重庆一中2019-2020年高二下学期数学周考(2020.4.12)试卷(无答案)
重庆市2019-2020学年下学期高二(期末)联合检测试卷数学试题
2020年春高二（下）联合检测试卷数学数学测试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{2,3,5,7},12A B xx ⎧⎫==<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A ．{2}B ．{}3C ．{}2,3D ．{}5,7 2．复数103i-的共轭复数是（ ） A ．3i + B ．3i - C ．3i -+ D ．3i --3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（ ） A ．随机抽样 B ．散点图 C ．回归分析 D ．独立性检验 4．命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定为（ ） A ．2,20x R x ∀∈+< B ．2,20x R x ∃∈+ C ．2,20x R x ∃∈+ D ．2,20x R x ∀∈+ 5．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．126．设随机变量X 服从正态分布()21,(0)N σσ>，若(0)0.15P X <=，则(02)P X =（ ） A ．0.35 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（ ） A ．24 B ．30 C ．36 D ．408．5(21)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．80- B ．20- C ．120 D ．2009．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为112,,323，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ） A ．19 B ．12 C ．78 D ．8910．己知曲线()(ln )xf x x a x e =+在点()1,e 处的切线经过坐标原点，则a =（ ）A ．e -B ．2-C ．1-D ．2e -11．已知函数3()(0)f x ax bx c bc =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知()f x '是定义在R 上的偶函数()f x 的导函数，当0x <时，()2()xf x f x '<，且(1)0f =，若30.30,0log 3,0.5,log 0.2a b c ︒===，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．复数(1)z i i =--的虚部为________．14．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程ˆ0.70.35yx =+，则m =_______．15．某旅馆有三人间、两人问、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有______种． 6．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n 次()*2,n n N ∈，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X ，若5EX >，则n 的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知二项式n⎛⎝的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数．（1）求n 的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值． 18．（12分）（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值． 19．（12分）已知函数32()1f x x x x =--+． （1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线；（2）求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值． 20．（12分）新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为512． （1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b a c c d b d -==+++++++21．（12分）某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立． （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望． 22．（12分）已知函数2()ln 2,f x x a x x a R =--∈．（1）若函数()f x 在(0,)+∞内单调，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求()()1212f x f x x x +的取值范围． 2020年春高二（下）联合检测试卷数学参考答案一、选择题1～6 DBDBBC 7～12 BCDCDB第8题提示：555(21)(2)2(2)(2)x x x x x -+=+-+，这两项展开后均有3x ，系数为332255222120C C ⋅-=．第9题提示：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为21113239⨯⨯=，故至少一人通过测试的概率为18199-=． 第10题提示：()1ln x a f x x a x e x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭，∴(1)(2)f a e '=+，由题知0(2)10e a e -=+-，故1a =-． 第11题提示：2()3f x ax b '=+，显然若()f x 存在极值点，极值点必有两个，且互为相反数，故A 、C 都是错的；对于选项B 、D ：由图象的单调性知0a >，0b <，则0c >，即函数图象与y 轴的交点应在正半轴上，选项B 是错的，选项D 是可能的．第12题提示：当0x <时，224()2()()2()()2()00x f x xf x xf x f x x f x xf x x '-''<⇒->⇒>，即2()0f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，令2()()f x g x x =，则()g x 在(,0)-∞上单调递增，又()f x 为偶函数，∴()g x 也是偶函数，故()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()()110g f ==，故当()1,1x ∈-时()0g x >， 当(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞时()0g x <，0.52log 3log 3(2,1)a ==-∈--，0.30.310.5(0,1)2b ==∈，0.52log 0.2log 5(2,3)c ==∈，故()0()()g b g a g c >>>， 即222()()()0f b f a f c b a c >>>，故()0,()0,()0f b f a f c ><<，又2201a c <<， ∴22()()()a f a f c f c c>>，故选B ．二、填空题13．1- 14．3 15．18 16．6第15题提示：由题分析知，三个大人必各住一个房间，两个小孩可以同住三人间或三人间、两人间各一人，所以不同的安排方法有()3232118A A ⨯+=种．第16题提示：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为41151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题知15~,16X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则15516EX n =>，即163n >，所以正整数n 的最小值为6． 三、解答题 17．（10分）解析：（1）由题知，二项式系数和0122256nn n n n n C C C C ++++==，故8n =； 5分（2）二项式系数分别为01288888,,,,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大， 8分即为展开式中第5项，∴44482()70C a -=，即12a =±． 10分 18．（12分）解析：（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+， 2分∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得103a b =-⎧⎨=⎩或，∴1z =-或13i -+； 6分（2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132ai i b i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩，即12,26a b =-=． 12分 19．（12分）解析；（1）2()321,(0)1f x x x f ''=--=-，又()01f =，所以切线方程为11(0)y x -=-⋅-，即1x y +=； 4分（2）由（1）知()01f x x '>⇒>或13x <-，∴()f x 在[0,1]上单减，在[1,2]上单增， 8分 又(0)1,(1)0,(2)3f f f ===，∴()f x 在[0,2]上的最大值为3，最小值为0． 12分 20．（12分） 解析：（1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， 2分 ∴2260(1052520)10810.828352530307K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效； 6分（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==． 12分 21．（12分）解析：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.60.60.60.216⨯⨯=；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意； 故所求概率为0.216． 6分 （2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X 的所有可能取值为2，3，4， 7分(2)0.40.50.2P X ==⨯=，(3)0.6(0.60.60.41)0.40.510.656P X ==⨯⨯+⨯+⨯⨯=，(4)0.60.60.410.144P X ==⨯⨯⨯=，X 的分布列为11分20.230.65640.144 2.944EX =⨯+⨯+⨯=． 12分22．（12分）解析：（1）2222()22,0a x x af x x x x x--'=--=>，由题知()0f x '≥恒成立， 即222a x x -恒成立，而22111222222x x x ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，∴12a -； 4分（2）由题知2220x x a --=在(0,)+∞内有两个不等实根12,x x ，则102a -<<， 且12121,2a x x x x +==-，不妨假设12x x <，则1102x <<， 5分 ∴()()12121212121212ln ln ln ln 223f x f x x x x x x a x a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()12122112111112ln ln 322ln 2ln 321ln 2ln 13x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+-=-+-- ⎪⎝⎭， 9分令1()(1)ln ln(1)02g x x x x x x ⎛⎫=-+-<<⎪⎝⎭，则1112()ln ln(1)ln 11(1)x x xg x x x x x x x x --⎛⎫'=-++--=-+ ⎪--⎝⎭，显然111,120x x ->->， 故()0g x '>，∴()g x 单调递增，11ln ,022g x ⎛⎫=→⎪⎝⎭时()g x →-∞， ∴1(),ln2g x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭， ∴()()1212(,32ln 2)f x f x x x +∈-∞--． 12分。
2020年重庆一中高二(下)期中数学试卷解析版(文科)
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|x2-3x＜0}．则M∩N=（ ）A. {0，1}B. {-1，0}C. {1，2}D. {-1，2}2.当m＜1时，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p∨q为真，￢p为真，则下列说法正确的是（ ）A. p真q真B. p假q真C. p真q假D. p假q假4.设函数，则=（ ）A. -1B. 1C.D.5.设x∈R，则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.根据如下样本数据：x12345y a-1-10.5b+1 2.5得到的回归方程为y=bx+a，若样本点的中心为（3，0.1），则b的值为（ ）A. 0.8B. -0.8C. 2.3D. -2.37.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+a）2+y2=a2相切，则双曲线的离心率等于（ ）A. B. C.2 D.8.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（ ）A. f（x）=sin xB. f（x）=e x+e-xC. f（x）=x3+xD. f（x）=x lnx9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 64+32πB. 64+64πC. 256+64πD. 256+128π10.已知函数，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（ ）A. （1，2）B. （1，4）C. （0，2）D.11.函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）＝f（x）与f（1＋x）＝f（1-x）成立，并且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程的根的个数是（）A. 2020B. 2019C. 1010D. 100912.已知函数g（x）满足g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，且存在实数x0使得不等式2m-1≥g（x0）成立，则m的取值范围为（ ）A. （-∞，2]B. （-∞，3]C. [1，+∞）D. [0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）的定义域为[-2，3]，则函数f（2x）的定义域是______．14.若函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______．15.过抛物线y2=4x焦点的直线与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为______．16.在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则正三棱锥P-ABC的内切球的半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的定义域为M．（1）求M；（2）当x∈[0，1]时，求f（x）=4x+2x的最小值．18.某校开展了知识竞赛活动．现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？（结果精确到0.001）优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，四边形ABB1A1为正方形．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，BC=4，求点B到平面AB1D的距离．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中垂线交x轴于点P，求点P横坐标的取值范围．21.已知函数f（x）=e x，g（x）=x2-x-1（e为自然对数的底数）．（1）记F（x）=ln x+g（x），求函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；（2）若k∈Z，且f（x）+g（x）-k≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（-1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：N={x|0＜x＜3}；∴M∩N={1，2}．故选：C．可解出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：m＜1所以m-1＜0，复数z=2+（m-1）i在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．由题意推出m-1＜0，易得复数z在复平面上对应的点位于的象限．本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p 假q真；∵￢p也为真命题，⇒p为假命题，q为真，￢q为假命题，由逻辑连词链接的命题真假逐项判断即可．故选：B．命题p∨q为真是真命题，有三种情况：①p、q均为真，②p真q假，③p假q真；由已知条件然后逐项判断即可．本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q为真的讨论．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查对数函数，考查运算求解能力，属于基础题．由＞0，得到．【解答】解：∵函数，∴=-1，故．故选：A．5.【答案】B【解析】解：由2-x≥0得x≤2，由|x+1|≤1得-1≤x+1≤1，得-2≤x≤0．则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题意，，即，解得a=-2.3，b=0.8．故选：A．由题意列关于a，b的方程组，求解得答案．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．7.【答案】D【解析】解：双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0，因其与圆相切，故，所以c=2b，故e=，故选：D．求出渐近线的方程后利用圆心到其距离为可得，从该式可求离心率．圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a，b，c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a，b，c的不等式或不等式组．8.【答案】C【解析】解：A．f（x）=sin x在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．B．f（-x）=e-x+e x=f（x），函数f（x）为偶函数，不满足条件．C．f（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x 是增函数，满足条件．D．f（x）的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选：C．由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，易得f（x）在R上为增函数，f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x＜3x-4，变形可得x2-5x+4＜0，解可得1＜x＜4，即不等式的解集为（1，4），故选：B．根据题意，分析易得f（x）在R上为增函数，据此分析可得f（x2-2x）＜f（3x-4）⇒x2-2x ＜3x-4，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．【解答】解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数.又f（1+x）=f（1-x）成立，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（x）=f（2+x）,即函数f（x）为周期为2的周期函数.由当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，即交点个数为2020，故选：A．12.【答案】C【解析】解：∵g（x）=g′（1）e x-1-g（0）x+，∴g′（x）=g′（1）e x-1-g（0）+x，∴g′（1）=g′（1）-g（0）+1，解得：g（0）=1，g（0）=g′（1）e-1，解得：g′（1）=e，∴g（x）=e x-x+x2，∴g′（x）=e x-1+x，g″（x）=e x+1＞0，∴g′（x）在R递增，而g′（0）=0，∴g′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∴g（x）min=g（0）=1，若存在实数x0使得不等式2m-1≥g（x0）成立，只需2m-1≥g（x）min=1即可，解得：m≥1，故选：C．分别求出g（0），g′（1），求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，问题转化为只需2m-1≥g（x）min=1即可，求出m的范围即可．本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．13.【答案】[-1，]【解析】解：∵函数f（x）的定义域为[-2，3]，∴由-2≤2x≤3，得-1≤x≤，即函数f（2x）的定义域是[-1，]，故答案为：[-1，]根据复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．14.【答案】y=x-2【解析】解：根据题意，函数f（x）=（a+1）x3-2x+a为奇函数，且其定义域为R，则有f（0）=a=0，则f（x）=x3-2x，其导数f′（x）=3x2-2，则f′（1）=1，即曲线在点（1，f（1））处切线的斜率k=1，又由f（1）=-1，则切点的坐标为（1，-1），故切线的方程为y-（-1）=x-1，变形可得y=x-2；故答案为：y=x-2．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=a=0，即函数函数的解析式，求出函数的导数，分析可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案．本题考查利用导数计算切线的方程，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：抛物线y=4x的交点F（1，0），直线y=k（x-1）过焦点F，联立消去x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=4，即=0，此方程无解，说明斜率k不存在，此时直线与x轴垂直，此时弦AB的中点为F，F到准线的距离为2．故答案为：2．设直线AB的方程，将其代入抛物线，利用弦长公式求得弦长与已知弦长相等列方程可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．16.【答案】【解析】解：如图，在正三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，∴AB=BC=AC=，则．设正三棱锥P-ABC的内切球的球心为O，内切球半径为r，则，解得r=．故答案为：．由题意画出图形，设出内切球半径，利用等积法求解．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了等积法的应用，是中档题．17.【答案】解：（1）由得，∴x＜0或x＞3，所以M={x|x＜0或x＞3}．（2）由x∈[0，1]，2x∈[1，2]，所以f（x）=（2x）2+2x，当2x=1即x=0时，f（x）min=2．【解析】（1）根据二次根式有意义和对数有意义求定义域．（2）再利用二次函数求最小值．本题考查不等式的解法和指数函数及二次函数最值求法．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得，（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）×10=1，解得a=0.025；（2）在抽取的100名学生中，比赛成绩“优秀”的有100×0.35=35（人），由此可得2×2列联表如下；优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100计算K2==≈9.890＜10.828，所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．【解析】（1）由频率和为1列方程求出a的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为AB1的中点，∵D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，法1、过B作BH⊥B1D于H，又AD⊥BH，AD∩B1D=D，∴BH⊥平面AB1D故在Rt△B1BD中，BB1=4，BD=2，∴点B到平面AB1D的距离为．法2、设点B到平面AB1D的距为离h，由等体积法可得：，即，即，∴．即点B到平面AB1D的距离为．【解析】（Ⅰ）连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，推导出DE∥A1C，由此能证明A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）推导出AD⊥平面BCC1B1，法1、过B作BH⊥B1D于H，推导出BH⊥平面AB1D，由此能求出点B到平面AB1D的距离．法2、设点B到平面AB1D的距为离h，由等体积法可得：，由此能求出点B到平面AB1D的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设所求的椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），由题意⇒，所以所求椭圆方程为：+=1．（2）设弦AB的中点为M（x0，y0），直线l：y=x+m，联立⇒x2+mx+m2-3=0，由△＞0得-2＜m＜2．又得，l的中垂线方程为：y-y0=-2（x-x0），当y=0时，得x=x0+=-，所以点P的横坐标的取值范围为（-，）【解析】（1）根据椭圆的几何性质列方程组可解得a2，b=，从而可得椭圆C的标准方程；（2）将直线l的方程代入椭圆的方程，利用△＞0得k的范围，利用AB的中点坐标和斜率可得中垂线方程，再令y=0可得P的横坐标，再求取值范围．本题考查了椭圆的性质，属中档题．21.【答案】解：（1）∵F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，∴F′（x）=，令F′（x）=0，则，（1分）所以函数F（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）单调递增，（2分）∴F（x）min=F（2）=-4+ln2，F（x）max=max{F（1），F（3）}=-4+ln3．（4分）（2）∵f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，∴对任意x∈R恒成立，∴k≤对任意x∈R恒成立．（6分）令h（x）=e x+-，则．由于h''（x）=e x+1＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又，＞0，，，所以存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，且当x∈（-∞，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0．即h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=+．（9分）又h′（x0）=0，即=0，∴．∴-1=．∵，∴h（x0）∈（-，-）．又∵k≤对任意x∈R恒成立，∴k≤h（x0），又k∈Z，∴k max=-1．（12分）【解析】（1）F（x）=ln x+g（x）=ln x+-，从而F′（x）=，利用导数性质能求出函数F（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值．（2）由f（x）+g（x）-k＞0对任意x∈R恒成立，得到k≤对任意x∈R恒成立．令h（x）=e x+-，则．利用导数性质推导出存在唯一的x0∈（），使得h′（x0）=0，h（x）在（-∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．从而h（x）min=h（x0）=+，由此能求出k的最大值．本题考查函数的最值的求法，考查实数的最大值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解（1）由消去参数t可得直线l的普通方程：3x+4y-5=0；由ρ=2sin（θ+）得ρ=2cosθ+2sinθ，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0．（2）直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），将其代入曲线C的方程并整理得：5t2+22t+15=0．设A，B对应的参数为t1，t2，则|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3．【解析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程化成标准形式并代入曲线C，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 2． “0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A ．0x ∀>，2sin x x < B ．0x ∀>，2sin x x ≤ C ．00x ∃≤，002sin x x ≤D ．00x ∃>，002sin x x ≤3．若,,a b c v v v 均为单位向量，且·0a b =v v ，则a b c +-v v v 的最小值为（ ）A 1B ．1C 1D4．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A ．1只B ．43只 C ．53只 D ．2只6．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1087．将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A ．70B ．40C ．30D ．208．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（ ） A ．36125B ．54125C ．81125D ．2712592()(1)x f x e x =-+，则()f x 的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．73D ．5211．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 12．若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)经过坐标原点，则直线l 的斜率是A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数()32xxf x x x e e -=-+-+，若()()220f af a +-≥，则实数a 的取值范围是____14．观察以下各等式：223sin 30cos 60sin 30cos604︒+︒+︒︒=， 223sin 20cos 50sin 20cos504︒+︒+︒︒=，223sin 15cos 45sin15cos 454︒+︒+︒︒=，分析上述各式的共同特点，则能反映一般规律的等式为__________．15．用五种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域涂色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色且颜色齐全，则共有涂色方法__________种．16．过坐标原点O 作曲线:C xy e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最值. 18．已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值；（2）若0,02m m x ><<，求222x x +-的最小值.19．（6分）男生4人和女生3人排成一排拍照留念. （1）有多少种不同的排法（结果用数值表示）？（2）要求两端都不排女生，有多少种不同的排法（结果用数值表示）？ （3）求甲乙两人相邻的概率.（结果用最简分数表示） 20．（6分）设()()2cos 21f x kx x k x =++-，x ∈R ．（1）证明：对任意实数k ，函数()f x 都不是奇函数； （2）当12k =时，求函数()f x 的单调递增区间． 21．（6分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.广告投入x /万元 1 2 3 4 5（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表： 表中的数据显示x 与y 之间存在线性相关关系，求y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）若广告投入6万元时，实际销售收益为7.3万元，求残差e$. 附：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$22．（8分）设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列． 【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n nC n n +=+ 选D 【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n =1,只有一种放法，排除AB ，令n =2有6中放法，选D 2．D 【解析】 【分析】通过命题的否定的形式进行判断． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是“0x ∃>， 2sin x x ≤”.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 3．A 【解析】 【分析】 【详解】0,a b a b ⋅=∴+==v v v v Q ∴()()22222232a b c a b c a b a b c a b c +-=+++⋅-+⋅=-+⋅v v v v v v v v v v v v v v则当c v 与a b +vv 同向时()a b c +⋅r r r 最大，a b c +-v v v 最小，此时()a b c +⋅r r r ，所以a b c +-≥v v v-1，所以a b c +-v v v 1，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出a b +v v ，表示出a b c +-v v v ，由表达式可判断当c v 与a b +vv 同向时，a b c +-v v v 最小.4．D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果. 5．C 【解析】 【分析】则答案可求． 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，则12348355a a a a a a ++++==， ∴3a =1，则431d 3a a =-=- ，∴13523a a d =-=．∴大夫所得鹿数为53只．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 6．B 【解析】 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有种情况， 甲不在五楼且不在二楼有种情况， 由分类加法计数原理知共有种不同的情况，故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目. 7．C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果 【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30=，选C.【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．B 【解析】由题意，恰有2天准时到站的概率为223325455125C ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选择B 。
重庆一中2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
重庆一中2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数Z=2+4i1+i(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是()A. (1,3)B. (−1,3)C. (3,−1)D. (2,4)2.用数学归纳法证明1+2+3+...+n2=n4+n22，则当n=k+1时，左端应在n=k基础上加上()A. k2+1B. (k+1)2C. (k+1)4+(k+1)22D. (k2+1)+(k2+2)+...+(k+1)23.10个三好学生名额，分给甲、乙、丙三个班，每班至少一名，共有()种方法．A. 24B. 48C. 36D. 724.从7名同学(其中4男3女)中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须有男生又有女生，则不同选法的种数为()A. 34B. 31C. 28D. 255.由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是()A. 10nB. 10n−1C. 10n+1D. 11n6.若X～N(5,15)，则()A. E(X)=1且D(X)=45B. E(X)=15且D(X)=1C. E(X)=1且D(X)=15D. E(X)=45且D(X)=17.(x2+3x−y)5的展开式中，x5y2的系数为()A. −90B. −30C. 30D. 908.已知点F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上异于F1、F2的另外一点，且△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A. √3+1B. √3−12C. √2+12D. √3+129. 设A ，B 为两个事件，已知P(A)=23，P(AB)=13，则P(B|A)=( )A. 12B. 13C. 29D. 2310. 有两种交通工具，甲乙两人各从中随意挑选一种，则甲乙两人所挑到的交通工具不同的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 无法确定11. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )A. 36种B. 42种C. 72种D. 46种12. 设函数f(x)=e x (3x −4)−ax +2a ，若存在唯一的整数t ，使得f(t)<0，则实数a 的取值范围是( )A. [2,e]B. [32e ,1]C. [2,e)D. [32e ,34]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数z =1−2i ，则复数1z 的模为__________．14. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=3，直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为______ ． 15. 在(3x 13+x 12)n 的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若ℎ+t =272，则其二项展开式中x 2项的系数为______． 16. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(Ⅰ)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(Ⅱ)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(Ⅲ)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小．(结论不要求证明)18.已知有3位女生，4位男生．(1)这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；(2)从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法．，E(ξ)=1，求D(ξ)的值．19.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=1520.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE⊥平面ABCD，SE=AD=2．(1)求证：PQ//平面SAD；(2)求直线SA与平面SEQ所成的角的余弦值．21.设A点是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且∠AF1F2=15°，∠AF2F1=75°，且|F1F2|=2√6．(1)求椭圆E的方程；(2)若点M(32,32)是椭圆E上一点，N是M关于原点O的对称点，过M的任意直线(但该直线不过原点O)与椭圆E交于另一点Q，求△MQN的面积的最大值．a(x−1)2−lnx，其中a∈R．22.已知函数f(x)=x−12(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点，求a的值；(Ⅱ)若∀x>0，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：复数Z=2+4i1+i =(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=(1+2i)(1−i)=3+i在复平面内对应点的坐标是(3,1)．故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了数学归纳法.分析出n=k和n=k+1时等式的左端，进而得出结论解：当n=k时，等式左端=1+2+⋯+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+⋯+k2+(k2+1)+(k2+2)+⋯+(k+1)2，增加的项为(k2+1)+(k2+2)+⋯+(k+1)2，故选D．3.答案：C解析：本题主要考查隔板法的运用，等价转化是解题的关键．10个名额排成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入2个板子把他们隔开，从9个里选2个即可答案．解：10个名额排成一排，每班至少要1名，就有9个空然后插入2个板子把他们隔开，从9个里选2个，就是C92=36，故选C．4.答案：A解析：解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35−1=34种；故选：A．根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加环保知识竞赛，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．本题考查组合数公式的运用，解本题采用了正难则反的原则进行解题．5.答案：B解析：给出的几项都是10的方幂，幂指数比项数少1.所以该数列的第n项可能是10n−1.6.答案：A解析：解：∵X～N(5,15)，∴E(X)=5×15=1，D(X)=5×15×(1−15)=45．故选：A．根据二项分布的性质计算．本题考查了二项分布的性质，属于基础题．7.答案：D解析：解：(x2+3x−y)5的展开式中通项公式：T r+1=∁5r(−y)5−r(x2+3x)r，令5−r=2，解得r=3．∴(x2+3x)3=x6+3(x2)2⋅3x+3(x2)×(3x)2+(3x)3，∴x5y2的系数=∁53×9=90．故选：D．(x2+3x−y)5的展开式中通项公式：T r+1=∁5r(−y)5−r(x2+3x)r，令5−r=2，解得r=3.展开(x2+3x)3，进而得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：设P在双曲线线的左支上，且|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=120°，可得|PF2|=√4c2+4c2−2⋅2c⋅2c⋅(−12)=2√3c，由双曲线的定义可得2a=2√3c−2c，即有e=ca =√3−1=1+√32．故选：D．设P在双曲线的左支上，|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=120°，运用余弦定理可得|PF2|，再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用余弦定理和双曲线的定义是解题的关键．9.答案：A解析：解：由条件概率的计算公式，可得P(B|A)=P(AB)P(A)=12．故选：A.由条件概率的计算公式P(B|A)=P(AB)P(A)=12，根据题意，代入数据计算可得答案．本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式．10.答案：A解析：本题主要考查概率的应用，属于基础题．解：有题意得，∴根据古典概率的特点，甲乙两人各从中随意挑选一种，则甲乙两人所挑到的交通工具不同的概率是12，故选A．11.答案：B解析：本题考查了排列组合的综合应用，分取得的两球同色和两球不同色两种情况讨论即可得出结果．解：当取得的两球同色时，有C31A22=6种情况；当取得的两球不同色时，先取不同色，有C32C21C21种情况;然后，以取得红黄为例，若红球放入黄袋，黄球就有红、蓝两袋选择；若红球放入蓝带袋，黄球就只能选择红袋，所以共有3种可能，所以当取得的两球不同色时，有C32C21C21×3=36种情况，故不同的放法共有6+36=42种，故选B．12.答案：C解析：本题考查导数和极值，考查了数形结合和转化的思想，设g(x)=e x(3x−4)，y=ax−2a，将条件转化为存在唯一的整数x0使得点(x0,g(x0))在直线y=ax−2a的下方，对g(x)求导，求出g(x)的最小值，进一步验证即可．解：设g(x)=e x(3x−4)，y=ax−2a，由题意知，存在唯一的整数x0使得点(x0,g(x0))在直线y= ax−2a的下方，∵g′(x)=e x(3x−4)+3e x=e x(3x−1)，∴当x<1时，g′(x)<0；3时，g′(x)>0．当x>13∴当x=1时，g(x)取最小值−3e13．3当x=0时，g(0)=−4；当x=1时，g(1)=−e<0；当x =2时，g(2)=2e 2>0．直线y =ax −2a 恒过定点(2,0)且斜率为a ，故−a >g(1)=−e 且g(0)=−4≥−2a ，解得2≤a <e ． 答案：C13.答案：√55解析：本题考查复数模的计算，属于基础题． 利用|1z |=1|z|求解即可． 解：∵复数z =1−2i ， ∴|1z |=1|z|=√12+(−2)2=√55， 故答案为√55．14.答案：√1910解析：解：取四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直棱柱， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 建立空间直角坐标系， ∵AB =BC =1，AA 1=3，∴A(1,0，0)，D 1(0,0，3)，D(0,0，0)，C 1(0,1，3)， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，3)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，3)， 设直线AD 1，DC 1所成角为θ， cosθ=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|9|√10⋅√10=910，∴sinθ=√1−(910)2=√1910． ∴直线AD 1，DC 1所成角的正弦值为√1910．故答案为：√1910．取四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1为直棱柱，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 1，DC 1所成角的正弦值．本题考查两直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15.答案：1解析：解：令二项式中的x为1得到各项系数之和t=4n又各项二项式系数之和ℎ=2n∵t+ℎ=272，∴4n+2n=272，解得n=4，所以(3x13+x12)n=(3x13+x12)4，它的展开式的通项为C4K34−K x4−k3+k2，二项展开式中x2项时k=4，二项展开式中x2项的系数为：1；故答案为：1．给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数的和t；利用二项式系数和公式求出h，代入已知的等式，解方程求出n的值，得到表达式，求出二项式中x2项的系数即可．本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n．16.答案：2解析：求出y2=4x的准线l：x=−1，由抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，从而得出A、B的坐标，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a，b，c的关系式得出出a，c的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．解：∵y2=4x的准线l：x=−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得b a =√3，∴b 2=3a 2，又 b 2=c 2−a 2∴3a 2=c 2−a 2，即4a 2=c 2，∴e =c a =2．则双曲线的离心率e 为2．故答案为：2．17.答案：解：(Ⅰ)设“该校男生支持方案一”为事件A ，“该校女生支持方案一”为事件B ， 则P(A)=200200+400=13,P(B)=300300+100=34；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(A)=13,P(B)=34，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C ，则P(C)=C 22(13)2(1−34)+C 21⋅13⋅(1−13)⋅34=1336； (Ⅲ)p 0>p 1．解析：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率求法，考查计算能力及推理能力，属于基础题．(Ⅰ)根据古典概型的概率公式直接求解即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可；(Ⅲ)直接写出结论即可．18.答案：解：(1)根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有A 44种排法，排好后有5个空位；②，在5个空位中任选3个，安排3位女生，有A 53种情况，则有A 44·A 53=1440种排法；(2)根据题意，用间接法分析：在7人中任选3人，有C 73种选法，其中没有女生即全部为男生的选法有C 43种，则至少有1位女生入选的选法有C 73−C 43=31种．解析：本题考查排列、组合的应用，注意常见问题的处理方法，属于基础题．(1)根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生全排列，分析排好后的空位，②，在5个空位中任选3个，安排3位女生，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，用间接法分析：先计算在7人中任选3人的选法，再计算其中没有女生即全部为男生的选法，分析可得答案．19.答案：解：设P(ξ=1)=a ，P(ξ=2)=b ， 则{15+a +b =1,a +2b =1,解得{a =35,b =15, 所以D(ξ)=15+35×0+15×1=25．解析：本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式列方程组求出P(ξ=1)，P(ξ=2)，结合方差的计算公式即可求解．20.答案：(1)证明：取SD 中点F ，连结AF ，PF ．∵P 、F 分别是棱SC 、SD 的中点，∴FP//CD ，且FP =12CD ，∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，∴AQ//CD ，且AQ =12CD ，即FP//AQ 且FP =AQ ，∴AQPF 为平行四边形，则PQ//AF ，∵PQ ⊄平面SAD ，AF ⊂平面SAD ，∴PQ//平面SAD ．(2)解：设AC 与EQ 交于点O ，连接OS ，∵SE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥SE，在菱形ABCD中，AC⊥BD，又EQ//BD，∴AC⊥EQ，∵SE∩EQ=E，∴AC⊥平面SEQ，∴∠OSA是直线SA与平面SEQ所成的角，又∵∠BAD=60°，SE=AD=2，∴SA=√5，OA=√32,OS=√172，．解析：本题主要考查线面、面面垂直与平行的性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是中档题．(1)取SD中点SD，连结AF，PF，证明四边形AQPF为平行四边形，即可得证PQ//平面SAD；(2)设AC与EQ交于点O，连接OS，易得AC⊥面SEQ，所以∠OSA是直线SA与平面SEQ所成的角，由此能求出直线SA与平面SEQ所成的角的余弦值．21.答案：解：(1)由题c=√6，Rt△F1AF2中，则|AF2|=2√6sin15°=3−√3，|AF1|=2√6sin75°=3+√3，∴|AF1|+|AF2|=2a=6，则a=3，b2=a2−c2=3，∴椭圆方程为：x29+y23=1；(2)设椭圆上动点Q(3cosθ,√3sinθ)到直线MN：y=x的距离为d=√3sinθ|√2=√6sin(θ−π3)，∴d max=√6，∴△MQN的面积的最大值S△MQN=12×|MN|×d=3√3，∴△MQN的面积的最大值3√3．解析：(1)根据几何关系求得|AF1|+|AF2|=2a=6，即可求得a，c=√6，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；(2)方法一：设切线方程，代入椭圆方程，利用△=0，即可求得m的值，即可求得d max=√6，即可求得△MQN的面积的最大值；方法二：设Q点坐标，根据点到直线的距离公式及辅助角公式，根据正弦函数的性质，即可求得d max=√6，即可求得△MQN的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及定义，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．22.答案：解：(1)f/(x)=1−a(x−1)−1x，因为x=2是f(x)的极值点，所以f′(2)=0，即1−a(2−1)−12=0解得a=12；(2)依题意x−12a(x−1)2−lnx≥1，即a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，x>0，①当x=1时，a(x−1)2≤2(x−1−lnx)恒成立，a∈R；②当x>0且x≠1时，由a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，得a≤2(x−1−lnx)(x−1)2，设g(x)=x−1−lnx，x>0，g′(x)=1−1x，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时g′(x)>0，所以∀x>0，g(x)≥g(1)=0，所以，当x>0且x≠1时，2(x−1−lnx)(x−1)2>0，从而a≤0，综上所述，a的取值范围为(−∞,0]．解析：(1)求导数f′(x)，由题意可得f′(2)=0，解出可得a值；(2)f(x)≥1，即a(x−1)2≤2(x−1−lnx)，x>0，按x=1，x>0且x≠1两种情况进行讨论：①当x=1时，由恒成立易求此时a的范围；②当x>0且x≠1时，分离出参数a，构造函数利用导数求函数的最值即可；本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，函数恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．。
2019-2020学年重庆市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年重庆市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜05．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.857．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．408．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．409．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣211．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝．x3456y 2.5m4 4.515．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有种．16．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828 21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3}C．{2，3}D．{5，7}【分析】求出集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{2，3，5，7}，B＝{x|＜1}＝{x|x＜2或x＞3}，∴A∩B＝{5，7}．故选：D．2．复数的共轭复数是（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．解：＝＝＝3+i，则复数的共轭复数为3﹣i，故选：B．3．在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）A．随机抽样B．散点图C．回归分析D．独立性检验【分析】根据题意，分别判断题目中是统计方法是否在研究学生体重与身高间的相关关系的过程中使用到即可．解：利用随机抽样得出样本数据，利用散点图判断学生体重与身高间的相关关系强弱，利用回归分析判断建立的模型效果是否合适；独立性检验是研究两个变量之间是否有关系的判断问题，所以不会用到独立性检验．故选：D．4．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是（）A．∃x∈R，x2+2＞0B．∃x∈R，x2+2≤0C．∀x∈R，x2+2≤0D．∀x∈R，x2+2＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2≤0．故选：B．5．已知函数f（x）＝a sin x+b的导函数为f'（x），若，则a＝（）A．4B．2C．1D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝a cos x，从而得出，然后求出a的值即可．解：f′（x）＝a cos x，∴，∴a＝2．故选：B．6．设随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（X＜0）＝0.15，则P（0≤X ≤2）＝（）A．0.35B．0.6C．0.7D．0.85【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．解：由随机变量X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），可知正态分布曲线的对称轴方程为x＝1，又P（X＜0）＝0.15，∴P（X＞2）＝0.15，则P（0≤X≤2）＝1﹣[P（X＜0）+P（X＞2）]＝1﹣0.3＝0.7．故选：C．7．从3位男生、4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）A．24B．30C．36D．40【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，②选出的3人为2男1女，分别求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求选出的3人男女生都要有，分2种情况讨论：①选出的3人为1男2女，有C31C42＝18种选法，②选出的3人为2男1女，有C32C41＝12种选法，则有18+12＝30种不同的选法；故选：B．8．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中，x3的系数是（）A．200B．120C．80D．40【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x3项的系数．解：由于（2x﹣1）（x+2）5＝（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x3项的系数为2×80﹣40＝120，故选：B．9．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）A．B．C．D．【分析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，由此能求出至少一人通过测试的概率．解：所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为p＝，故至少一人通过测试的概率为p＝．故选：D．10．已知曲线f（x）＝（x+alnx）e x在点（1，e）处的切线经过坐标原点，则a＝（）A．﹣e B．﹣2C．﹣1D．e﹣2【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，再由题意结合两点求斜率列式求得a值．解：由f（x）＝（x+alnx）e x，得，∴f'（1）＝（a+2）e，由题知，解得：a＝﹣1．故选：C．11．已知函数f（x）＝ax3+bx+c（bc＜0），则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先对函数f（x）求导得f'（x）＝3ax2+b，根据f'（x）＝0的根的情况可判断函数的极值点情况；再根据函数的单调性分析a、b、c的符号，从而得解．解：f'（x）＝3ax2+b，若f（x）存在极值点，则极值点必有两个，且互为相反数，故选项A、C都是错误的；对于选项B、D，由图象可知函数均是先单调递增，再单调递减，再单调递增，所以a ＞0，b＜0，因为bc＜0，所以c＞0，即函数图象与y轴的交点应在正半轴上，即选项B是错误的．故选：D．12．已知f′（x）是定义在R上的偶函数f（x）的导函数，当x＜0时，xf′（x）＜2f（x），且f（1）＝0，若a＝log0.53，b＝0.50.3，c＝log0.50.2，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【分析】令，根据函数的奇偶性和单调性求出g（b）＞0＞g（a）＞g（c），从而判断结论．解：当x＜0时，，即，令，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（x）为偶函数，∴g（x）也是偶函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝f（1）＝0，故当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，g（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，g （x）＜0，a＝log0.53＝﹣log23∈（﹣2，﹣1），，c＝log0.50.2＝log25∈（2，3），故g（b）＞0＞g（a）＞g（c），即，故f（b）＞0，f（a）＜0，f（c）＜0，又，∴，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝i（﹣i﹣1）＝1﹣i，∴复数z＝i（﹣i﹣1）的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．14．已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程＝0.7x+0.35，则m＝3．x3456y 2.5m4 4.5【分析】利用回归直线经过样本中心，然后求解m即可．解：由题意可知＝，＝，因为回归直线经过样本中心，所以，解得m＝3．故答案为：3．15．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间（必须有成人陪同），且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有18种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析易得三个大人必各住一个房间，由排列数公式可得其安排方法数目，②分情况讨论两个小孩的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．解：由题分析知，三个大人必各住一个房间，有A33种安排方法，两个小孩有2种情况：可以同住三人间或三人间、两人间各一人，有1+A22种安排方法所以不同的安排方法有种；故答案为：1816．每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次（n≥2，n∈N*），各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若EX＞5，则n的最小值为6．【分析】求出硬币面朝上的概率，得到独立重复实验的概型，求出期望，列出不等式求解即可．解：抛一次硬币，至少有1枚硬币正面朝上的概率为，由题知，则，即，所以正整数n的最小值为6．故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数．（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值．【分析】（1）直接根据二项式系数的特点即可求n；（2）直接根据二项式系数的特点即可求出对应项的项数，进而求出对应项的系数，即可求解结论．解：（1）由题知，二项式系数和，故n＝8；（2）二项式系数分别为，根据其单调性知其中最大，即为展开式中第5项，∴，即．18．（1）已知z∈C，解关于z的方程（z﹣3i）•＝1+3i；（2）已知3+2i是关于x的方程2x2+ax+b＝0在复数集内的一个根，求实数a，b的值．【分析】（1）利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．（2）根据实系数虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．解：（1）设z＝a+bi，则（a+bi﹣3i）（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，∴，得，∴z＝﹣1或﹣1+3i；（2）在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为3﹣2i，故，即a＝﹣12，b＝26．19．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．（2）判断函数的单调性，求出极值以及端点值，然后求解最值．【解答】解；（1）函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1，所以f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，f'（0）＝﹣1，又f（0）＝1，所以切线方程为y﹣1＝﹣1•（x﹣0），即x+y＝1；（2）由（1）知f'（x）＞0⇒x＞1或，∴f（x）在[0，1]上单减，在[1，2]上单增，又f（0）＝1，f（1）＝0，f（2）＝3，∴f（x）在[0，2]上的最大值为3，最小值为0．20．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长．我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验．相关试验数据统计如表：没有感染新冠病毒感染新冠病毒总计没有注射重组新冠疫10x A苗注射重组新冠疫苗20y B总计303060已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为．（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.0100.0050.001 k 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意列方程求出y、x和A、B的值；计算K2，对照附表得出结论；（2）由题意计算所求的概率值即可．解：（1）由题知，解得y＝5，所以x＝30﹣5＝25，A＝10+25＝35，B＝20+5＝25；所以，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，所以．21．某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目．比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球．对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜．已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立．（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；（2）在某局3：3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）由赢球者发下一个球，不会出现一方连续两次得2分的情况，从而三次发球能结束比赛必是两人分差达3分，由此能求出三次发球后比赛结束的概率．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况，得到X的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为0.6×0.6×0.6＝0.216；②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2：2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；故三次发球后比赛结束的概率为0.216．（2）分析接下来的比赛过程中甲、乙的得分情况：故X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.4×0.5＝0.2，P（X＝3）＝0.6×（0.6×0.6+0.4×1）+0.4×0.5×1＝0.656，P（X＝4）＝0.6×0.6×0.4×1＝0.144，X的分布列为X234P0.20.6560.144 EX＝2×0.2+3×0.656+4×0.144＝2.944．22．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣2x，a∈R．（1）若函数f（x）在（0，+∞）内单调，求a的取值范围；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求+的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2﹣2x恒成立，求出a的范围即可；（2）求出+的解析式，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x ＜），根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出问题的答案．解：（1）f′（x）＝2x﹣﹣2＝（x＞0），由题意得f′（x）≥0恒成立，即a≤2x2﹣2x恒成立，而2x2﹣2x＝2﹣≥﹣，∴a≤﹣；（2）由题意知2x2﹣2x﹣a＝0在（0，+∞）内有2个不等实根x1，x2，则﹣＜a＜0，且x1+x2＝1，x1x2＝﹣，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜，∴+＝（x1﹣a﹣2）+（x2﹣a﹣2）＝﹣3﹣a（+）＝﹣3+2x1x2（+）＝2x2lnx1+2x1lnx2﹣3＝2（1﹣x1）lnx1+2x1ln（1﹣x1）﹣3，令g（x）＝（1﹣x）lnx+xln（1﹣x），（0＜x＜），则g′（x）＝﹣lnx++ln（1﹣x）﹣＝ln（﹣1）+，显然﹣1＞1，1﹣2x＞0，故g′（x）＞0，g（x）递增，而g（）＝ln＝﹣ln2，x→0时，g（x）→﹣∞，故g（x）∈（﹣∞，﹣ln2），∴+∈（﹣∞，﹣3﹣2ln2）．。
重庆市一中2020年春高二数学下学期期末考试题卷附答案解析
A. 当 x 0 时， f x x2 3x 2
B. 函数 f x 有 4 个零点
C. f x 1 0 的解集为 1,0 1, 2 3,
D.
f
x 的单调减区间是
3 2
,
3 2
12. 已知偶函数 f x 满足 f 4 x f 4 x ，且当 x 0, 4 时， f x ln 2x ，关于 x 的不等式
①当 t 1 2 ，即 1 m 0 时，
2m
4
ymin y 1 m 1；
5
②当 t 1 2 ，即 m 1 时，
2m
4
ymin y 3 9m 3 ，
综上：
ymin
m
1,
1 4
9m 3, m
m 1
4
0
.
19. 证明：（1）∵面 ABCD 面 ABE ， BC AB ，面 ABCD 面 ABE AB ， BC 面 ABCD ， ∴ BC 面 ABE ，∴ BC AE . 又∵ AE BE ， BC BE B ， BC 面 BCE ， BE 面 BCE ， ∴ AE 面 BCE . ∴ AE BF ，又∵ BE BC ， F 为 EC 中点， ∴ BF CE ， AE CE E ，∴ BF 面 ACE . 又∵ BF 面 BDF ，∴面 BDF 面 ACE .
设 l ： y kx bb 0 ， A x1, y1 ， B x2, y2 ，
7
由：
y kx b
x
2
2y
，得
x2
2kx
2b
0
，∴
x1
x2
2k
，
x1 x2
2b ，
∵ OA OB ，∴ OAOB 0 ，
重庆一中2019-2020学年高三下学期第二次学月考试理科数学试题卷(答案)
10. 解析： 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以外接的半圆半径是 r = 1 12 = 3 ，设外接球的半径是
2
R
，球心 O
到该底面的距离 d
，则
S△ABC
=
16 2
=
3，
BD
=
3
，由题设 V
=
1 3
S△ABC
h
=
1 6
6h
=
3 ，最
大体积对应的高为 SD = h = 3 ，故 R2 = d 2 + 3 ，即 R2 = (3 − R)2 + 3 ，解之得 R = 2 ，所以外接球的体积
1 2
x
+
π 6
=
a ，故④正确. 2
故选 B．
9. 解析：设 A 中构成等差数列的元素为 a,b,c ，则有 2b = a + c ，由此可得 a,c 应该同奇同偶，而当 a,c
同奇同偶时，则必存在中间项 b , 所以问题转变为只需在1 − 40 中寻找同奇同偶数的情况。 a,c 同为奇
数的可能的情况为 C220 ，同为偶数的可能的情况为 C220 ，所以一共有 2 C220 = 380 种，故选 C.
重庆一中 2019-2020 学年高三下期第二次学月考试
理科数学答案与解析
一、选择题： CCAD；CDBB；CDBA
4．解析：原问题等价于等差数列中，已知 a1 = 4 ， a5 = 2 ，求 a2 + a3 + a4 的值．由等差数列的性质可知：
a2
+ a4
=
a1
+ a5
=
6 ， a3
=
a1
+ a5 2
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析
重庆市渝北区2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．115【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．设P 是双曲线2221(0)9x y a a -=>上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1或9 B ．6C ．9D ．以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为320x y -=求出a ，由双曲线的定义求出2PF ，判断点P 在左支上，即求2PF . 【详解】双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±， 又双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 33,2,2a c a ∴=∴=∴==由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，又15PF =， 2254,1PF PF ∴-=∴=或29PF =.152PF a c =<+=+∴Q 点P 在左支上，122,9PF PF PF ∴<∴=.故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.3．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底OCB 垂直，其直观图如图， 可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA ∴=，∴棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C. 考点：等差数列的性质.5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A 7B 7C 7 D 7【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-= 7．,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则()cos α-的值为（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35-【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，再利用诱导公式可得出()cos α-的值. 【详解】,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴>，且4cos 5α===， 由诱导公式得()4cos cos 5αα-==，故选B. 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知命题p ：124x -≥，命题q ：x a >，且q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞C ．[1,)-+∞D ．(,1]-∞-【答案】A首先对两个命题进行化简，解出其解集，由q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，可以得到关于a 的不等式，解不等式即可求出a 的取值范围 【详解】由命题p ：124x -≥解得3x >或1x <-，则13p x ⌝-≤≤：，命题q ：x a >，q x a ：⌝≤， 由q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以3a ≥ 故选A 【点睛】结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。
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2020年重庆一中高2021级高二下期周考
数学试题卷2020.4.12
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.从集合 {1,2,3,4,5} 中随机取出一个数，设事件 A 为“取出的数为偶数”，事件 B 为“取出的数为奇数”，则事件 A 与 B （ ）
A. 是互斥且对立事件
B. 是互斥且不对立事件
C. 不是互斥事件
D. 不是对立事件
2.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
3.在区间[]1,3-上随机取一个数 x ，若 x 满足 |x|< m 的概率为 0.75 ，则 m=（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ， n 为点 P( m,n ) 的坐标，那么点 P 在圆2217x y +=内部的概率是（ ） A.13 B.25 C.29 D.49
5.设随机变量ξ的分布列为()1,2,3,4,55k P ak k ξ⎛
⎫=
== ⎪⎝⎭，则11102P ξ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于（ ） A.35 B.45 C.25 D.15
6.今有 A ，B ，C 三位同学将进行体能过关测试，能否过关互不影响，已知三人能过关的概率分别为23,,35P ，随机变量ξ表示能过关的人数，若三人全部过关的概率为310
，则()2P ξ=等于（ ） A.1360 B.920 C.130 D.1960
7.某节假日，一校办公室要安排从一号至六号由指定的六个人参加的值班表?要求每人值班一天，但甲与乙不能相邻且丙与丁也不能相邻，则不同的安排方法有（ ）种．
A. 336
B. 408
C. 240
D. 264
8.设随机变量()
21,X N σ:，其正态分布密度曲线如图所示，且()20.027P X >=，那么向正方形 OABC 中随机投掷 1000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
A. 473
B. 527
C. 554
D. 628
9.记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 129
D. 2188
10.市场调查发现，大约45
的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。
经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为
1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910
，现工商局12315 电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是（ ） A.67 B.56 C.45 D.25
11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A. 24 对
B. 30 对
C. 48 对
D. 60 对
12.某人在微信群中发了一个 8 元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（ ） A.13 B.821 C.37 D.518
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.某变量x ，y ，z 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则 z=3 x -y 的最大值为 .
14.在32n
x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ． 15.随机变量 X 的分布列如表所示，若()13
E X =，则()32D X -=
16. 某情报站有A,B,C,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第 1 周使用 A 密码，那么第 7 周也使用 A 密码的概率为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.（10 分）已知向量()(),,2,1m x y n ==u r r ．
（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）
先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足0m n ⋅=u r r 的概率；
（2）若x ∈[1,6],y ∈[1,6]，求满足0m n ⋅<u r r 的概率．
18.（12 分）为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩 X 近似服从正态分布N(100,100) ，（满分为 150 分，不低于 120 分为成绩优秀）．
（1）若参加考试的人数为 30000，求()120P X ≥及成绩优秀的学生人数；
（2）从全体考生中随机抽取 3 人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望． 附：若()2
,X N μσ:，则()()2
19;22.320P X P X μσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈ 19.（12 分）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是45，乙能答对其中的 8 道题．规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出4 道题进行测试，只有选中的 4个题目均答对才能入选；
（1）求甲恰有 2 个题目答对的概率；
（2）求乙答对的题目数 X 的分布列；
（3）试比较甲，乙两人平均答对的题目数的多少，并说明理由．
20.（12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD//BC,AB ⊥BC,BD ⊥DC ，点 E 是 BC 边的中
点，将△ABD 沿 BD 折起，使平面ABD ⊥平面 BCD ，连接 AE ，AC ，DE ，得到如图 2 所示的几何体．
（1）求证：AB ⊥平面 ADC ；
（2）若AD=1，AB=2，求二面角 B- AD- E 的大小．
21.（12 分）椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，且与椭圆2
2
12y x +=有相同离心率，直线 l ： y=kx+m 与椭圆 C 交于不同的 A ，B 两点． （1）求椭圆 C 的方程；
（2）若在椭圆 C 上存在点 Q ，满足OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，求实数λ取值范围．
22.（12 分）已知函数()()21x
f x e a x b =---，其中 e 为自然对数的底数． （1）若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；
（2）已知函数()()2
11x g x e a x bx =----，且 g(1)=0，若函数g(x)在区间[0,1]上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围．。