函数的解析性。
1
一个函数的导数定义为一个特殊的极限
f '(a) lim f ( x) f (a) xa x a
形式上可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (7) v u2;
(6) Im[ f (z)] 常数; (8) arg f (z) 常数.
21
例5 试证函数f(z)=ln|z|+iargz 在角形域
-π<arg(z)<π解析，且在该区域内有f'(z)= 1.
z
解 由题意:u(x,y)= 1ln(x2 + y2 ),v(x, y)= arctan y(x >0),
2
§2-1 解析函数的定义与柯西-黎 曼方程
一 解析函数的概念 (1) 导数的定义链接-导数定义.ppt
(2) 可导与连续及可微的关系 链接-可导与连续.ppt (3) 求导法则链接-求导法则.ppt (4) 解析函数的定义
3
(4) 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 的某个邻域内处处可导,
1 2
i
v x
i
v y
0
由此可见，解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们说一个
z
解析函数与z无关，而是z的函数
25
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式或求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可直 接断定 f (z) 在 D内解析. (2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u, v 在 D内 的各一阶偏导数连续(因而 u( x, y), v( x, y)在 D 内可微)，且满足 Cauchy Riemann 方程, 则 由解析函数的充要条件断定 f (z) 在 D内解析.
v 2cx dy, x 欲使 u v ,
x y
v dx 2 y, y u v , y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
18
例3 如果 f(z) 在区域 D 内解析，且| f(z)| 是一个常数,
z z
x x
iy iy
1 i y
1
i
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性, z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim f (z0 z) f (z0 )不存在
z0
z
因此, h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析.
13
由该定理，可得解析函数 f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) 在 点 区域D内 的导函数公式:
f (z) = u + i v = 1 u + v . x x i y y
14
例题
例 1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w =| z |; (2) f (z) = e x (cosy + isiny); (3) f (z) = z 2 .
则f(z) 在区域 D 内为一常数.
证 由已知得：| f (z) |2 u2 ( x, y) v2 ( x, y) c
对上式两边分别对x,y求偏导得：
2uux 2vvx 0, 2uuy 2vvy 0
从而 ux uy
=
vx vy
, 结合ux
=
vy ,uy
=
-v
得：
x
ux2
+ u2y
=
0,vx2
16
(3) f (z) = z 2 = x2 - y2 - 2xyi,
合集下载
复变函数的可导与解析
复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
复变函数-第三讲
s inz,c ozs作 为 复 变,函 是 数 否 与 实 变 函 数
有类似的:结si果 nz 1, cozs 1.
5) 由正弦和余弦函及 数指 定数 义函数 的加法定理可推三 知角 一公 些式
scionzzs1(1( zz22)) scionzz1s1ccoozzs2s2csionzzs11ssiin nzz22 sin 2zco2sz1
当x0时, eiy coysisiny, 从而得到 : eiy coysisiny
e iy e iy
e iy e iy
si y n
cy o s
y R(2 )
2 i
2
推广到复变数情形
定义
ezi ezi sinz
ezi ezi co sz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
uv v u x y x y
上述条件满足时,有
f'(z)uxivxux iuyvy iuy vy ivx
最易记忆
仅用u 表示
仅用v 表示
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数
f(z) 在全平面除
1 1 z1 i , z2 i 外解析。 2 2
3、函数解析的条件(C-R条件) 定理 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 (1) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 可微; (2) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 的微分满足 C-R 方程：
(3) 满足
e z1 z2 e z1 e z2 ,
(4) 以2kπi (k=0, ±1, ± 2,...)为复周期。这是因为 ei2kπ=cos(2kπ) +i sin(2kπ)=1， 所以 ez+i2kπ= ez·i2kπ=ez. e
我们发现导数定义与实函数完全类似。因此我们也有与实函数完 全相似的符号(例如以 △f=f(z+△z)-f(z)称为函数增量等等)。并且有 完全相同的求导运算法则。
例：函数 f(z)=|z|2 在 z=0 可导并且 f’(0)=0. 证：
f ( z ) f ( 0) | z |2 zz lim lim lim lim z 0. z 0 z 0 z 0 z z 0 z0 z
vx=-uy=6xy , 所以 v=3x2y+g(y), (2) 这一步中的g(y) 也是必须的。
(2) 曲线积分法
例：求 u=x3-3xy2 的共轭调和函数。
解：因为 u 是调和函数，因此其共轭调和函数 v 存在并且其全微分 dv=vxdx+vy=-uydx+uxdy=6xydx+(3x2-3y2)dy, 利用高等数学中全微分的原函数求法，取顶点为 (0,0), (x,0), (x,y) 的 折线作为积分路径，由此求出
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)
(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
目录
上页
下页
返回
结束
【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
返回 结束
目录
上页
下页
内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
目录
上页
下页
返回
结束
【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
返回 结束
目录
上页
下页
内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
复变函数第4讲
究竟是偶然的现象还是必然的规律？ 究竟是偶然的现象还是必然的规律？
定理1 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点 z0 = x0 + i y0 在点 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在 ( x0 , y0 ) 在 可微，且在该点满足 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程 方程
思考题
实函数中 , f ( x ) = x 在 ( −∞ , +∞ )内可导 ; 复函数中 , f ( z ) = z 的可导性 ?
2 2
处可导， 结论： 结论： 函数 f ( z ) = z 仅在 z = 0 处可导， 处处连续 .
2
事实上
注意到
z
2
= z z,
∆f f ( z 0 + ∆ z ) − f ( z 0 ) ( z 0 + ∆ z )( z 0 + ∆ z ) − z 0 z 0 = = ∴ ∆z ∆z ∆z ( z 0 + ∆ z )( z 0 + ∆ z ) − z 0 z 0 ∆z = = z0 + z0 + ∆z . ∆z ∆z ∆f 当 z 0 = 0 时，lim = 0 , 即 f ' ( 0 ) = 0; ∆z → 0 ∆ z ∆f 当 z 0 ≠ 0 时， lim 不存在 . ∆z→ 0 ∆ z
(1) c ' = 0, 其中c为常复数； (2) ( z n ) ' = nz n−1 ;
(3) 若f (z)、g(z)都可导，则 都可导，
(i ) (ii ) ( f ± g )' = f '± g' ; ( f g )' = f ' g + f g' ;
复变函数2
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解： （法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数 证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.