2-1复变函数的导数
复变函数的导数
复变函数的导数定义：复变函数是通过一块二维的空间的某个点的坐标，映射为该点的唯一的实数值，而复变函数的导数则是用来描述函数变化的快慢程度的量度。
要了解复变函数的导数，首先要理解复变函数本身。
复变函数是一种将实数和复数之间的单射映射即每一点映射只有一个实数或复数，而每一个实数或复数只被映射到一个点的映射函数，通过它可以将实数和复数，即实部和虚部之间变化联系起来，也就是用函数的方式描述复数和实数之间的变化。
复变函数的导数表示函数中任意一点变化率的大小，它可以帮助我们确定函数中任意一点的斜率。
它是一个定义在实空间上任意部分位置处的一阶导数，可以用来表示曲线变化率的大小，反映了曲线变化的快慢程度。
具体来说，复变函数的某一点的导数指的是这个点上曲线的斜率，也就是这个点的斜率的大小，或者是在这个点曲线发生变化的速度大小。
求复变函数的导数有两种方法，一种是按复数的方式，另一种是按实数的方式。
按实数来求导，首先需要把函数用实变量表示，然后用常规的微积分方法来计算复变函数的导数。
按复数的方式来求导，就是用极坐标来表示复变量，然后用光滑曲线的性质，用公式计算复变函数的导数，其公式为：复变函数的导数即：f′(z)=fz(z)cosθ+fθ(z)sinθ其中，z=x+iy其中，fz表示对z的实部求导的结果，fθ表示对z的虚部求导的结果，θ表示z的极角。
下面我们看看复变函数的导数在求解实际问题中的实际应用。
在微分方程中，复变函数的导数可以用来求解复变数方程，因为它描述了复变量中点的变化率，而微分方程则可以描述复变量的变化状态，所以在求解复变函数的微分方程的时候，复变函数的导数就显得尤为重要。
在几何函数中，复变函数的导数也有一定的作用，可以用来求解几何函数图形的斜率，斜率表明该图形在某一点的曲率，从而可以更直观地描述几何函数图形，帮助我们更清楚地判断几何函数图形的变化状态。
此外，复变函数的导数还可以被用来判断极值点。
极值点是复变函数变化的拐点，复变函数的导数可以用来判断这些拐点，从而可以更加精确的确定极值点的位置。
复变函数的导数
函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。
7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
2-1复变函数的导数ppt课件
引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
17
2. 充要条件
说明: (1)当g'(z0 ) 0 而 f ' (z0 ) 0时，极限为无穷大。
(2)当 f ' (3) z
( z0
的) 情g'形(z0，) 可0用时，可1继把续问用题L’转Ho化sp为ita求l法则求0极的限极限
z
如: lim z sin 1 lim sin lim cos 1
23
例1 试证函数 f (z) （ znn为自然数）在复平面上处
处可导，且
f '(z) nzn1
证 用定义来证明．
对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有
于是，
在点z的导数存在且等于
由点 z 在复平面上的任意性，证得
上处处可导．
函数
在复平面解析．
． 在复平面
24
例2 设 f (z) z Re定z 义在复平面上，试证 f (于z)复 平面上仅在原点可导．
dw dz
z z0
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
2-1复变函数的导数
5. { f [ g( z )]} f ( w) g( z ) 其中w g( z )
1 6. f ( z ) w f ( z ), z ( w )是两个 ( w ) 互为反函数的单值函数 .
若 w f ( z z 0 ) f ( z 0 ) Az o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) Az为函数f ( z )在z0处的微分， 或说函数在z0处可微。 若函数在点z0可微，则A f ( z0 )，即 dw f ( z0 )z f ( z0 )dz
u i v lim . x 0 x i y y 0
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换
当z沿平行于实轴的直线趋于0时， u i v u v f ( z0 ) lim i x 0 x x x
当z沿平行于虚轴的直线趋于0时， u i v v u f ( z0 ) lim i . y 0 i y y y
x 0 y k x
lim
k x x x (1 ki )
x 0
k 1 ki
随着k值不同，极限值也不同，故极限不存在 所以f ( z )在z 0处不可微.
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件 常用u( x , y ), v ( x , y )是否有连续的偏导数 来代替是否可微
2
所以在复平面内是解析的；
f ( z ) x 2 yi在复平面内不可导， 所以复平面内是处处 不解析的；
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
2-1复变函数的导数
设f (z) u( x, y) iv( x, y)定义在区域D内，
工 程
则f (z)在D内一点可导的充要条件是：
大
学
1o u( x, y),v( x, y)在点( x, y)处可微；
复
变
函 数 与
2o 在该点满足柯西—黎曼方程：
积 分 变
u v , u v
换
x y y x
函 数 与 积 分
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
变
换
u i v
lim
.
x0 x i y
y0
当z沿平行于实轴的直线趋于0时，
哈 尔 滨 工
f
(z0 )
lim
x0
u i v x
u x
i
v x
程
大 学
换 有f (z) u iv (a ib)z z
(a ib)(x iy) o(| z |)
u ax by o(| z |)；
哈 尔
v bx ay o(| z |)；
滨
工 程
于是可得u(x, y),v(x, y)在z点可微,且
分
变 换
6. f (z)
1
w f (z), z (w)是两个
( w )
互为反函数的单值函数.
二、 Cauchy-Riemann方程
哈 复变函数的可导性不等价于它的实部和虚
尔
滨 工
部的可微性。
程
大 学
那么什么条件下复变函数才能可导呢？
复 变
若 w f (z)在z0处可导，故由导数定义，
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x 0
k 1 ki
随 着 k值 不 同 ， 极 限 值 也 不 同 ， 故 极 限 不 存 在 所 以 f ( z ) 在 z 0处 不 可 微 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
为什么满足C-R方程，函数还 不可微（导）？ 因为C-R方程只是必要条件
常 用 u ( x , y ), v ( x , y )是 否 有 连 续 的 偏 导 数 来代替是否可微
复 变 函 数 与 积 分 变 换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是 等价的。
3. 可导与连续的关系
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若 f ( z ) 在 z 0处 可 导 ， 则 f ( z ) 在 z 0处 必 定 连 续 ； 反之不成立。
证：因为
lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 )
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a x b y 1 i(b x a y 2 ) ( a ib )( x i y ) ( 1 i 2 )
所以
f (z) z
a ib
( lim 0 )
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
哈 尔 滨 工 程 大 学
讨 论 函 数 f (z)
x y 在 z 0的 可 微 性 ． x y , v ( x , y ) 0所 以
0 v y (0, 0)
解 由 于 u( x , y )
u x ( 0 , 0 ) lim
x 0
u( x , 0) u(0, 0) x
z 0
) z z
所 以 f ( z ) z 在 z 0的 点 处 处 不 可 导 .
2. 复变函数的微分
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若 w f ( z z0 ) f ( z0 ) A z o (| z |) ( z 0 )
称 d f ( z 0 ) A z为 函 数 f ( z ) 在 z 0处 的 微 分 ， 或 说 函 数 在 z 0处 可 微 。 若 函 数 在 点 z 0可 微 ， 则 A f ( z 0 )， 即 d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z
三、解析函数
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复 变 函 数 与 积 分 变 换
u y ( 0 , 0 ) lim
u(0, y ) u(0, 0) y
y 0
0 v x (0, 0)
满足C-R方程； 但是由于
f ( z ) f (0) z xy x iy
例4 验 证 w u ( x , y ) iv ( x , y )是 否 满 足 C - R方 程 ，
z z0 z z0
f ( z ) f ( z0 )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
lim ( z z 0 ) lim
z z0
z z0 f ( z ) f ( z0 ) z z0
z z0
0 f ( z 0 ) 0 故 f ( z ) 在 z 0处 连 续 .
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第二章
解析函数
第三讲 复变函数的导数与解析函数 学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握复变函数的导数与微分 掌握C-R方程与函数可导的充要条件
一、复变函数的导数与微分
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1. 定义 设 w f ( z ) 在 区 域 D 上 有 定 义 ， z 0为 D中
例1 讨论下列函数的可导性.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1)
f ( z ) x 2 yi
2) f ( z ) | z |
2
2.
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f (z) | z |
2
解 由导数的定义,有
f (z z) f
z 0
lim
z
z
பைடு நூலகம்
lim
z z
2
z
有 f ( z ) u i v ( a ib ) z z ( a ib )( x i y ) o (| z |)
u a x b y o (| z |)；
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v b x a y o (| z |)；
于 是 可 得 u ( x , y ), v ( x , y ) 在 z点 可 微 ,且
u
复 变 函 数 与 积 分 变 换
x
a
v y
,
u y
b
v x
2
C-R方程
例2
例3
讨 论 函 数 f ( z ) x iy 的 可 导 性 .
讨 论 函 数 f (z)
4. 求导法则
1.
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( c ) 0 ( c为 复 数 )
2 . [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z )
3 . [ f ( z ) g ( z )] f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z )
这里，
1 i 2
x i y
于是，有
lim f (z) z a ib u x i v x v y i u y
z 0
必要性
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设 f ( z ) 在 D内 解 析 ， 则 在 D内 任 意 一 点 z x iy 处可导，且
当 z 0时 , z沿 着 平 行 于 实 轴 的 方 向 趋 于 0时 , 有
lim ( z z z z z ) z z
z 0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z沿 着 平 行 于 虚 轴 的 方 向 趋 于 0时 , 有
lim ( z z z
2
z z
一 点 ， 点 z0 z z D .
如 果 极 限 lim
f ( z0 z ) f ( z ) z
z 0
存在，
复 变 函 数 与 积 分 变 换
则 说 f ( z ) 在 z 0可 导 ， 此 极 限 值 称 为 f ( z ) 在 z 0的 导 数 .
记 作 ： f ( z0 )
当 z沿 平 行 于 虚 轴 的 直 线 趋 于 0时 ， f ( z 0 ) lim u i v i y v x i u y .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
y 0
比较以上两式即得
v v u , x y x y u
CauchyRiemann方程
'
dw dz
z z0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
z 0
注 意 ： 定 义 中 z 0 即 z z 0 z z 0的 方 式
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是 任 意 的.
问题：复变函数的导数与实变元函数的导
数有什么不同？
区 域 D内 可 导 ： 如 果 f ( z ) 在 区 域 D内 处 处 可 导 ， 则 说 f ( z ) 在 D内 可 导 .
u x v x
x x
2
u v v v
y 1, y 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
v
其 中 1 , 2是 关 于
2
x y 的 高 阶 无 穷 小
设a
u x
v y
, b
u y
v x
则 f u i v
复 变 函 数 与 积 分 变 换
4. [
f (z) g(z)
]
f ( z ) g ( z ) g ( z ) f ( z ) g (z)
2
( g(z) 0)
5 . { f [ g ( z )]} f ( w ) g ( z ) 其 中 w g ( z )
6.
f ( z )
x y 在 z 0的 可 微 性 ．
例2 解 因 为 u ( x , y ) x , v ( x , y ) y , 所 以
2
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u x
1,
u y
0,
v x
0,
v y
2y
u ( x , y )和 v ( x , y ) 在 复 平 面 上 处 处 可 微 ,
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并讨论其可导性，其中 xy 2 2 u( x , y ) v ( x , y ) x y 0 x y 0
2 2
x y 0
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
解 ： f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 在 点 z 0满 足 C R方 程 ： u x v y 0， u y v x 0
2
z 0
z
复 变 函 数 与 积 分 变 换
lim
( z z )( z z ) z z z z z )
z 0
lim ( z z z
z 0
当z0时, 该极限值为零. 故在点z=0处函数可导
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且 f ( 0 ) 0；
但 u ( x , y )、 v ( x , y ) 在 点 ( 0 , 0 )不 连 续 ， 所 以 复 变 函 数 f ( z ) 在 z 0不 连 续 , 从 而 不 可 导 .
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