复变函数与解析函数
§5.9复变函数的导数与解析函数
（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
§5.8复变函数的导数与解析函数
（2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
u
v ，v
u .
x y x y
则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导.
二、解析函数
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。
p Lnz
p ln z2k pi
z e q e q q , 取k 0,1,2, q 1时的q个值
特别，当 1 (n为正整数)时，即为z的n次方根
n
• 对其他的, z 有无穷多值
（2） Lnz取主值ln z时,相应的 z e ln z称为z的主值
(3) 解析性：
对应于Lnz的各个单值分支，z的各个单值分支在除原
如例2 中 的 f (z) z 处处不可导，因而处处不解析。
例3 中 的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在z0解析 f (z)在z0可导
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 : 函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处满足C R条件：
(2) ez e x 0,(ez ) ez 0 复变函数中无中值定理
2. 对数函数
w Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ).
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数2-1解析函数的概念
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
19
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
u v u v , . x y y x
23
证明：必要性
设f ( z )在z x iy处可导，记作 f ( z ) a ib，
'
则由定义有f ( z 源自 ) f ( z ) (a ib)z ( z )
(a ib)(x iy) ( z )
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
9
二、解析函数的概念与求导法则
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导,那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
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复变函数与解析函数
专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。
1、基本概念
1、复数
指数表示：
宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。
若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。
做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。
设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。
当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。
2、复变函数
领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。
区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。
则我们称D为区域。
单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。
复变函数：以复数为自变量的函数。
记
则：
所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。
它给出了z平面到w平面的映射或变换。
复变函数的连续性：
如果
则称在处连续。
3、解析函数
复变函数的导数：
复变函数定义在区域D上，，如果极限
存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作：
解析函数：
若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。
奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。
Cauchy-Riemann条件（CR条件）
此为f(z)在z点可微的必要条件。
充要条件：
（1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。
（2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。
另外我们有推论：
若f(z)在D内解析，则f(z)在D内具有任意阶导数。
4、初等单值函数
初等函数（elementary function）是由基本初等函数（通常认为包括常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）经过有限次的加减乘除和复合所构成的函数。
令
称为有理分式，也称有理函数。
除去满足的点外，f(z)在复平面上处处解析，是f(z)的奇点。
复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的：显然都是周期函数，周期为，且他们的绝对值都能大于1.
如：，显然可以大于任意数。
双曲函数：
复变量的双曲函数也是通过指数函数来定义的。
称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。
他们在整个复平面上解析。
5、解析函数的物理意义
调和函数：如果二元实变函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace方程
则称为区域D内的调和函数。
若是区域D内的解析函数，则、均为D内的调和函数。
由已知函数，则由
积分求出，反之亦然。
正交曲线族
若是区域D内的解析函数，则曲线族相互正交。
二、复变函数的积分
1、复积分的定义和基本性质
曲线的方向：一阶导数连续的曲线称为光滑曲线。
简单曲线：没有重点的曲线。
围线：逐段光滑的简单闭曲线。
复积分的定义及存在性：
定义：
设函数沿曲线C：有定义，在C上沿参数增加的方向从取分点
将C分为n个弧段，在至的弧段上任取一点，作和数
若
C称为积分路径。
积分存在定理：
2、 Cauchy积分定理
设函数在单通区域D内解析，C为D内的任意围线，则
推论：设函数在单通区域D内解析，，则积分
定理（变上限积分）设函数在单通区域D内解析，是定点，则由定义的函数在D内解析，且。
复通区域的Cauchy积分定理：
设D是由复围线围成的复通区域，函数
或者：
Cauchy积分公式及其推论
设区域D的边界是围线或复围线C，函数在D上解析，则
注意：该公式表明，对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区域内的函数值也就完全确定了。
改写为如下形式可以用于计算某些积分。
解析函数的高阶导数
解析函数一次可微导致任意次可微，而且边界上的函数值不仅确定了所谓区域内的函数值，也确定了其中各阶导数的函数值。
设区域D以围线或复围线C为边界，函数在闭区域上解析，则在D内有各阶导数：
Liouville定理
在整个z平面上解析的函数称为整函数。
有界整函数必为常数。
3、解析函数的幂级数展开
Cauchy收敛原理：
形如的级数，收敛的充要条件是：
作为上式得特列，取，则得到，所以上面的级数收敛的必要条件是：如果级数
收敛，则称上述级数绝对收敛，收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛。
四、解析函数的Laurent展开与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展开
考虑两个幂级数：
他们的和为：
称为双边幂级数。
双边幂级数具有如下性质：
a) 在收敛环H内绝对收敛于。
b) 和函数在H内解析。
c) 在H内可以逐项求导和逐项积分。
Laurent定理：设函数在环域H：内解析，则在H内可以展开为双边幂级数：
其中
而是环内包围内圆的任意围线。
且展开式是唯一的。
解析函数的零点与孤立奇点：
定义：若函数在点解析，且
注：
多项式是最简单的解析函数，如果是多项式的重根，则有
，其中是次多项式，且。
容易验证，在点满足以上条件，所以是的阶零点。
一般解析函数的阶零点是多项式重根的推广。
定理（阶零点）若函数。
零点的孤立性：若函数的零点，则必存在领域，在其中只有一个零点。
推论：若函数在区域D内解析，在D内有点列，满足，，。
解析函数的唯一性定理：若函数均在区域D内解析，在D内有点列，满足，，
解析函数的孤立奇点及其分类：
定义：
粗略的说，如果函数，但在的附近没有别的奇点，则就是的孤立奇点。
正则部分和主要部分用于判断奇点奇性的大小：
是内半径为零的环域，在其中解析，则可以展开为Laurent级数：
展开式中的正幂部分，即称为正则部分，负幂部分，即称为主要部分。
孤立奇点的分类：
（1）如果主要部分为零，则称为的可去奇点（removable
singularity）.
（2）如果主要部分为，其中，则的阶极点（pole）。
时也称为单极点。
（3）如果主要部分有无穷多项，则的本性奇点（essential
singularity）。
2、各种孤立奇点的判断：
函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是。
为阶极点的充要条件是在的某去心领域内可以表示为：
，其中在点解析，且。
或者是
推论：函数的孤立奇点为极点的充要条件是
本性奇点的判断：
函数的孤立奇点为本性奇点的充要条件是不存在，即不为有限值也不为无穷。
五、留数定理及其应用
1、留数定理
定义：如果函数以为孤立奇点，即在中解析，则积分
称为在点的留数（residue），记作
设在点的Laurent展开为
由此可知，可去奇点处的留数为零。
Cauchy留数定理：
设函数在围线或复围线C所围的区域D中有孤立奇点，此外在D上解析，
则有：
2、留数的算法
极点的留数定理：设是的阶极点，则
于是有下面两个常用的推论：
单极点：
二阶极点：
单极点的留数计算还有另外一个公式：
设是点解析，且
，则
当极点的阶数较高时，常做Laurent展开，求出系数，对于本性奇点，这也是唯一的计算方法。