复变函数解析函数
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数2-1解析函数的概念
n1 ( 2) ( z ) nz , 其中n为正整数.
n
19
( 3) (4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
x 2yi lim z 0 x yi
z
o
y 0
x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于z，
x x 2yi lim 1, lim x 0 x z 0 x yi
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z，
x 2yi 2yi lim lim 2, z 0 x yi y 0 yi
u v u v , . x y y x
23
证明：必要性
设f ( z )在z x iy处可导，记作 f ( z ) a ib，
'
则由定义有f ( z 源自 ) f ( z ) (a ib)z ( z )
(a ib)(x iy) ( z )
所以f ( z ) x 2 yi的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
9
二、解析函数的概念与求导法则
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导,那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中一个非常重要的分支，也是其它自然科学中涉及到复数的问题所必须掌握的基础知识。
它的研究对象是由复变量组成的函数，在复平面上有非常丰富的性质和应用。
解析函数是复变函数中的一个重要概念，是指在某个区域内可导的复变函数，它在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用。
一、复变函数基础复数包含实数和虚数两个部分，即 $z=a+b i$，其中 $a$ 和$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复平面可使用一个点 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b i$，其中向上为正方向，向右为正方向。
我们可以将复平面分为实轴和虚轴两部分，实轴上的点是实数 $a$，虚轴上的点是复数 $b i$。
对于一个复变量 $z=x+y i$，可以分别表示为实部 $x$ 和虚部$y$，即 $x=Re(z), y=Im(z)$。
其中，共轭复数（conjugate complex）的实部不变、虚部相反，即 $z^* = x - yi$。
绝对值定义为模长（modulus）或者复数的模数（magnitude）：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。
二、复变函数的概念在实数域上，函数是由一个或多个自变量构成的表达式或规则，对应一个或多个因变量。
像$y=f(x)$ 这样的表达式就是一个函数。
在复数域上，一个函数 $f(z)$ 由一个复变量 $z=x+y i$ 构成，可看作 $(x,y)$ 上的某种标量函数。
即对于 $x,y \in \mathbb{R}$，$z=x+y i \in \mathbb{C}$，$f(z)$ 可以表示为$f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ 的形式，其中 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。
我们可以把 $\mathbb{C}$ 中的点 $z$ 对应到复平面上，把点$z$ 对应的函数值 $f(z)$，对应到复平面上的另一个点 $w$。
复变函数的解析函数与调和函数
复变函数的解析函数与调和函数复变函数是数学分析中的一个重要概念，它与解析函数和调和函数密切相关。
本文将介绍复变函数的解析函数与调和函数，并讨论它们的性质和应用。
一、复变函数的解析函数与调和函数1. 解析函数：解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它在其定义域内处处可导，并且导数连续。
具体而言，设复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy为复平面上的任意点，则f(z)在其定义域内解析的充分必要条件是它满足柯西—黎曼方程，即满足以下两个偏微分方程：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
2. 调和函数：调和函数是解析函数的一种特殊情况，即当解析函数的虚部为零时，即v(x, y) ≡ 0，此时其实部u(x, y)就是一个调和函数。
调和函数满足拉普拉斯方程，即在定义域内满足以下二阶偏微分方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。
二、解析函数与调和函数的性质比较1. 解析函数的性质：(1) 解析函数的实部和虚部都是调和函数；(2) 解析函数与其共轭函数的乘积是调和函数；(3) 解析函数的实部和虚部满足柯西—黎曼方程，从而具有一些重要的性质，如旋度为零、偏导数的连续性等。
2. 调和函数的性质：(1) 调和函数具有最大值原理和平均值原理；(2) 调和函数的解存在一定的唯一性；(3) 调和函数具有良好的逼近性质，可以用调和函数逼近光滑函数。
三、解析函数与调和函数的应用1. 解析函数的应用：(1) 解析函数常用于描述电磁场、流体力学、热传导等自然科学领域中的问题；(2) 解析函数在工程与技术中的应用广泛，例如电路分析、图像处理、通信系统等。
2. 调和函数的应用：(1) 调和函数在物理学中有广泛的应用，如波动方程的求解、电势场的描述等；(2) 调和函数在几何学和偏微分方程中也具有重要的作用，如调和映射、调和分析等。
总结：本文介绍了复变函数的解析函数与调和函数，讨论了它们的性质和应用。
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注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
w f (z)
d
v
(w)
e
A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
相关定理
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理2.1
设f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) z x iy z0 x0 iy0
即当 f ( z ) 在 z z0 点可导时,
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim . z 0 z
注意 z z0 ( z 0) 的方式是任意的.
若 f ( z ) 在区域 D内每一点都可导, 则称 f ( z ) 在区域 D内可导. 此时，对D内任意一点z, 有
故 u u( x, y ) v v( x, y )
w f ( z ) u iv u u( x , y ) v v( x, y )
例1
wz
2
2
令z x iy
2
w u iv
2 2
则 w ( u iv ) ( x iy ) x y 2 xyi
w z u x y
2
2
v 2 xy
实部等于实部 虚部等于虚部
1 1 例2 若已知 f ( z ) x 1 iy 1 2 2 2 2 x y x y 将 f ( z )表示成z 的函数 .
1 1 设z x iy , 则x ( z z ), y ( z z ) 2 2i 1 f (z) z z
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ). 令 ( z ) z
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z ( z )z ,
再由 lim ( z ) 0, 所以
z 0
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
则 lim f ( z ) A u0 iv0
z z0 ( x , y ) ( x 0 , y0 ) ( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
u( x , y ) u0 v( x , y ) v0
lim
定理2.2
若 l i m f (z) A
z z0 z z0 z z0
z z0
若在区域 D内 处 处 连 续 ， 则 称 f ( z )在D内 连 续 ; 若z、z0 C , 且 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f (z)
z z0
在曲线 C上 点z0处 连 续 .
例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 (1) f ( z ) arg z在 原 点 没 有 定 义 ，
确定了一个复变函数，用w=f (z)表示.
E 称为该函数的定义域.
若z 一个w值，称f ( z )是单值函数;
z 多个w值，称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
该函数的值域为：
G = f (E) = {w w = f ( z) , z ? E}
z x iy ( x , y ); w u iv ( u, v ) w f ( z ) f ( x iy ) u( x , y ) iv ( x , y )
函数问题时，可借助于几何直观.
以下不再区分函数与映射（变换）。
. 例3 研究w z 所构成的映射 解 设z r (cos i sin ) re i
z re i —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2
例4 研究w e i z (实常数）所构成的映射 . 解 设z re i w e i z e i re i re i ( ) w u iv (cos i sin )( x iy )
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
称w为z的象点 (映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
w=f(z)
v
(w)
G w
z
o
E
w=f(z) x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
例2
求f ( z ) z
z 在z 0时的极限. z z 2( x 2 y 2 ) f (z) 在(0,0)处 极 限 不 存 在 . 2 2 x y
例3
证明 f ( z ) Re z
z
在z 0时的极限不存在.
函数的连续性
定义2.3
若 l i m f ( z ) f ( z0 )， 则 称 f ( z )在z0处 连 续 ;
f ( z ) f ( z0 ) lim z z0 z z0
存在，则称 f ( z ) 在 z z0 点可导, 并把这个极
限值称为 f ( z ) 在 z z0 点的导数，记做 f ( z0 ).
定义中的极限式可以写为
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim , z 0 z
但是,
f ( z z ) f ( z ) z ( x x ) 2( y y )i x 2 yi x yi
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即
x 0, y 0.
o
y
z
y 0
x
于是
x 2yi x lim lim 1. x 0 x yi x 0 x y 0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
x 2yi 2yi lim lim 2. x 0 x yi y 0 yi y 0
定义2.2 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 邻域内有定义, A是复常数. 若对任意给定的e >0, 存在d >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<d 的z , 都有
f (z) A e
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做
lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z0 ).
w z
2 k z e 2 (k
0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为E，函数值集合为G， 那么
则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性
复变函数的极限
x、 u o x、 u
图1-2
图2
例5 y
研究w z 2 所构成的映射 .
(z)
v
w z2
(w)
2
o y
x
o
u
(z)
w z2
w z2 6
v
(w)
3
o
x
x2 y2 4
w z2
o
u
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w z 为z=w2的反函数或逆映射
所以 f ( z ) x 2 yi 的导数 不存在.
o
x 0
y
z
y 0
x
2、 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim f ( z0 ) 0, z 0 z
有界性：
设曲线 C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 内 在的 曲 线 段 若f ( z )在C上 连 续 M 0, 在 曲 线 上 恒 有 f (z) M
§2.2
解析函数的概念
一、复变函数的导数
1、 导数的定义 定义2.4 设 w f ( z ) 是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim . z 0 z
也可用
dw df ( z ) , dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例1
设
f ( z ) z 2 , 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f ( z ) 2 z . 解 因为
l i m g( z ) B, 则
z z0 z z0 z z0
l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) A B l i m f ( z ) g ( z ) l i m f ( z ) l i m g ( z ) AB
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) 2 z 2 lim z 0 z
lim(2 z z ).
z 0
所以 z 2 z .
2例2源自证明f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
故不连续。
( 2)在 负 实 轴 上 P ( x ,0)( x 0) lim arg z