重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)---精校解析Word版
重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析
重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合R={0，1，2}，B={x|＞0，x∈R}，则A∩∁U B=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，1，2}2．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x02+1＞0C．∃x0∈R，2x02+1＜0 D．∃x0∈R，2x02+1≤03．函数y=的定义域是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D． [2，+∞）4．设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． b＞a＞c D． a＞c＞b5．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+6．已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A． 2.1 B． 2.2 C． 2.4 D． 2.67．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解的（（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若函数f（x）=log a（）有最小值1，则a等于（）A． B． C． 2 D． 49．函数f（x）=x2﹣bx+a的图象如图所示，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）10．定义在R上函数f（x）满足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则y=f（x）在x=2015的切线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣2013=0 C． x﹣y﹣2015=0 D． x﹣y+2017=011．点P（x0，y0）是曲线C：x=e﹣|x|（x≠0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为（）A． B． C． D． 212．已知偶函数f（x）：Z Z，且f（x）满足：f（1）=1，f（2015）≠1，对任意整数a，b都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，其中max（x，y）=，则f（2016）的值为（） A． 0 B． 1 C． 2015 D． 2016二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），则实数a的值为．14．若函数f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）=|1﹣x2|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≤f（b）的概率为．16．己知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知命题p：（）＜9，q：|2a﹣1|＜4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．（Ⅰ）求在未来3天里，恰好只有连续2天的日销售量都高于100个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）设曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[，e]上单调递减，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，求b的取值范围；（Ⅱ）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，+≥1．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C1的方程为ρ=2cos θ+2sinθ，直线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合R={0，1，2}，B={x|＞0，x∈R}，则A∩∁U B=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中的不等式的解集，确定出集合B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B 补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合解答：解：由集合B中的不等式＞0，解得：x＞1∴B=（1，+∞），又全集U=R，∴C U B=（﹣∞，1]，又A={0，1，2}，∴A∩C U B={0，1}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型，求集合补集时注意全集的范围．2．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x02+1＞0C．∃x0∈R，2x02+1＜0 D．∃x0∈R，2x02+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是：∃x0∈R，2x02+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．3．函数y=的定义域是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D． [2，+∞）考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．解答：解：要使原函数有意义，则lg（x﹣1）≥0，即x﹣1≥1，解得：x≥2．所以函数y=的定义域是[2，+∞）．故选D．点评：本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．4．设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． b＞a＞c D． a＞c＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．解答：解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，逐一分析四个答案中函数的单调性，可得答案．解答：解：A中，函数y=ln（x+1）在区间（0，+∞）上为增函数，B中，y=﹣在区间（0，+∞）上为减函数，C中，y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数，D中，y=x+在区间（0，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，故选：A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，是解答的关键．6．已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A． 2.1 B． 2.2 C． 2.4 D． 2.6考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．解答：解：点在回归直线上，计算得；代入得a=2.6；故选D．点评：统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．7．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解的（（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由已知中的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a，我们可以构造绝对值函数，根据绝对值的几何意义，我们易求出对应函数y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域，进而得到实数a的取值范围，再根据充分条件和必要条件去判断即可．解答：解：令y=|x﹣3|+|x﹣4|，则函数y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域为[1，+∞）若不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解集则a≥1，∴|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了绝对值的几何意义以及必要不充分条件的判断，属于中档题．8．若函数f（x）=log a（）有最小值1，则a等于（）A． B． C． 2 D． 4考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用基本不等式可得=x+≥2，当且仅当x=取得最小值．再由对数函数的单调性可得log a2=1，解方程可得a=4．解答：解：由于x＞0，a＞0，则=x+≥2，当且仅当x=取得最小值．由题意结合对数函数的单调性可得a＞1，由最小值为1，可得log a2=1，即为a=2，解得a=4．故选：D．点评：本题考查对数函数的单调性的运用，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．9．函数f（x）=x2﹣bx+a的图象如图所示，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；压轴题；数形结合．分析：由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：∵二次函数f（x）图象的对称轴 x=∈（，1），∴1＜b＜2，g（x）=lnx+2x﹣b在定义域内单调递增，g（）=ln +1﹣b＜0，g（1）=ln1+2﹣b=2﹣b＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选B．点评：此题是个中档题．题考查导数的运算、函数零点的判断以及识图能力，体现了数形结合的思想，考查了学生应用知识分析解决问题的能力．10．定义在R上函数f（x）满足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则y=f（x）在x=2015的切线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣2013=0 C． x﹣y﹣2015=0 D． x﹣y+2017=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；直线与圆．分析：由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），可令x为x+2，可得f（x）为周期为4的函数，再由x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，可得f（1），f（2015），再通过求导，可得导函数为奇函数且为周期函数，即可求得f′（2015），由点斜式方程，即可得到所求切线方程．解答：解：由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），即有f（x+4）=f（2﹣（x+2））=f（﹣x）=f（x），则f（x）为周期为4的函数，若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则f（1）=2，f′（1）=﹣1，即有f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）=2，对f（﹣x）=f（x），两边求导，可得﹣f′（﹣x）=f′（x），由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），即有f′（2015）=f′（3）=f′（﹣1）=1，则该曲线在x=2015处的切线方程为y﹣2=x﹣2015，即为x﹣y﹣2013=0．故选：B．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性和周期性的运用，属于中档题．11．点P（x0，y0）是曲线C：x=e﹣|x|（x≠0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为（）A． B． C． D． 2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：由函数为偶函数，可设y=e﹣x（x＞0），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，y=0可得y．x轴的截距，再由三角形的面积公式，再求导数，求得单调区间，可得x0=1处取得极大值，也为最大值，可得结论．解答：解：可设y=e﹣x（x＞0），y′=﹣e﹣x，曲线C在点P处的切线斜率为k=﹣，即有曲线C在点P处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x0），可令y=0，则x=x0+1，令x=0，可得y=（x0+1），即有△AOB面积S==（x0+1）2，S′=[2（x0+1）﹣（x0+1）2]=（1+x0）（1﹣x0），当0＜x0＜1时，S′＞0，当x0＞1时，S′＜0，即有x0=1处取得极大值，也为最大值．则△AOB面积的最大值为．故选：A．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查三角形的面积的最值，考查运算能力，属于中档题．12．已知偶函数f（x）：Z Z，且f（x）满足：f（1）=1，f（2015）≠1，对任意整数a，b都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，其中max（x，y）=，则f（2016）的值为（） A． 0 B． 1 C． 2015 D． 2016考点：进行简单的演绎推理；函数奇偶性的性质．专题：推理和证明．分析：先根据已知条件求出f（2），f（3），f（4）…找到其规律即可得到答案．解答：证明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}f（2）=f（1+1）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，f（3）=f（1+2）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，f（4）=f（1+3）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，…，f（2015）≤max{f（1），f（2014）}=1，即f（2015）≤1．因为 f（2015）≠1，所以f（2015）＜1，从而 f（2016）≤max{f（1），f（2015）}=1，即f（2016）≤1．假设 f（2016）＜1，因为 f（x）为偶函数，所以f（﹣2015）=f（2015）．于是 f（1）=f（2016﹣2015）≤max{f（2016，f（﹣2015）}=max{f（2016），f（2015）}＜1，即 f（1）＜1．这与f（1）=1矛盾．所以f（2016）＜1不成立，从而只有f（2016）=1．故选：B点评：本题主要考查函数的值．解决本题的关键利用合情推理进行一步步向前推，找到其最基本的地方即可．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），则实数a的值为 2 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），∴2a﹣3与a+3关于x=3对称，∴2a﹣3+a+3=6，∴3a=6，∴a=2，故答案为：2．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．14．若函数f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则实数a的取值范围是[0，+∞）．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象和性质即可得到结论解答：解：∵函数f（x）单调递增，∴要使f（x）=f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则f（0）≤0，即可，即f（0）=﹣a≤0，解得a≥0，故a的取值范围为[0，+∞）故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查幂数函数的图象和性质，比较基础．15．已知函数f（x）=|1﹣x2|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≤f（b）的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意化简f（a）≤f（b）可得，或，而a∈[0，1]，b∈[1，2]，作出图形由几何概型可得．解答：解：由题意可得f（a）≤f（b）即|1﹣a2|≤|1﹣b2|，平方化简可得（a2﹣b2）（a2+b2﹣2）≤0即，或，对应的区域如图阴影部分而a∈[0，1]，b∈[1，2]，图形AEB的面积s=﹣×1×1=，正方形ABCD的面积为1×1=1，故可得所求概率为P=1﹣=；故答案为：．点评：本题考查几何概型，得出f（a）≤f（b）的区域是解决问题的关键，属中档题．16．己知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．考点：分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：根据题意，分析可得如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，进而作出函数g（x）=的图象，分析其图象与函数f（x）的图象的位置关系，即可得答案．解答：解：根据题意，假设f（t）=0，则当t≤0时，有e t﹣a=0，则t=lna，（a＞0）当t＞0时，有t﹣=1，解可得t=1，如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，作出函数g（x）=的图象，将其图象x≤0的部分向上或向下平移|a|个单位可得函数f（x）的图象，分析可得，函数f（x）的图象只可能与y=1有且只有一个交点，且a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的零点和方程的根的关系，运用分类讨论的思想和函数的值域是解题的关键．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知命题p：（）＜9，q：|2a﹣1|＜4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；推理和证明．分析：先根据指数函数的单调性、绝对值不等式的解的情况，求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p ∨q为真，p∧q为假，得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可．解答：解：若命题p：（）＜9=（）﹣2为真命题，则a﹣a2＞﹣2，解得：a∈（﹣1，2），若命题q：|2a﹣1|＜4为真命题，则﹣4＜|2a﹣1|＜4，解得a∈（﹣，），∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假；当p真q假时，a∈（﹣1，2），且a∉（﹣，），不存在满足条件的a值；当p假q真时，a∉（﹣1，2），且a∈（﹣，），则a∈（﹣，﹣1]∪[2，）．点评：考查指数函数的单调性，绝对值不等式解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．18．（12分）（2015春•重庆校级期末）某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．（Ⅰ）求在未来3天里，恰好只有连续2天的日销售量都高于100个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：根据二项分布与独立重复实验的定义即可．解答：解：（1）用A表示事件“日销售量高于100个”，用B表示事件“在未来3天里恰有连续2天日销售量高于100个”，则：P（A）=0.3+0.2+0.1=0.6，∴P（B）=0.6×0.6×0.4×2=0.288．（2）依题意：X的可能取值为0，1，2，3且X～B（3，0.6），P（X=0）=×（1﹣0.6）3=0.064，P（X=1）=×0.6×（1﹣0.6）2=0.288，P（X=2）=×0.62×0.4=0.432，P（X=3）=×0.63=0.216．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216∴E（X）=3×0.6=1.8．点评：本题主要考查的是二项分布的分布列及均值．19．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=2lnx﹣x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）设曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[，e]上单调递减，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，根据切线的斜率是2，求出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为a≥2lnx+2﹣2x，先求出函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，进而求出a 的范围．解答：解：f′（x）=2lnx+2﹣2x﹣a（x＞0），（Ⅰ）由f′（1）=﹣a=2，解得：a=﹣2，；（Ⅱ）由题意得：f′（x）≤0在x∈[，e]恒成立，即：a≥2lnx+2﹣2x，令g（x）=2lnx+2﹣2x，则：g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，∴g（x）在[，1）递增，在（1，e]递减，∴g（x）max=g（1）=0，∴a≥0．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）是R上的偶函数，利用f（﹣1）=f（1），求出k的值；（Ⅱ）a＞0时，函数g（x）的定义域是（2，+∞），转化为方程f（x）=g（x）在（2，+∞）上有且只有一解，构造函数，讨论a的取值，求出满足条件a的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx+log2（4x+1）是R上的偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即﹣k+log2（4﹣1+1）=k+log2（4+1），∴﹣2k=log25﹣log2=2，解得k=﹣1；（Ⅱ）当a＞0时，函数g（x）=log2（a•2x﹣4a）的定义域是（2，+∞），由题意知，﹣x+log2（4x+1）=log2（a•2x﹣4a）在（2，+∞）上有且只有一解，即方程=a•2x﹣4a在（2，+∞）内只有一解；令2x=t，则t＞4，因而等价于关于t的方程（a﹣1）t2﹣4at﹣1=0在（4，+∞）上只有一解；设h（t）=（a﹣1）t2﹣4at﹣1，当a=1时，解得t=﹣∉（4，+∞），不合题意；当0＜a＜1时，h（t）的对称轴t=＜0，故h（t）在（0，+∞）上单调递减，而h（0）=﹣1，∴方程（a﹣1）t2﹣4at﹣1=0在（4，+∞）上无解；当a＞1时，h（t）的对称轴t=＞0，故只需h（4）＜0，即16（a﹣1）﹣16a﹣1＜0，此不等式恒成立；综上，a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想以及转化思想的应用问题，是综合性题目．21．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，求b的取值范围；（Ⅱ）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，+≥1．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，等价为f（x）+g（x）≠0在（0，+∞）上恒成立，构造函数求出函数的导数，即可求b的取值范围；（Ⅱ）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）若a=﹣1，g（x）=﹣x+b，令h（x）=f（x）+g（x）=e x﹣x+b，若函数y=在（0，+∞）上有意义，则等价为h（x）=e x﹣x+b≠0在（0，+∞）上恒成立，函数的导数h′（x）=e x﹣1，当x＞0是，h′（x）＞0，即h（x）为增函数，则只需要h（0）=1+b≥0即可，即b≥﹣1，即b的取值范围[﹣1，+∞）；（Ⅱ）当0≤2a≤b≤1，x≥0，ax+b＞0，则不等式，+≥1等价为e﹣x﹣1+0，（e﹣x﹣1）（ax+b）+x≥0，即故只需要证明：（e﹣x﹣1）（ax+b）+x≥0，令φ（x）=（e﹣x﹣1）（ax+b）+x，则函数的导数φ′（x）=e﹣x（a﹣b﹣ax）+1﹣a，由（Ⅰ）知e x≥x+1，从而﹣x≥1﹣e x，∴φ′（x）=e﹣x（a﹣b﹣ax）+1﹣a≥e﹣x[a﹣b+a（1﹣e x）]+1﹣a=e﹣x（2a﹣b）+1﹣2a，∵0≤2a≤b≤1，∴φ′（x）≥e﹣x（2a﹣1）+1﹣2a=（1﹣2a）（1﹣e﹣x）≥0，∴φ（x）在[0，+∞）上为增函数，∵φ（0）=0，∴φ（x）≥0，即原不等式成立．点评：本题主要考查函数单调性的判断以及函数与不等式的综合应用，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．（2015春•重庆校级期末）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由ρ=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y，将曲线C1的方程：ρ=2cosθ+2sinθ化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线C2的参数方程消去t化为直角坐标方程，利用点到直线的距离求出圆心C1（1，1）到直线C2的距离d，判断出直线与圆的位置关系，即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）因为曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，则ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，所以C1的直角坐标方程是x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）因为直线C2的参数方程为（t为参数）所以直线C2的直角坐标方程为x+y+2=0，因为圆心C1（1，1）到直线C2的距离d==2，则直线与圆相离，所以求P到直线C2的距离的最大值是3，最小值．点评：本题考查极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2015春•重庆校级期末）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，可得|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，即可得到f（x）的最大值；（Ⅱ）f（x）≤对任意x∈R恒成立，即为f（x）max=5﹣a≤，解不等式可得a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣1，由|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，故f（x）≤4，所以，当x≥3时，f（x）取得最大值，且为4；（Ⅱ）f（x）≤对任意x∈R恒成立，即为f（x）max=5﹣a≤，即为即有，即为a≥4或0＜a≤1．即有a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题的解法，同时考查运算能力，属于中档题．。
2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列函数是奇函数的是（ ）A ． ()f x x x =B ．()lg f x x =C ．()22x x f x -=+D ．3()1f x x =- 【答案】A 【解析】试题分析：A ．()()f x x x f x -=-=-，则函数()f x 为奇函数，满足条件． B ．函数的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，函数为非奇非偶函数． C ．()()22xxf x f x --=+=，则函数为偶函数．D ．3()1f x x -=--，则()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，则函数为非奇非偶函数， 故选：A考点：函数奇偶性的判断2．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若()(1)a i i bi ++=，则a bi +=（ ） A ． ﹣1+2i B ． 1+2iC ． 1﹣2iD ． 1+i【答案】B考点：复数的运算3．已知p ：∃x 0∈R ，sinx 0=；q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（ ）A ． 是p ∨q 假B ． 是p ∧q 真C ． 是（¬p）∨（¬q）真D ． 是（¬p）∧（¬q）真【答案】C 【解析】试题分析：p ：因为1sin 1x -≤≤，故不存在x R ∈，使sin x =p 为假；q ：1430∆=-=-<，故x R ∀∈，都有210x x ++>为真．∴，是“p q ∨”是真，“p q ∧”是假，是“()()p q ⌝∨⌝”真，“()()p q ⌝∧⌝”是假． 故选：C考点：复合的真假4．已知0,,cos 2παα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则cos()6πα+等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：0,,cos 2παα⎛⎫∈=⎪⎝⎭,sin α∴===,因此，11cos cos cos sin sin 666323226πππααα⎛⎫+=-=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭．故选：A 考点：两角和与差的余弦函数5．设x R +∈，向量()()1,1,,2a b x ==-，且10a b +=，则a b ⋅=（ ）A ． ﹣2B ． 4C ． ﹣1D ． 0【答案】D 【解析】试题分析： 向量()()1,1,,2a b x ==-，且10a b +=，=解得2x =或0x =（舍去，因为x R +∈）．则(1,1)(2,2)220a b ⋅=⋅-=-=．故选：D ．考点：平面向量数量积的运算6．函数y =的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ． [0，+∞） B ． [﹣1，0）∪（0，+∞）C ． （﹣∞，﹣1）D ． [﹣1，1） 【答案】A 【解析】试题分析:∵函数y =的值域为R ，∴①当0a =，只需保证12x >，即可使得函数y =的值域为R ； ②当0a ≠时，0440a a >⎧⎨+≥⎩．解得0a >，综上知实数a 的取值范围是[0,)+∞，故选：A ． 考点： 函数的值域 7．已知函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x≥⎧=⎨<⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[1,1]-【答案】C 【解析】试题分析：结合函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x≥⎧=⎨<⎩的图象，可得该函数为周期函数，不是奇函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上没有单调性，值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C ．考点： 三角函数的周期性及其求法8．在ABC ∆中，若AB AC AB AC +=-，2,1,,AB AC E F ==为BC 边的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：若AB AC AB AC +=-，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112225210(14)0333399999AC AB AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B ． 考点：9．函数()f x = ）A ．2,,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．,,()3k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C ．,,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,,()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：三角函数图象和性质. 10．曲线sin 1sin cos 2x y x x =--在点,04M π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【解析】试题分析:因为sin 1sin cos 2x y x x =--22cos (sin cos )(cos sin )sin 1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'∴==++， 24112(sincos )44x y πππ='==+，故选B ． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．11．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--； ③1x y e =+；④ln ,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩． 其中函数式“H 函数”的个数是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1【答案】C 【解析】试题分析：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为()[]1212()()0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数． ①31y x x =-++；231y x '=-+，则函数在定义域上不单调．②32(sin cos )y x x x =--；32(cos sin )304y x x x π⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭，函数单调递增，满足条件．③1x y e =+为增函数，满足条件．④ln ,0()0,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故选C ．考点：函数单调性的性质；函数的图象．12．已知点(0,1)A ，曲线C ：ln y a x =恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AP AB ⋅的最小值为2，则a =（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1C ． 2D ． 1【答案】D 【解析】试题分析：曲线C ：ln y a x =恒过点B ，则令1x =，可得0y =，即(1,0)B ，又点(0,1)A ，设(,ln )P x a x ，则ln 1()AP AB x a x f x ⋅=-+=，由于()ln 1f x x a x =-+在（0，+∞）上有最小值2， 且(1)2f =，故1x =是()f x 的极值点，即最小值点．()1a x a f x x x-'=-=， 0,()0a f x '<>恒成立，()f x 在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当0,(0,)a x a >∈a ＞0，时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a 是减函数，在(,)a +∞是增函数，所以()f x 有最小值为()2f a =，即ln 12a a a -+=，解得1a =；故选D ． 考点：平面向量数量积的运算．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.） 13．计算：10cos 3π= ． 【答案】12- 【解析】 试题分析：10221coscos 4cos 3332ππππ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭考点：运用诱导公式化简求值 14．函数1()1f x x =-在[,]a b 上的最大值为1，最小值为，则a b += ． 【答案】6 【解析】试题分析：由题意，1a >，则1111,,2,4,6113a b a b a b ==∴==∴+=--；1a <时，1113a =-，不成立． 考点：函数的最值及其几何意义．15．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos sin z i αα=+，222cos sin z i αα=+，333cos sin z i αα=+（其中123,,R ααα∈），则()()121212cos sin z z i αααα⋅=+++，()()232323cos sin z z i αααα⋅=+++，根据上面的结论，可以提出猜想：123z z z ⋅⋅= ．【答案】()()123123cos sin i αααααα+++++ 【解析】试题分析：∵当复数111cos sin z i αα=+，222cos sin z i αα=+时，()()121212cos sin z z i αααα⋅=+++，()()()()()123121233123123cos sin cos sin cos sin z z z i i i αααααααααααα∴⋅⋅=+++⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦.考点：归纳推理．16．已知G 点为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，若112tan tan tan A B Cλ+=，则实数λ的值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：如图，连接CG ，延长交AB 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，1,2AG BG DG AB ⊥∴=， 由重心的性质得，3CD DG =，即32CD AB =， 由余弦定理得，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠,2222cos BC BD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠，,ADC BDC AD BD π∠+∠==，222222AC BC AD CD ∴+=+，2222219522AC BC AB AB AB ∴+=+=, 又因为112tan tan tan A B C λ+=，cos cos 2cos sin sin sin A B CA B C λ+=， 22(sin cos cos sin )sin sin 2sin sin cos 2sin sin cos 2cos A B A B C C AB A B C A B C BC AC C λ+∴===⋅⋅2222222154AB AB BC AC AB AB AB ===+--考点：向量在几何中的应用．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知2:8200p x x --≤；22:11q m x m -≤≤+． （Ⅰ）若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）⎡⎣;（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足：cos sin sin )cos 0c B C c B C ⋅++=．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若c =a b +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值．【答案】(Ⅰ）23π;（Ⅱ）()max 2a b +=;6A B π==. 【解析】试题分析：(Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用及正弦定理化简已知等式可得：sin sin sin C A A C =，结合范围0A π<<，可得tan C =C 的值． （Ⅱ）由正弦定理可得2sin 3a b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由20,,,3333A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，即可得解．试题解析：（Ⅰ）由cos sin sin )cos 0c B C c B C ⋅++=.可得sin()sin c B C C +=，所以sin sin c A C =，由正弦定理可得：sin sin sin C A A C =，因为0A π<<，所以sin 0A >，从而sin C C =，即tan C =23C π= …6分 （Ⅱ）由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，可得2sin sin a bA B==， 所以：()12sin sin 2sin sin 2sin 2sin 3223a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭,又因为3A B π+=，得：20,,,3333A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，所以a b ⎤+∈⎦，所以()max 2a b +=，此时32A ππ+=，即6A B π==…12分考点：余弦定理；正弦定理．19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(0,12]x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中(40,50)C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求()y f x =的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）[]21(10)80,(0,12]()290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）老师在(4,28)x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 【解析】试题分析：（1）当(0,12]x ∈时，设2()(10)80f x a x =-+，把点（12，78）代入能求出解析式；当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，把点(12,78)B 、(40,50)C 代入能求出解析式． （2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳试题解析： （1）当(0,12]x ∈时，设2()(10)80f x a x =-+ …（1分） 过点（12，78）代入得，12a =-,则21()(10)802f x x =--+ …（3分） 当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点(12,78)B 、(40,50)C得190k b =-⎧⎨=⎩，即90y x =-+ …（6分）则的函数关系式为[]21(10)80,(0,12]()290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩…（7分）（2）由题意得，2012,1(10)80622x x <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩…（9分） 得412x <≤或1228x <<，428x << …（11分）则老师在(4,28)x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…（12分）考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．20．某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x B ωφ=++（0,0,2A πωφ>><）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请求出上表中的123,,x x x ，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[]0,x m ∈（其中(2,4)m ∈上的值域为⎡⎣，且此时其图象的最高点和最低点分别为P 、Q ，求OQ与QP 夹角θ的大小． 【答案】（Ⅰ）123x =-，243x =，3103x =；()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）56π.【解析】试题分析：（Ⅰ）由五点作图的第二点和第四点列式求出,ωφ的值，则函数解析式可求，再由五点作图的第一、三、五点求解123,,x x x 的值；（Ⅱ）求出平移后的函数解析式，结合()g x 在[]0,x m ∈（其中(2,4)m ∈上的值域为⎡⎣求得图象的最高点和最低点分别为P 、Q 的坐标，代入向量的夹角公式得答案． 试题解析： （Ⅰ）由图表可知，1327332πωφπωφ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23πωπφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．由1023x ππ+=，得123x =-．由223x πππ+=，得243x =．由3223x πππ+=，得3103x =．()23f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()2g x x π=， 由于()g x 在区间[]0,m （其中(2,4)m ∈）上的值域为⎡⎣，则3m ≥，故最高点为P，最低点为(3,Q ．则(3,OQ =，(QP =-，则cos 2OP QP OP QPθ⋅==-⋅．0θπ≤≤，56πθ∴=．考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．21．定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且(0,2)x ∈时，3()91xx f x =+．（1）求()f x 在[]2,2-上的解析式；（2）判断()f x 在(0,2)上的单调性，并给予证明；（3）当λ为何值时，关于方程()f x λ=在[]2,2-上有实数解？【答案】（1）1,(0,2)33()0,0,21,(2,0)33x x x xx f x x x --⎧∈⎪+⎪∴==±⎨⎪⎪-∈-+⎩；（2）()f x 在(0,2)单调递减；（3）91822λ<<或19282λ-<<-或0λ=. 【解析】试题分析：（1）可设(2,0)x ∈-，则(0,2)x -∈,由(0,2)x ∈时，31()9133x x x xf x ==++可求()f x -，再由奇函数的性质可求（2）利用函数的单调性的定义进行证明即可（3）转化为求解函数()f x 在[]2,2-上的值域，结合（2）可先求()f x 在(0,2)上的值域，然后结合奇函数的对称性可求在(2,0)-上的值域 试题解析：（1）设(2,0)x ∈-，则(0,2)x -∈∵(0,2)x ∈时，31()19133x x x x f x ==++，1()133xf x ∴-=+由函数()f x 为奇函数可得，()()f x f x -=-，∴1()133xxf x =-+，∵(0)0f =，又因为函数是周期为4的为奇函数，(2)(2)(2)f f f -=-=，(2)(2)0f f ∴--=，1,(0,2)33()0,0,21,(2,0)33x x x xx f x x x --⎧∈⎪+⎪∴==±⎨⎪⎪-∈-+⎩（2）设1202x x <<<，令1()33xxg x =+， 则2112121212121133()()33333333x x x x x x x x x x g x g x --=+--=-+⋅12121(33)(1)33x x x x =--⋅∵1202x x <<<，∴12()()g x g x <，∴函数()g x 在(0,2)单调递增，且()0g x >， ∴()f x 在(0,2)单调递减（3）由（2）可得当02x <<时，1()33x x f x -=+单调递减，故91()822f x <<，由奇函数的对称性可得，(2,0)x ∈-时，19()282f x -<<-当0x =时，(0)0f =∵关于方程()f x λ=在[2,2]-上有实数解，91822λ∴<<或19282λ-<<-或0λ= 考点：函数与方程的综合运用；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数；函数的周期性． 22．设函数21()ln 2f x x ax bx =-- （Ⅰ）当12a b ==时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）令21()()(03)2aF x f x ax bx x x=+++<≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，1b =-时，方程()f x mx =在区间2[1,]e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（I ）()f x 的单调增区间(0,1)，函数f （x ）的单调减区间(1,)+∞；（II ）12a ≥； （III ）11m e =+，或2211m e≤<+. 【解析】试题分析：（I ）先求导数()f x '然后在函数的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<，()0f x '>的区间为单调增区间，()0f x '<的区间为单调减区间．（II ）先构造函数()F x 再由以其图象上任意一点()00,P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，知1()2f x '≤恒成立，再转化为所以2200max 1()2a x x ≥-+求解． （III ）先把程()f x mx =有唯一实数解，转化为ln 1xm x=+有唯一实数解，再利用单调函数求解．试题解析： （Ⅰ）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞．（1分） 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--， 111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=． （2分）令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减．（3分）所以函数()f x 的单调增区间(0,1)，函数f （x ）的单调减区间(1,)+∞． （4分） （Ⅱ）(]()ln ,0,3aF x x x x=+∈， 所以00201()2x a k F x x -'==≤，在区间(]0,3上恒成立，（6分） 所以(]200max 1(),0,32a x x x ≥-+∈a≥（﹣x 02+x 0） （7分） 当01x =时，20012x x -+取得最大值12．所以12a ≥． （9分）（Ⅲ）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+，因为方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，所以ln x x mx +=有唯一实数解．ln 1xm x∴=+， 设ln ()1x g x x =+，则21ln ()xg x x-'=． 令()0g x '>，得0x e <<；()0g x '>，得x e >；∴()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，222ln 2(1)1,()11e g g e e e==+=+，1()1g e e =+，所以11m e =+，或2211m e ≤<+．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．。
重庆市2017-2018学年高二下学期期末测试数学(理)试题含答案
重庆市南开中学高 2018级高二（下）数学（理科）期末考试一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分。
1 集合 A =[0,1,2,3,4»B 二「X x2 x -1 <0｝，则 A 「B =（）A 、「0,123,4?B 、10,1,2,3]2、 若命题p :Z,e x ：：：1,则一p 为（ ） A 、 —x Ze x ：：：1 B 、一x ，Z,e x ：：：13、 已知 X ~ N 5,二2 ，若 P 3 乞 X 乞 5 ]=0.4，A 、 0.9B 、 0.84、 已知a ・b,c ・R ，则下列不等式一定成立的（A 、a c _bcB 、a c _bcC 、「0,1,2?D 、「0,1C 、-xEZ,e x _1D 、- x 「Z,e x _1则 P X _7]=()C 、0.7D 、0.6）C 、a c _b cD 、a c _ b c5、某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。
后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题， 看每次月考的数学成绩， 得到5个月的数据如下 表：根据上表得到回归直线方程 y =：1.6x • a ,若该同学数学想达到 90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A 、 8B 、 9C 、 10D 、 116、巧克力很甜、很好吃，数学很妙、很有趣，某中学统计了部分同学“爱吃巧克力”与“数 学成绩好”的关系，得到下表：k '4.167参考数据： A 、 至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关 B 、 至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关 C 、 至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关4D、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关10、定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个 人不会彼此给对方写信”，若五个人a,b,c,d,e 中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写 了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为()A 、 704B 、 864C 、 1004211、设抛物线C : y =4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交点为P ，过点F 作直线与抛物线C 交 于点 A,B ，若 AB_PB ，贝U AF| |BF =(B 、412、已知函数f x =_ e®，若对任意x^ i 0,1 ，恒有发，贝U 实数a 的取值范围为(二、填空题：本题共 4小题，每小题5分。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
俯视图侧（左）视图正（主）视图 重庆一中2017-2018学年高二下期期末考试数 学 试 题 卷（理科）第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合21,0,1,2A =--｛，｝，{}(1)(2)0B x x x =-+<,则A B = （ ） A ．{}0,1 B ． {}1,0- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2 2. “3a >”是“函数2()22f x x ax =--在区间(,2]-∞内单调递减”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件3. 下列说法中正确的是 （ ）A ．“()00f =” 是“函数()f x 是奇函数” 的充要条件B ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--< C ．若p q ∧为假，则,p q 均为假D ．“若6πα=，则1sin 2α=” 的否是“若6πα≠，则1sin 2α≠”4.函数()()ln f x x -的定义域为（ ）A. {}0x x <B. {}{}10x x ≤-C. {}1x x ≤-D. {}1x x ≥-5.二项式6ax ⎛+ ⎝的展开式中5x 20a x dx =⎰（ ）A. 13B.12C.1D.26. 已知()f x 是周期为4的偶函数，当[0,2]x ∈时()22,01log 1,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩，则()()20142015f f +=（ ）A.0B.1C.2D.37. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）A.B. 3C.D. 8. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：A. ˆ0.627.24yx =+ B. ˆ0.72 6.24y x =+ C. ˆ0.71 6.14y x =+ D. ˆ0.62 6.24yx =+ 参考公式：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B. 120C. 144D. 16810. 已知椭圆221112211:1(0)y x C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)y x C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为( )A ．92B ．4C ．52D ．911.设函数21228()log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2f x f x +≥的解集为（ ）A.(0,2]B.1,22⎡⎤⎣⎦C.[2,)+∞D.1(0,][2,)2+∞12.（原创）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，对任意的12,[1,1]x x ∈-，均有2121()(()())0x x f x f x --≥.当[0,1]x ∈时，2()(),()1(1)5x f f x f x f x ==--，则290291()()2016201314315()()201620166f f f f -+-+-+-= （ ） A.112-B.6-C.132-D.254-第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
重庆市第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案
2017年重庆市一中2018级高二下学期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{1,3,5,7},{|35}A B x x x ==-≤，则A B =IA ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,72、设复数z 满足21i z =+，则z = A ．1i + B ．1i - C ．2i D ．2i -3、命题：“对任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>”的否定是A ．任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤B ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>C ．不存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤D ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤4、已知2(2017,)N ξσ:，若(20162017)0.2P ξ≤≤=，则(2018)P ξ>等于A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 5、函数()293x f x x-=-的定义域为 A ．{}|3x x ≠ B ．{|3x x ≤-或3}x > C ．{|33}x x -<≤ D ．{|33}x x -≤<6、函数()321313f x x x x =-+++，以下关于此函数的说法正确的是 A ．在1x =处取得极小值 B ．在1x =-处取得极大值C ．在3x =-处取得极小值D ．在3x =-处取得极大值7、一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π8、已知12,F F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，1PF 与以原点为圆心a 为半径的圆相切，切点为M ，若11()2OM OF OP =+u u u u r u u u r u u u r ，那么该双曲线的离心率为AD1 9、（原创）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是A ．甲做对了B ．甲说对了C ．乙作对了D ．乙说对了10、（原创）NBA 全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式A ．96B ．100C ．144D ．22511、（原创）已知点P 为圆22(2)1x y -+=上的点，直线1l为2y x =，2l为2y x =-，P 到12l l 的距离分别为12d d ，那么12d d 的最小值为A ．12B ．13C ．29D ．1612、（原创）设函数()f x 在R 上连续可导，对任意x R ∈，有()()cos 2f x f x x -+=，当(0,)x ∈+∞ 时，()sin 20f x x +>，若()()cos 202f m f m m π--->，则实数m 的取值范围为A ．(,)4π+∞B ．(,)4π-∞C ．(0,)4π D ．(,)44ππ- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设函数()22,242x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则1()(10)f f =14、闭区间[]0,5上等可能的任取一个实数x ，那么不等式220x x --≤ 成立的概率为 15、已知22201221(2)(1)(1)(1),2,n n n x a a x a x a x n n N +-+=+++++++≥∈L ，则24222n n a a a a -++++=L16、（原创）已知,,a b c 为正整数，()(),c f x ax f x b x=+=在(0,1)x ∈上有两个不同的实数解，若这样的正整数b 有且只有2个，那么a c +的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、（本小题满分10分）已知条件2:560p x x -+≤，条件q ：关于x 的不等式230x mx m +++>.（1）若条件q 中对于一切x R ∈恒为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18、（本小题满分12分）（原创）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大.现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，060,DAB PAD ∠=∆为正三角形，6PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段PB 上的点，平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角为030,PE PB λ=u u u r u u u r ，求出λ的值.20、（本小题满分12分）（原创）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为33，离心率为12. （1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD 的三条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD 面积的最大值.21、（本小题满分12分）（原创）已知函数()()11,1n x n m x f x g x m mx x +-==--（其中,,m e n me ≥为正整数，e 为自然对数的底）（1）证明：当1x >时，()0m g x >恒成立；（2）当3n m >≥时，试比较()n f m 与()m f n 的大小，并证明.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28sin 0ρθρρθ+-=，曲线2C的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，若(0,2)P ，求PA PB ⋅的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =++-.（1）解不等式()8f x >；（2）设函数()f x 的最小值为a ，正实数,,m n s 满足22m m s a ++=，求222m n s ++的最小值.。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：,故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.2. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：把A中元素代入B中解析式求出y的值，确定出B，找出两集合的公共元素，从而求得其交集.详解：把A中代入B中得：，即，则故选C.点睛：由二次函数的值域求法，运用列举法化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的函数的定义域为，得到和同时有意义以及分母不等于零的条件，得到所满足的条件，求得的范围，进一步求得函数的定义域.详解：由题意可得，解得，所以函数的定义域为，故选A.点睛：该题考查的是有关函数定义域的求解问题，需要注意函数定义域的定义是使得式子有意义的的取值所构成的集合，注意抽象函数定义域确定的原则，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，最后求得结果.4. “若或，则”的否命题是（）A. 若且，则.B. 若且，则.C. 若且，则.D. 若或，则.【答案】B【解析】分析：根据原命题的否命题是条件和结论同时否定，得到的命题是否命题，注意“或”的否定为“且”.详解：根据命题否定的规则，可知“若或，则”的否命题是“若且，则.”故选B.点睛.该题考查的是有关四种命题的问题，关于原命题的否命题的形式是条件和结论同时否定，此时要注意“或”的否定为“且”.5. 条件：，条件：，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：由已知中条件：，条件：，我们可以求出对应的集合P,Q,然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案.详解：条件：，条件：，q是p的充分但不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得是的充分但不必要条件.故选A.点睛:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q和p之间的关系式解答本题的关键.6. 从，，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数均为偶数”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：用列举法求出事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求出，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果.详解：事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1,3）、（1,5）、（3,5）、（2,4），事件B=“取到的个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)点睛：利用互斥事件的概率及古典概型概率公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解.7. 已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是（）A. B.C. D. 与大小不确定【答案】A【解析】分析：由已知条件，结合奇函数的定义域必然关于原点对称可得解得或；故需对或两种情况分别进行讨论，从而确定结果.详解：幂函数是定义在区间上的奇函数，解得或.当时，函数当时，函数且，不合题意；综上可知故选A.点睛：根据奇函数的定义域关于原点对称的性质求出m，然后根据幂函数的性质即可得出结论.8. 从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分布计数原理得到结果.详解：由题意知本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选.共有点睛：分步要做到“步骤完整”-----完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分布后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.9. （原创）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，.则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的条件，判断出函数图像的轴对称性以及函数的周期性，并求得函数的周期，应用函数的周期性，得到函数值之间关系，最后求得结果.详解：根据题意，是偶函数，且对任意的实数，都有，得到其图像关于直线对称，并且其周期为2，所以有，从而得到，故选B.点睛：该题考查的是有关函数值的求和问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的奇偶性，函数的周期性等，正确处理函数值之间的关系式解题的关键.10. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数，把原不等式转化为，结合求得x的范围.详解：则函数是区间上的增函数.由不等式，得，解得，又由，得，即.故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.11. 甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛，另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时，发现甲共打局，乙共打局，而丙共当裁判局.那么整个比赛的第局的输方（）A. 必是甲B. 必是乙C. 必是丙D. 不能确定【答案】A【解析】分析：根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙共打了4局，利用乙共打局，因此乙丙打了13局，因此共打了25局，那么甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判，因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、……、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲.详解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三人之间总共打了（8+4+13）=25局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次.所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲.故选A.点睛：该题考查的是有关排列组合在打比赛中的应用，在解题的过程中，涉及到的知识点有分类加法计数原理，以及推理问题，正确理清其关系式解题的关键.12. 设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可.详解：设两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数使得只要即解得故选D.点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用，在解题的过程中，要正确理解零点存在性定理的内容，会利用其得到相关的不等式组，并且结合图形来研究.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量，若，则__________．【答案】【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.详解：随机变量服从正态分布曲线关于x=1对称，故答案为：0.8.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.14. 二项式的展开式中，的系数为，则实数__________．（用数字填写答案）【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.视频15. 定义在上的单调函数，满足对，都有，则__________．【答案】【解析】分析：先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式即可.详解：因为函数是定义在上的单调函数，对恒成立所以存在常数c，使得，又.故答案为10.点睛：该题考查的是有关求函数值的问题，在解题的过程中，需要明确常函数的概念，以及会应用题的条件，得到相应的关系式，求得结果.16. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是__________．【答案】【解析】分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在的一一对应关系时，即只有当时，才会存在一一对应.详解：根据的函数，易得出其值域为：R，又时，值域为时，其值域为R，的值域为上有两个解，要想，在上只有唯一的，必有，所以：解得：，当时，x与存在一一对应关系，且，所以有：，解得：或者（舍去），，，综上所述，故答案是.点睛：该题考查的是有关参数的取值范围及最值的问题，在解题的过程中，需要认真审题，理解存在唯一的x满足条件的等价结果是函数关系式一一对应的，从而得到相应的式子，求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 第届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况，随机调查了该校名学生，并将这名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类，已知这名学生中男生比女生多人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少人.（1）根据题意建立列联表，判断是否有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？（2）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取人，再从这人中随机选出人参与世界杯足球赛宣传活动，求这人中至少有一个男生的概率.附：，.【答案】(1)没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异(2)【解析】分析：(1)根据题中的条件，得到相关的数据，从而列出列联表，根据公式求出的值，与临界值比较，即可得出结论；(2)根据比例，即可确定男生和女生抽取的人数，确定所有基本事件、满足条件的基本事件，即可求出至少有一个男生的概率.详解：（1）可得列联表为：非常关注一般关注合计男生女生合计，所以没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异.（2）由题意得男生抽人，女生人，.点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有列联表，独立检验，古典概型等，在解题的过程中，注意从题的条件中读取相关的信息，合理利用题的条件是解题的关键.18. 今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的网红景点，把重庆推上全国旅游人气搒的新高.外地客人小胖准备游览上面这个景点，他游览每一个景台的概率都是，且他是否游览哪个景点互不影响.设表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（1）记“函数是实数集上的偶函数”为事件，求事件的概率.（2）求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】分析：(1)根据函数是偶函数的条件，从而有，得到，根据独立重复试验中，相应的概率公式求得结果；(2)根据题意，得到的可取值，求得对应的概率，列出分布列，利用期望公式求得的值.详解：（1）因为在上的偶函数，所以；从而.（2）显然的可能取值为，，，；；；所以的分布列为：.点睛：该题考查的是有关概率的求解以及分布列和其期望的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有独立重复试验中成功次数对应的概率，随机变量的分布列以及期望，正确理解题意是解题的关键.19. 如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：(1)根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；(2)建立相应的空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的正弦值，从而求得角的大小.详解：（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，.又，，∴.令，则，，∴.设与平面所成的角为.∵，∴.∴与平面所成角的大小为.点睛：该题所考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面角的大小的求解，在解题的过程中，需要把握线面垂直的判定定理的内容以及空间向量法求解线面角的思路与过程，建立适当的空间直角坐标系是解题的关键.20. 已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；（2）当，，为定值时，求面积的最大值.【答案】(1)或 (2)【解析】分析：(1)首先求得双曲线的离心率，从而求得椭圆的离心率，分两种情况求得的值；(2)先设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得M的纵坐标，从而表示出三角形的面积，应用导数求得结果.详解：（1）双曲线的离心率是，所以的离心率是，所以有或，所以或.（2）易得的方程为，由，得，解得或，即点的纵坐标，，所以，令，，由，当时，；当时，，若，则，故当时，；若，则.∵在上递增，进而为减函数.∴当时，，综上可得.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，利用其离心率求其参数的问题，这里需要注意应该分两种情况，再者就是有关椭圆中三角形的面积问题，注意从函数的角度去处理.21. （1）求证：当实数时，；（2）已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】分析：(1)构造新函数，，等价于，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到结果；(2)根据题意，结合函数零点的定义，得到，两式相加，两式相减，简化式子，之后得到，构造新函数，利用导数真的结果.详解：证明：（1），，则，所以在单调递增，所以，所以.（2）由题意，相加有，①相减有，从而，代入①有，即，不妨设，则，由（1）有.又，所以，即，设，则，，在单调递增，又，∴，∴，∴.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的零点等，注意认真审题是解题的关键（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值.【答案】(1) (2) 或或【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到，所以或，解得或或.23. 关于的不等式的整数解有且仅有一个值为（为整数）.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）求出不等式的解，根据其整数解有且仅有一个值为，得到关于的不等式组，解不等式组即得整数的值；（2）利用柯西不等式放缩即可证得结论.试题解析：（1）由有关于的不等式的整数解有且仅有一个值为,则,即,又为整数,则（2）由有,由柯西不等式有当且仅当时,等号成立,所以的最大值为考点：绝对值不等式的解法及利用不等式求最值.。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题含解析
2018年重庆一中高2019级高二下期半期考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）.1. 是虚数单位，计算的结果为（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】分析：根据复数的除法法则计算即可．详解：由题意得．故选B．点睛：本题考查复数的除法运算法则，考查学生的运算能力，属于容易题．2. 极坐标方程所表示的图形是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】D【解析】分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后再进行判断．详解：∵，∴．把代入上式可得,即，∴极坐标方程表示的是以（1,0）为圆心，半径为1的圆．故选D．点睛：本题考查极坐标和直角坐标间的互化，考查学生运用所学知识解决问题的能力，解题的关键是灵活运用极坐标和直角坐标间的转化公式进行求解．3. 用数学归纳证明：时，从到时，左边应添加的式子是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分别求出时左边的式子，时左边的式子，用时左边的式子，除以时左边的式子，即得结论.详解：当时，左边等于，当时，左边等于，故从“”到“”的证明，左边需增添的代数式是，故选C.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.4. 随机变量服从正态分布，若，则的值（）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2【答案】C【解析】分析：由随机变量服从正态分布，可得正态曲线的对称轴，根据正态曲线的特点，得到，从而可得结果.详解：随机变量服从正态分布，，得对称轴是，，，，所以，故选C.点睛：本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】试题分析：，所以考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.视频6. 通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男45 10女30 15则有（）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式0.100 0.050 0.010 0.0012.7063.841 6.635 10.828A. 90%B. 95%C. 99%D. 99.9%【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据代入公式计算的值，和临界值表比对后即可得到答案. 详解：将列联表中数据代入公式可得，所以有的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’”与性别有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）7. 若，则的值为（）A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】C【解析】分析：令求得的值，再令得到的值，两式相减可得所求．详解：在二项展开式中，令，得.令，得.∴．故选C．点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．8. 已知函数，若是从1，2，3中任取的一个数，是从0，1，2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：将记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，，满足题中条件为，即，所以满足条件的基本事件有共6个基本事件，所以所求的概率为，故选D．考点：古典概型．9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】根据题意，可分三种情况讨论：①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时，共有种不同坐法；综上所述，共有种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。
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是虚数单位，复数，则复数
B. C. D.
,
D.
若集合，则（
B. C. D.
，即，
已知函数的定义域为，则函数
B. C. D.
的定义域为
及分母不等于零的条件，得到所满足的条件，求得的范围，进一步求得函数的定义域
详解：由题意可得
所以函数的定义域为，故选
点睛：该题考查的是有关函数定义域的求解问题，需要注意函数定义域的定义是使得式子有意义的
或，则
且.
且.
且，则
或，则
可知“若，则”的否命题是“若，则
：，条件：，则是
：，条件：
条件
条件，
是
，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数（
B. C. D.
【答案】
用列举法求出事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求出
同理求出，根据条件概率公式
详解：事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件有：
事件B=“取到的个数均为偶数”所包含的基本事件有
故选D.
是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是（
B.
D. 大小不确定
或；故需对两种情况分别进行讨论，从而确定结果
幂函数是定义在区间
或.
当时，函数
时，函数且
综上可知
人中选出
B. C. D.
（原创）定义在满足：对任意的实数都有，且，
B. C. D.
详解：根据题意，是偶函数，且对任意的实数，都有
得到其图像关于直线
，
从而得到
函数是定义在区间，且满足
A. B.
D.
求导可知函数是区间
求得x的范围.
则函数是区间
由不等式
，解得，
，得
发现甲共打乙共打而丙共当裁判那么整个比赛的第
用乙共打
设函数，使得，则实数
B. C. D.
【答案】
【解析】分析：设
件的不等式组解之即可.
详解：设
两个函数图象如图：
只要
解得
D.
已知随机变量，则
【答案】
【解析】分析：根据随机变量，且
服从正态分布
二项式的展开式中，的系数为，则实数
【答案】
【解析】因为所以令，，所以=15解得考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档视频
定义在，满足对，都有，则
【答案】
是定义在
恒成立
所以存在常数c，使得
.
设函数若对任意给定的，都存在唯一的，则正实数的最小值是__________
【答案】
【解析】分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的满足条件，结合的值域或者图象，易知只有的自变量与因变量存在的一一对应关系时，即只有当
详解：根据
时，值域为
时，其值域为
的值域为
，在上只有唯一的
，
与
，
所以有：，
或者（舍去）
，
综上所述，故答案是
点睛：该题考查的是有关参数的取值范围及最值的问题，在解题的过程中，需要认真审题，理解存在唯一
调查了该校名学生，并将这
名学生中男生比女生多，
）根据题意建立
）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取
人中随机选出人参与世界杯足球赛宣传活动，求这
.
没有(2)
根据题中的条件，得到相关的数据，从而列出列联表，根据公式求出
）可得
所以没有
差异.
）由题意得男生抽人，女生人，.
点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有列联表，独立检验，古典概型等，在解题的过程
个景点，他游览每一个景台的概率都是
设表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值
是实数集上的偶函数”为事件，求事件
的分布列及数学期望
(1)分布列见解析，
【解析】分析：根据函数是偶函数的条件，从而有，得到，根据独立重复试验中，相
根据题意，得到的可取值，求得对应的概率，列出分布列，利用期望公式求得
）因为在上的偶函数，所以；
.
）显然的可能取值为，，，
；
所以的分布列为：
点睛：该题考查的是有关概率的求解以及分布列和其期望的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有独
中，，，.，分别是，上的点，且，沿的位置，使，如图（
）求证：平面
是的中点，求直线与平面
(2)
根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；
）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又
，∴又，∴.
）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系
，，
设平面的法向量为
，，，∴
，，∴
与平面所成的角为.∵
.
与平面所成角的大小为.
已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于交椭圆于.
的离心率互为倒数，求实数
，为定值时，求面积
(1) (2)
【解析】分析：(1)首先求得双曲线的离心率，从而求得椭圆的离心率，分两种情况求得先设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得M的纵坐标，从而表示出三角形的面积，应用导数求得结
双曲线的离心率是所以的离心率是所以有
.
）易得的方程为，由，
，即点的纵坐标
，
令，，由
时，；当时，，若，则，故当时，
，则.∵在为减函数.∴当时，，
综上可得
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，利用其离心率求其参数的这里需要注意应该分两种情况，
）求证：当实数时，
已知，，如果，的图象有两个不同的交点，求证：
（参考数据：，
，，等价于，利用导数研究函数的单调性，
，两式相加，两式相减，简化式子，之后得到，构造新函数，利用导数真的结果
详解：证明：（1），则，所以
，所以
）由题意，相加有
，从而
，即
不妨设，则，由（1）有.
，
所以，即，设，则
，在单调递增，又，
∴，∴，∴
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数
在直角坐标系中，曲线（，以该直角坐标系的原点
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
的普通方程和直线的直角坐标方程；
）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值
(1) (2) 或或
【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线
通方程为直线的直角坐标方程为.）由题可知
和
，代入韦达定理即得答案
故曲线的普通方程为.
的直角坐标方程为
）直线的参数方程可以写为为参数）
两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到
，
所以，
或或.
关于的不等式的整数解有且仅有一个值为为整数）
）求整数
已知，若，求的最大值
(1) (2)
）求出不等式的解，根据其整数解有且仅有一个值为，得到关于
的值；
）由
的不等式的整数解有且仅有一个值为则即为整数
有
当且仅当时,等号成立,
的最大值为
考点：绝对值不等式的解法及利用不等式求最值。