讲复数复变函数及其导数
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
§5.8复变函数的导数与解析函数
（2）u( x, y),v( x, y)在点 ( x0, y0 ) 处满足C R条件：
u
v ，v
u .
x y x y
则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导.
二、解析函数
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。
p Lnz
p ln z2k pi
z e q e q q , 取k 0,1,2, q 1时的q个值
特别，当 1 (n为正整数)时，即为z的n次方根
n
• 对其他的, z 有无穷多值
（2） Lnz取主值ln z时,相应的 z e ln z称为z的主值
(3) 解析性：
对应于Lnz的各个单值分支，z的各个单值分支在除原
如例2 中 的 f (z) z 处处不可导，因而处处不解析。
例3 中 的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在z0解析 f (z)在z0可导
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 : 函数f (z) u( x, y) iv( x, y)在区域D内解析 （1）二元函数 u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处可微； （2）u( x, y),v( x, y)在D内任一点 处满足C R条件：
(2) ez e x 0,(ez ) ez 0 复变函数中无中值定理
2. 对数函数
w Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k ).
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
复变函数与积分变换之复变函数的导数总结
大
学 称df (z0 ) Az为函数f (z)在z0处的微分，
复 变
或说函数在z0处可微。
函 数 与
若函数在点z0可微，则A f (z0 )，即
积 分 变
dw f (z0 )z f (z0 )dz
换
与一元函数一样，复变函数的可导和微分是
等价的。
3. 可导与连续的关系
哈 尔
x
u x
1
v y
2y
u y
v x
0
iy2仅在直线Im(z
y )=
1 2
1 2
上
的各点可导
例3 讨论函数f (z) xy 在z 0的可微性．
哈
尔 滨
解 由于u( x, y) xy , v( x, y) 0所以
工
程 大 学
ux
(0, 0)
lim
x0
数 与 积 分 变
C
R方程：ux
v y
0，
u y
v x
0
换
但u( x, y)、v( x, y)在点(0, 0)不连续，所以复变
函数f (z)在z 0不连续,从而不可导.
三、解析函数
哈 尔 滨
1. 定义：如果函数f (z)在z0及z0的邻域内处处
工 程
可导，则称f (z)在z0解析.
lim
z0
2yi yi
2
所以f (z) x 2 yi在其定义域内处处不可导.
2. f (z) | z |2
哈 尔
解 由导数的定义,有
数学导数复数知识点总结
数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。
一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。
复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。
而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。
1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。
通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。
1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。
而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。
设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。
如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。
初数数学中的复变函数公式详解
初数数学中的复变函数公式详解在初等数学中，我们学习了很多关于实数的运算和函数的概念。
然而，在高等数学中，我们会遇到更加复杂且抽象的数学对象，其中之一就是复变函数。
复变函数是定义在复数域上的函数，它既包含了实变函数的性质，又有一些独特的特点。
在本文中，我们将详细解析一些与复变函数相关的重要公式。
1. 欧拉公式欧拉公式是复变函数中最为著名的公式之一。
它将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i以及三角函数之间建立了一个重要的数学关系。
欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将复数的指数函数、三角函数和虚数单位统一了起来，展现了复数的神奇和优雅之处。
2. 复变函数的导数公式在实变函数中，我们学习了导数的概念和求导法则。
同样地，对于复变函数，我们也可以定义导数。
对于一般的复变函数f(z)，其导数f'(z)的定义如下：f'(z) = lim(Δz→0) [f(z+Δz) - f(z)] / Δz其中Δz是一个无穷小的复数。
利用导数的定义，我们可以推导出复变函数导数的一些重要公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的导数公式。
这些公式在复变函数的研究中起到了非常重要的作用。
3. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论中的基本方程之一。
它描述了复变函数的解析性质，是判断复变函数是否可导的重要依据。
假设有一个复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy为复变数，u(x,y)和v(x,y)为它的实部和虚部。
根据柯西-黎曼方程的定义，当函数f(z)可导时，其满足以下两个偏导数条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x这两个方程可以判断函数f(z)是否具有解析性，即在某个区域内是否可导。
4. 柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中的重要定理之一。
它描述了函数在某个闭合曲线内的积分与曲线所围成的区域内的函数值之间的关系。
假设有一个复变函数f(z)在某个区域内解析，且有一条闭合的简单曲线C，围成的区域为D。
复变函数的导数
复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。
复数可以
表示为z=x+iy。
贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。
那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。
如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。
1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。
一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。
以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。
这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。
从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。
数学中的复变函数理论知识点
数学中的复变函数理论知识点复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究了以复数为自变量和因变量的函数。
在复变函数理论中，有许多重要的知识点需要了解和掌握，本文将就其中的一些重要知识点进行介绍和解析。
一、复数与复平面复变函数理论的基础是复数与复平面。
复数是由实数和虚数组成，形如z=a+bi，其中a、b均为实数，i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面相对应，将实部与虚部分别映射到x轴和y轴上。
二、复数的运算复数的加减法、乘除法都遵循一定的规律，其中加减法是按照实部和虚部分别相加减，乘除法运用复数的乘法公式进行计算。
复数的求模运算是取复数与原点的距离，可以用勾股定理来表示。
三、复变函数的定义复变函数是将复数映射为复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部，x和y是复数z=a+bi的实部和虚部。
复变函数的定义域和值域都是复数集。
四、解析函数与调和函数解析函数是指在某个区域内处处可导的函数，也叫全纯函数。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即其二阶偏导数的混合二次导数等于零。
五、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论的重要定理之一，它表明解析函数的实部和虚部满足一组偏微分方程。
这个方程系统包括两个方程，分别是实部对应的方程和虚部对应的方程。
六、留数定理和留数求和公式留数定理是解析函数在奇点处的留数与曲线积分的关系，利用留数定理可以计算闭合曲线内的曲线积分。
留数是解析函数在奇点处的留下的一个特殊数值。
留数求和公式则是通过计算留数之和来求解曲线积分。
七、解析函数的级数展开解析函数可以用级数展开表示，其中最常用的是泰勒级数展开和劳伦茨级数展开。
泰勒级数展开适用于解析函数在某个点附近的展开式，劳伦茨级数展开适用于解析函数在圆环区域的展开式。
八、奇点与极点奇点是指函数在某个点上的值无限大或无定义的点，包括可去奇点、极点和本性奇点三种类型。
极点是一种特殊的奇点，是当该点的函数值趋于无穷大时的奇点。
复变函数知识点归纳
复变函数知识点归纳
本文旨在归纳复变函数的相关知识点，以下是一些主要内容：
1. 复数与复平面
复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为`z = a + bi`，其中`a`为实部，`b`为虚部。
复平面将复数表示为在平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
2. 复变函数定义
复变函数是将复数映射到复数的函数。
常见的复变函数形式包括多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。
3. 解析函数与共轭函数
解析函数是在某个区域上处处可导的函数。
共轭函数是将解析函数的虚部取相反数得到的函数。
4. 复变函数的导数
复变函数的导数由实部和虚部的偏导数组成。
对于解析函数，其导数存在且连续。
5. 复变函数的积分
复变函数的积分可通过路径积分的方式计算，即沿着路径对函数进行积分。
路径可以是直线、曲线或任意闭合曲线。
以上是关于复变函数的基本知识点的简要归纳。
复变函数在数学、物理、工程等领域都扮演着重要的角色，深入理解这些知识点能够帮助我们更好地应用和解决实际问题。
需要深入研究和探索的读者可查阅相关教材和资料。
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第一章 复变函数 复数的引入 复数的表示 本 节 复数运算 内 容 复变函数 复数的导数及求导规则
柯西-黎曼方程（C-R条件）
§1.1复数及其运算
1、引入虚单位：i 1 （数学体系封闭性要求）
2、三种表示及关系：
代数式： z x iy 三角式：z (cos i sin) 指数式：z ei
《数学物理方法》绪论
物理学进展及其重要性
主 要
数学与物理的关系
内 容
如何学好《数学物理方法》
参考书目
一、物理学进展及其重要性
1、发展史（包括：经典与量子）
(1)经典物理学 经典力学(Newton) 经典热力学(Carnot, Clausius) 经典电磁学(Coulomb, Maxwell) 等等
ei(12 ) 12
12[cos(1
2 )
i sin(1
2 )]
3、商：
z1 z2
1 2
ei(1 2 )
1 2
[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
4、幂： zn nein n (cos n i sin n)
5、根式：
n
z
n
i
e n
n (cos i sin )
n
3、 4、
z1 z2 z1 z2
zz
5、
z z | z |2
证明 1、
z1 z2 z1 z2
令
z1 x1 iy1
z2
x2
iy2
z1 z2
x1 x2
iy1 iy2
z1
z2
( x1
x2 )
i( y1
y2 )
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
其中一些主观臆断性的结论是非科学的， 如： Newton认为光仅是一些传播的粒子。
（2）量子物理学（Plank, Heisenberg, Dirac, Einstein为代表）
背景：二十世纪初出现的几朵乌云，比如黑 体辐射、光电效应等。
图1：黑体辐射能量密度曲线
光电效应：只有光照大于临界频率时，光路 才导通。光路是否导通与光强无关。
光照能量 E h E ，下图光路导通。
图2：光电效应光路
2、物理学的发展方向：深度和广度
（1）深度（方向细化）
弹性力学 力学 流体力学
理论力学
场与波 电磁学 微波
磁性学：顺、抗、铁磁
声子 元激发（场） 自旋（电子学）
等离极元
实物
光子 快子
（2）广度（学科交叉）
. 把物理规律翻译成数学公式 3. 通过习题练习，掌握数、理互译过程 4. 广泛阅读，掌握多种技能（如：计算软件
Matlab、物理实验等）提高综合能力
参考书：（不同体系）
1. 郭敦仁编《数学物理方法》，高教社 2. 吴崇试编《数学物理方法》，北大出版社 3. 潘忠诚编《数学物理方法》，南开大学 4. 胡嗣柱编《数学物理方法》，高教社 5. 邵惠民编《数学物理方法》，科学出版社 6. 姚端正编《数学物理方法》，科学出版社 7. 王竹溪编《特殊函数》，北大出版社 8. 季孝达编《数学物理方程》，科学出版社
Y
其中，模 x2 y2 ，x、y分别为 实部和虚部；复角记为：
z(x, y)
0
X
复平面
Argz
2k
arctg
y x
.
定义复角主值arg：z [0,2 )或[-。, ) 复数的几何意义：代表向量。 注：特殊复数“0”。
3、共轭复数z*（或记为 z ）
定义：z*=x-iy，与z关于X轴对称。
二、无限远点
n
四、复运算结果的解释 1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则
z3 z2
z1
z2
z3
z1
四边形法则
三角形法则
2、根式结果的多值性
令 z eiarg z
n z n
i 2k arg z
en
其中可取k =0，1… n-1共n个值。
五、共轭运算
1、 2、
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
定义：复平面上模为无限大的复数归并成的一点，可以 用复数球的北极点来表示。
如图：复平面上A点与 球面上的唯一点A’点对 应，复平面上模为无限 大的点与球的北极点N 对应。O为复平面原点， 复数球的南极点。
三、复数运算
1、和差： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
2、积：z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
= (cos3 -3cos sin2 )+i(3cos2 sinsin3 )
比较实部和虚部得：
cos3 cos3 3cos sin2 sin 3 sin3 3cos2 sin
例1.2：
求cos4和sin4的单角表示形式。(自作） 解：由cos4 +isin4 =ei4 = (ei)4= (cos +isin )4 = (cos4 -6cos2 sin2 + sin4)+i(4cos3 sin -4cossin3 )
如
生物物理：《生命是什么》、负熵
自然辩证法：物相互转化
3、物理学推动的三次技术革命
(1)Watt蒸汽机代替手工 (2)Maxwell为代表的电气化：扩大了生产
规模，提高了效率 (3)自动化和新能源革命：纳米科技及量
子计算机、自然能与氢能、原子能
二、数学与物理（相辅相成）
物理推动数学：Dirac引出的算符发展为数学 中的算符学；热力学中的熵发展为数学中熵 函数。
得证。
共同证明 2、
z1 z2 z1 z2
令
z1 z2
1ei1 2ei2
z1
ei1 1
z2
ei2 2
z1
z2
ei(12 ) 12
z1
z2
ei(12 ) 12
得证。
其余作为练习。
举例： 例1.倍角关系：
1、求cos3和sin3的单角表示形式。 解：由cos3 +isin3 =ei3 = (ei)3= (cos +isin )3
数学也推动物理：格林函数在物理学中的应 用；霍·金从数学推断出：宇宙是由无限高 密的奇点经大爆炸形成的，并给出守恒方程：
（1 双曲型：开放式）
R2
8
3
GR 2
k
0 （抛物型：临界式） 1 （椭圆型：封闭式）
Fermi把物理研究总结为两类：
• 把问题简化为物理模型 • 问题有严谨的数学过程
三、如何学好《数学物理方法》