(湘教版)九年级数学下册课件：第1章小结与复习(共30张PPT)
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九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 不共线三点确定二次函数的表达式
一般式法求二次函数的表达式
探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个
待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
A．8
B．14
C．8或14
D．-8 或 -14
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ b ＝－3，
数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3.
再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 解得 a = -1， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是：
2020年春九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
减 性 a＜0 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
3.二次函数图象的平移
y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
y a(x h)2
上、下平移 上加下减
y a(x h)2 k
写成一般形式
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
针对训练
1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( C ) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是
（ D） A. y= x2
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之 间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取 值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点讲练
考点一 二次函数的图象和性质
例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为___(1_,_2_)__．
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2
＋2bx＋c的对称轴
x 2b b 2 (1)
，即b≤1，故选择D .
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为
（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是
第1章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
湘教版九年级下第1章反比例函数小结与复习课件ppt
然后指出“不难证明：对于反比例函数 y 2 ，当x>0时，函数值 随 x
自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质”．知道了反比
例 y2 函数 x 的这一性质后，我们才能把y轴右边和左边各点，分别用
一条光滑曲线顺次连接起来，我们还讲了这两支曲线与x轴、y轴都不
相交的道理．
我们接着探究了如何画反比例函数 y 2 的图象，由于当x取任一非 x
三、实际生活中的反比例函数
我们列举了“使劲踩气球时，气球为什么会爆炸”， “纳鞋底时，为什么要用锥子”，“哪辆小车跑得快”， “用撬棍撬石头，支点搁在哪儿较省力”等实际生活中 用到反比例函数的几个有趣例子，为的是让同学们从中 体会到：生活中有数学，数学在生活中有用．
yy零的实图2x 数象2x的，a图时的从像，图这沿点象样着与得Px轴a到,翻的a2y折y与2x并点将2图Q象的 的“a图 图, a2复象 象印关 看关”于 出于下，x轴x来当轴对，x对称<就0称，时得，从，到因而函了y此只y要把2x2x x
数随自变量取值增大而增大；但x>0时，也有这一性质；并且
y k k为常数，k 0
x
的形式，那么称y是x的反比例函数．
二、反比例函数的图象和性质
我们首先探究了如何画反比例函数
y2 x
的图象，在我们还不
知道反比例函数的图象是什么样子的时候，在列表和描点之后，不应
当马上连线，因为我们还不清楚把描出的几个点怎样连起来，我们加
了“观察和分析”一步，先观察描出的几个点的走向趋势，作出猜想；
y 2 的图象与x轴、y轴都不相交． x
从上面探究的两个例子，我们可以认识到反比例函数
的图象应当是什么样子，这样从今以后，在画反比例函
自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质”．知道了反比
例 y2 函数 x 的这一性质后，我们才能把y轴右边和左边各点，分别用
一条光滑曲线顺次连接起来，我们还讲了这两支曲线与x轴、y轴都不
相交的道理．
我们接着探究了如何画反比例函数 y 2 的图象，由于当x取任一非 x
三、实际生活中的反比例函数
我们列举了“使劲踩气球时，气球为什么会爆炸”， “纳鞋底时，为什么要用锥子”，“哪辆小车跑得快”， “用撬棍撬石头，支点搁在哪儿较省力”等实际生活中 用到反比例函数的几个有趣例子，为的是让同学们从中 体会到：生活中有数学，数学在生活中有用．
yy零的实图2x 数象2x的，a图时的从像，图这沿点象样着与得Px轴a到,翻的a2y折y与2x并点将2图Q象的 的“a图 图, a2复象 象印关 看关”于 出于下，x轴x来当轴对，x对称<就0称，时得，从，到因而函了y此只y要把2x2x x
数随自变量取值增大而增大；但x>0时，也有这一性质；并且
y k k为常数，k 0
x
的形式，那么称y是x的反比例函数．
二、反比例函数的图象和性质
我们首先探究了如何画反比例函数
y2 x
的图象，在我们还不
知道反比例函数的图象是什么样子的时候，在列表和描点之后，不应
当马上连线，因为我们还不清楚把描出的几个点怎样连起来，我们加
了“观察和分析”一步，先观察描出的几个点的走向趋势，作出猜想；
y 2 的图象与x轴、y轴都不相交． x
从上面探究的两个例子，我们可以认识到反比例函数
的图象应当是什么样子，这样从今以后，在画反比例函
湘教版九年级数学下册课件：第1章 微专题1 二次函数的图象和性质(共26张PPT)
10. (2018·天津)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c
为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在 y
轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点(1，0)；②方程 ax2＋bx＋c＝2 有两
个不相等的实数根；③－3<a＋b<3.
其中，正确结论的个数为( C )
A．0
B．1
C．2
∴AO＝1，AB＝4， ∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△CPQ＋S△BPQ＝12AB·OC＋12 QP·OF＋21QP·FB ＝12×4×3＋12(－m2＋3m)×3 ＝－32m－322＋785.
当 m＝32时，四边形 ABPC 的面积最大． 此时 P 点的坐标为32，145，四边形 ABPC 的面积的 最大值为785.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3. 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过定点 M(1，1)，则称 此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出 一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x2＋3x－4.请你写出一个不同于小敏的答案．
专题训练
类型 1 二次函数的图象和性质
1. 已知一个函数图象经过(1, －4)，(2, －2)两点，
在自变量 x 的某个取值范围内，都有函数值 y 随 x 的增
大而减小，则符合上述条件的函数可能是( D )
A．正比例函数
B．一次函数
C．反比例函数
D．二次函数
2. 二次函数 y＝x2＋x＋c 的图象与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1<x2，点 P(m，n)是图象上一点， 那么下列判断正确的是( C )
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 二次函数
第1章 二次函数
1.1 二次函数
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧 不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
归纳总结
S 2x2 100x ，0 x 50
y 6000x2 12000x 6000，0 x 1
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的 二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的 一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
列二次函数关系式
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)，
(2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c
(a ≠0，a，b，c是常数）.
1.1 二次函数
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧 不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
归纳总结
S 2x2 100x ，0 x 50
y 6000x2 12000x 6000，0 x 1
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的 二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的 一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
列二次函数关系式
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)，
(2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c
(a ≠0，a，b，c是常数）.
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d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
第2章 圆
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2019春湘教版数学九年级下册课件：第1章 章末小结
●忽略二次项系数不为零的条件． 例 2.已知二次函数 y＝(k－3)x2 ＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取 值范围是 k≤4且k≠3 .
●混淆左右平移与上下平移． 例 3.(哈尔滨中考)将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平 移 2 个单位长度，所得到的抛物线为( A ) A．y＝－5(x＋1)2－1 C．y＝－5(x＋1)2＋3 B．y＝－5(x－1)2－1 D．y＝－5(x－1)2＋3
二次函数与一元二次方程的关系 8．二次函数 y＝ax2＋bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2＋bx＋m＝0 有实数根，则 m 的最大值为 3 .
9． (大连中考)在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向上， 3 且经过点 A(0， ) 2 .
1 (1)若此抛物线经过点 B(2，－ )，且与 x 轴相交于点 E、F； 2 ①填空：b＝________(用含 a 的代数式表示)； ②当 EF 的值最小时，求抛物线的解析式； 1 (2)若 a＝ ，当 0≤x≤1，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求 b 2 的值．
●与坐标轴有关的点或线段，考虑不全面． 例 4.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过 A(0,2)、B(4,3)、C 三点，其中点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则这条抛物线对 1 2 1 1 2 3 y＝ x － x＋2 或 y＝－ x ＋ x＋2 8 4 8 4 应的函数表达式为 .
第1章 二次函数
章末小结
【易错警示】 ●写错顶点坐标的符号． 1 例 1.二次函数 y＝ (x－4)2＋5 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( A ) 2 A．向上，直线 x＝4，(4,5) B．向上，直线 x＝－4，(－4,5) C．向上，直线 x＝4，(4，－5) D．向下，直线 x＝－4，(－4,5)
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方法总结
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴 是y轴；a、b同号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对 称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图象上x＝1的点在x
轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上x＝1的点在x轴上
时，a＋b＋c＝0；当图象上x＝1的点在x轴下方时，a ＋b＋c＜0.同理，可由图象上x＝－1的点判断a－b＋c 的符号.
第1章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1.二次函数的概念
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c
数，
(a，b，c是常
__)的函数，叫做二次函数． a ≠０
[注意 ] (1)等号右边必须是整式； (2)自变量的 最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊 的二次函数．
针对训练 1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( C )
A．顶点坐标为(－3,2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是
（ D）
3 4
A. y=
x
2
B.y=x-1
C.
y
x
D.y=-3x2
2
写成一般形式
y ax bx c
2
4.二次函数表达式的求法 1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 2．顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
3．交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种
值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；
(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
考点讲练
考点一 二次函数的图象和性质
(1,2) ． 例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________
例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象 如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与
情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二
次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程
ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数y＝ax2 一元二次方程 一元二次方程 ＋bx＋c的图象和 ax2＋bx＋c=0的 ax2＋bx＋c=0根的 x轴交点 根 判别式（b2-4ac） 有两个交点 有两个重合 的交点 没有交点 有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根 b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
y2的大小关系是( B ) A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，
下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；
④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧 可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞ 0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b ＋c＜0，故③正确； 由图象上横坐标为1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0， 由图象上横坐标为－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故选D.
没有实数根
b2-4ac < 0
6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最 大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之
间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取
x 2b 2 ( 1) b
，即b≤1，故选择D .
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为
（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是
（ B ） A．x＞4或x＜-2 C．-2＜x＜3
B．-2＜x＜4
D．0＜x＜3
5.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可 能（ B ）
2.二次函数的图象与性质：
二次函数
开口 方向
y=a(x-h)2+k
a＞ 0 a＜0 x=h
y＝ax2＋bx＋c
开口向上 开口向下
x
( b 2a
对称轴
顶点坐标 最 a＞ 0 值 a＜ 0
b 2a
, 4ac b
2
(h , k)
y最小=k y最大=k
y最小=
4a 2 4ac b 4a 2 4ac b 4a
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随 x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D A．b≥－1 B．b≤－1 ）
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知， 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2 ＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2 ＋2bx＋c的对称轴
)
y最大=
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 减 性 a＜0 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
3.二次函数图象的平移 y＝ax2 沿x轴翻折 y＝-ax2
左、右平移 左加右减
y a(x h)
2
上、下平移 上加下减
y a(x h) k
A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长 度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线 解析式是( B ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
例5 若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点， 则b的取值范围是（ A ） A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1