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湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 不共线三点确定二次函数的表达式
一般式法求二次函数的表达式
探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个
待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
A．8
B．14
C．8或14
D．-8 或 -14
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ b ＝－3，
数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3.
再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 解得 a = -1， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是：
2020版九年级数学下册第1章二次函数1.2二次函数的图象与性质(第3课时)课件湘教版
抛物线y= a(x-h)2+k
a>0
对称轴 x=_h_
顶点 坐标
_(_h_,_k_)_
开口 方向
_向__上__
a<0
x=_h_ _(_h_,_k_)_ _向__下__
在对称轴 的左边
y随x的增大 而__减__小__
y随x的增大 而__增__大__
在对称轴 的右边
y随x的增大 而__增__大___
y随x的增大 而__减__小__
C.y=(x-2)2-3
D.y=(x+2)2-3
★3.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向 完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的表达式 为___y_=_-_2_(_x_+_1_)_2+_3___.
★★4.已知二次函数图象的顶点是M(1,-9),且经过点 (-1,-5). 世纪金榜导学号 (1)求这个二次函数的表达式. (2)画出它的图象,并求出它的图象与x轴正半轴的交点 A的坐标,与y轴的交点B的坐标. (3)如果点O是原点,求四边形AOBM的面积.
【母题变式】 【变式一】已知二次函数的最小值为-1,当x>3时,y随x 的增大而增大,当x <3时,y随x的增大而减小,当x=4 时,y的值是1,求此二次函数的表达式.
解:∵当x>3时,y随x的增大而增大, 当x <3时,y随x的增大而减小, ∴该二次函数的图象关于直线x=3对称, 又∵二次函数的最小值为-1, ∴该二次函数的顶点为(3,-1),
1.2 二次函数的图象与性质 第3课时
【知识再现】 抛物线y=a(x-h)2的图象可由y=ax2经左右平移得到, 当h>0时,向右平移___h___个单位,当h<0时,向左平移 ___|_h_|___个单位.
1.2 第3课时 二次函数的图象与性质-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大.
a＜0
向下 直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大.
练一练
1点．坐标抛是物_线(_0_,-y_6_)_，12它x可2 以 看6 作的是开由口抛__向物__上线__，对y 称 轴12 是x2___y向_轴____下__，平顶
横坐标
a a
纵坐标
1 a-12
2
1 a-12 3
2
观察上表你 发现了什么？
从上表看出： 对于每一个相同的x 值， 函数
y
1 2
(
x
1)2
3的值都要比函数
y
1 2
(
x
1)2
的值大3，
y
8
y
1 2
(
x
1)2
3
76Leabharlann 5 4y1 2
(x
1)2
3
2
1
-4
-3
-2
y
1 2
(
x
1)2
-1
O1
2
3
4
5
6x
向上平移3个单位
y
1 2
(
x
1)2
3
探究三、 将二次函数
y
1 2
(x
1)2
的图象向下平移 7 个单位，
得到的是哪个函数的图象？
y
1 2
(
x
1)2
7
探究四、二次函数 y a( x h)2 与 y a(x h)2 k
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大.
a＜0
向下 直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大.
练一练
1点．坐标抛是物_线(_0_,-y_6_)_，12它x可2 以 看6 作的是开由口抛__向物__上线__，对y 称 轴12 是x2___y向_轴____下__，平顶
横坐标
a a
纵坐标
1 a-12
2
1 a-12 3
2
观察上表你 发现了什么？
从上表看出： 对于每一个相同的x 值， 函数
y
1 2
(
x
1)2
3的值都要比函数
y
1 2
(
x
1)2
的值大3，
y
8
y
1 2
(
x
1)2
3
76Leabharlann 5 4y1 2
(x
1)2
3
2
1
-4
-3
-2
y
1 2
(
x
1)2
-1
O1
2
3
4
5
6x
向上平移3个单位
y
1 2
(
x
1)2
3
探究三、 将二次函数
y
1 2
(x
1)2
的图象向下平移 7 个单位，
得到的是哪个函数的图象？
y
1 2
(
x
1)2
7
探究四、二次函数 y a( x h)2 与 y a(x h)2 k
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
3 开始取值 2
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第2章 圆 第2课时 切线的性质
∴ ∠CAD = ∠CAO. 故 AC 平分∠DAB.
方法总结
利用切线的性质解题时，
常需连接辅助线，一般连接圆
心与切点，构造直角三角形， A
再利用直角三角形的相关性质
解题.
D C
O
B
例2 证明：经过直径两端点的切线互相平行.
已知：如图，AB 是圆 O 的直径，l1，l2 分别是经过
点 A，B 的切线. 求证：l1 // l2. 证明：∵AB 是圆 O 的直径，
在 △OAF 和 △OCF 中， OA ＝ OC，∠3 ＝ ∠2，OF ＝ OF， ∴△OAF ≌ △OCF（SAS）. ∴∠OAF = ∠OCF. ∵PC 是 ⊙O 的切线， ∴∠OCF = 90°， ∴∠OAF = 90°， ∴FA ⊥ OA. ∴AF 是 ⊙O 的切线.
（2）若 ⊙O 的半径为 4，AF = 3，求 AC 的长．
合作探究
切线的性质
问题1 如果直线 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么切
线 l 和半径 OA 垂直吗？
O
A
l
大家可以先用量角器 量量看.
两者成 90°角，也 就是说切线 l 与半
径 OA 垂直.
推导与验证 反证法证明这个结论
假设 l 与 OA 不垂直
则过点 O 作 OM ⊥ l，垂足为 M
4. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与
⊙O交于 B、C 两点，∠P ＝ 30°，连接 AO、AB、AC.
(1) 求证：△ACB ≌ △APO；
(1) 证明：∵PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP ＝ 90°. 又∵∠P ＝ 30°，∴∠AOB ＝ 60°， 又OA ＝ OB，∴△AOB 为等边三角形． ∴AB ＝ AO，∠ABO ＝ 60°.
1新湘教版九年级下册1.1二次函数教学课件(共12张PPT)
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
第9页，共12页。
例：
一块矩形木板，长为120CM、宽为80CM，在木板4个角上 各截去边长为X（cm)的正方形，求余下面积S(cm)与X之
间的函数表达式。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a
≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
第1页，共12页。
1.1 二次函数的基本概念
第2页，共12页。
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一 个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与 围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物
(7) y＝ x2 5x 6 (否) (8)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
(否)
(否)
(9) y=3(x－1)²-3
(是)
(10)y=(x+3)²－x²
第6页，共12页。
(否)
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且
a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可2以没有一次项和 常数项，但 不能没有二次项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
第9页，共12页。
例：
一块矩形木板，长为120CM、宽为80CM，在木板4个角上 各截去边长为X（cm)的正方形，求余下面积S(cm)与X之
间的函数表达式。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a
≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
第1页，共12页。
1.1 二次函数的基本概念
第2页，共12页。
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一 个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与 围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物
(7) y＝ x2 5x 6 (否) (8)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
(否)
(否)
(9) y=3(x－1)²-3
(是)
(10)y=(x+3)²－x²
第6页，共12页。
(否)
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且
a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可2以没有一次项和 常数项，但 不能没有二次项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似
2.5.3切线长定理课件(22张PPT)2023-2024学年湘教版数学九年级下册
B
课堂小结
切线长
切线长 定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点 之间的线段的长.
内容
过圆外一点所画的圆的两条切线长 相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角.
作用
提供了证线段和 角相等的新方法
辅助线
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
A
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
O
P
又OA=OB,OP=OP.
∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP.
B
∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
归纳
由此得到切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角.
A
几何语言:
PA = PB
O
P
B
OM
P
A
方பைடு நூலகம்总结
切线长问题辅助线的添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
随堂练习
1. 如图, P 为☉O 外一点, PA , PB 分别切☉O 于点 A , B , CD 切☉O 于点 E 且分别交 PA , PB 于点 C , D ．若 PA ＝ 4 , 则△PCD 的周长 为（ C ）
归纳
切线长定义：
我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的
A
长叫做这点到圆的切线长.
O
P
如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A、B为
B
切点. 线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长.
注意：切线是直线，不可度量； 切线长是切线上一点与切点之间的线段的长，可以度量.
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2020最新湘教版九年级数学下册 教学课件(所有课时)目录
0002页 0063页 0105页 0137页 0170页 0257页 0310页 0341页 0384页 0436页 0476页
第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.4 过不共线三点作圆 2.6 弧长与扇形面积 第3章 投影与视图 3.3 三视图 4.1 随机事件与可能性 4.3 用频率估计概率
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1.1 二次函数
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1.2 二次函数的图像与性质
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1.3 不共线三点确定二次函数的 表达式
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1.4 二次函数与一元二次方程的 联系
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1.5 二次函数的应用
0002页 0063页 0105页 0137页 0170页 0257页 0310页 0341页 0384页 0436页 0476页
第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.4 过不共线三点作圆 2.6 弧长与扇形面积 第3章 投影与视图 3.3 三视图 4.1 随机事件与可能性 4.3 用频率估计概率
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1.1 二次函数
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1.2 二次函数的图像与性质
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1.3 不共线三点确定二次函数的 表达式
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1.4 二次函数与一元二次方程的 联系
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1.5 二次函数的应用