复变函数的导数

z = z0
即
f ′( z0 ) = lim
∆w f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆ z →0 ∆ z ∆ z →0 ∆z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
内每一点都可导， 如果函数 w = f (z ) 在区域 D 内每一点都可导，则称
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
第八模块 复变函数
第三节 复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
内有定义， 当变量 设函 w = f (z )在包含 z 0 的某区域 D 内有定义， z 在点 z 0 处取得增量时，相应地，函数 f (z ) 取得增量 数 处取得增量时，相应地，
∆w = f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 处可导。 存在。 如果极限 ∆z →0 ∆ z 存在。 则称 f (z ) 在点 z 0 处可导。
此极限值称为 f (z ) 在点 z 0 处的导数。 处的导数。 记作 f ′( z0 ) 或 w ′ z = z0 或
dw dz .
w = f (z ) 在 D 内可导。 内可导。
处的导数记为： 函数 w = f (z ) 在 D 内任意点 z 处的导数记为：
∆w f ( z + ∆z ) − f ( z ) z f ′(z ) 或 w ′ 或 dw , 即 f ′( z ) = lim = lim ∆ z →0 ∆ z ∆ z →0 ∆z dz
( 2 ) ( z n )′ = nz n −1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) = 3z , 求 f ′( 0 ) 和 f ′( i ) . 1− z
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
一、复变函数的导数
( 2) [ f ( z ) ⋅ g ( z )]′ = f ′( z ) ⋅ g ( z ) + f ( z ) ⋅ g ′( z ) ;
( 3) [ f (z) f ′( z ) ⋅ g ( z ) − f ( z ) ⋅ g ′( z ) ]′ = g(z) g 2 (z) ( g ( z ) ≠ 0) ;
（二）函数解析性与可导性的关系
函数在区域D内解析 函数在区域 内解析
⇔ 函数在区域 内可导。 函数在区域D内可导 内可导。
处可导。 函数 f (z ) 在 z0 处解析 ⇒ 函数 f (z ) 在 z0 处可导。
处可导, 处不一定解析。 函数 f (z ) 在 z0 处可导 则 f (z ) 在 z0 处不一定解析。
例1 例2
2 的导数。 求函数 f ( z ) = z 的导数。
证明 w = z
在复平面内处处连续，但它在复平面 在复平面内处处连续，
内处处不可导。 内处处不可导。
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
求导法则： 求导法则：(1) [ f ( z ) + g ( z )]′ = f ′( z ) + g ′( z ) ;
（四）解析函数的判定 1. 函数可导性的判别
区域D内有定义 内有定义, 设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内有定义 z = x + i y 内任意一点， 处可导的充要条件是： 是D内任意一点，则 f ( z ) 在点 z 处可导的充要条件是： 内任意一点
例4
设 f ( z ) = ( z 2 − 2 z + 4) 2 , 求 f ′( − i ) .
二、复变函数的解析性
（一）解析函数的概念
处可导， 如果函数 f (z ) 不仅在 z0 处可导，而且在 z0 的某邻域 内的每一点都可导， 解析。 内的每一点都可导， 则称 f (z ) 在 z0 处解析。称 z0 为 f (z ) 的解析点。 则称 f (z ) 如果函数 f (z ) 在区域 内的每一点 处都解析， 在区域D内的每一点 处都解析， 解析区域。 内解析。 在区域D内解析。 区域 称为 f (z ) 的解析区域。 区域 内解析 区域D称为 处不解析， 如果函数 f (z ) 在 z0 处不解析， 但在 z0 的任意邻域内总 存在解析点， 奇点。 存在解析点， 则称 z0 为 f (z ) 的奇点。
(4) { f [ϕ ( z )]}′ = f ′( w ) ⋅ ϕ ′( z ) 其中 w = ϕ ( z ) ;
(5) f ′( z ) = 1 其中 w = f ( z ) 和 z = ϕ ( w )是 ′( w ) ϕ
两个互为反函数的单值函数， 两个互为反函数的单值函数，且ϕ ′( w ) ≠ 0 . 求导公式： 求导公式： (1) (C )′ = 0 ,
(1) u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微 ;
∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂v ∂v ∂u ′( z ) = +i = −i . 且 f ( z ) 的导数为 : f ∂x ∂x ∂y ∂y ( 2 ) 满足柯西 − 黎曼条件 :
d f [ϕ ( z )] d f ( h ) d ϕ ( z ) = ⋅ . dz dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。 ） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
P (z) 在不含分母为0的点的区域内解析 的点的区域内解析。 任意分式有理函数 Q ( z ) 在不含分母为 的点的区域内解析。
（三）解析函数的运算性质
处解析,) 在 z0 处解析 则 ）
f ( z) ± g( z) , f ( z) ⋅ g( z) , f ( z) ( g ( z ) ≠ 0) 在 z0 处解析。 处解析。 g( z)
区域G内解析 内解析, （2） 若函数 w = f (h) 在 区域 内解析 而 h = ϕ (z ) ） 在 区域 内解析 且ϕ ( D ) ⊆ G , 则复合函数 w = f [ϕ ( z )] 区域D内解析 内解析, 区域D内解析 内解析, 在 区域 内解析 且
2. 函数解析性的判别
区域D内解析的充要条件是 内解析的充要条件是: 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内解析的充要条件是 u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 在 D 内处可微 , 且满足柯西 − 黎曼条件 。
二、复变函数的解析性
例 5 判断下列函数是否解析
x (1) f ( z ) = z , (2) f ( z ) = e (cos y + i sin y ) , (3) f ( z ) = z Re( z ) .
2 2 例 6 讨论函数 f ( z ) = x + i y 的可导性和解析性 。
例7
设 f ( z ) = u( x, y ) + i v ( x, y )在区域D内解析,
且 f ′( z ) = 0 ( z ∈ D), 则 f ( z ) = C (常数 )。