等比数列及其性质
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结----f69de6b6-7162-11ec-885c-7cb59b590d7d1.等比数列的定义：2.通项公式：an=a1q阿南-1=q(q≠0)(n≥2,且n∈n)，q称为公共比率q=a⋅b（A1）⋅Q≠ 0，a⋅ B≠ 0），第一项：A1；共同比率：Q推广：an=amqn-m，从而得qn-m=3.中期等比anamN（1）如果a、a和B是等比序列，则a称为a和B之间等差的中值，即A2=ab或a=注：只有两个具有相同符号的数字具有等比中间项，并且它们的两个等比中间项（两个等比中间项彼此相反）（2）序列{an}是等比序列⇔ an2=an-1⋅安+14.等比数列的前n项和sn公式：(1)当q=1时，sn=na1a1（1-q1-q）=(2)当q≠1时，sn=a1-anq1-qq=a-a⋅b=a'b-a'（a,b,a',b'为常数）5.等比序列的确定方法（1）用定义：对任意的n,都有an+1=qan或安+1安=q(q为常数，an≠0)⇔{an}为等比数列（2）等比平均项：an=an+1an-1（an+1an-1≠ 0) ⇔ {an}是等比序列（3）通项公式：an=a⋅b（a）⋅B≠0)⇔{an}为等比数列（4）前n项和公式：SN=A-A⋅ B或Sn=a'B-a'（a，B，a'，B'是常数）⇔ {an}是一个等比序列6.等比数列的证明方法依据定义：若阿南-1=q(q≠0)(n≥2,且n∈n=QaN⇔ {an}是一个等比序列（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及sn，其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为了减少计算量，注意设置项目的技巧，一般可以设置为一般项目；an=a1q如奇数个数成等差，可设为…，，a.AQ，AQ。
（常用比率为Q，中间项用a表示）8.等比数列的性质(1)当q≠1时① 等比序列an=a1qn-1的通项公式=a1(1-q1-qq=a⋅B≠0)是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q② 第一个N和Sn=a1-a1q1-q-Q=A-A⋅ B=a'B-a'，系数项和常数项是相反的数的类指数函数，底数为公比q（2）对于任何m，n∈ n*，在等距序列{an}中有an=amqn-m。
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都是前一个数乘以一个固定的非零常数。
而这个常数被称为公比，通常用字母 q 表示。
等比数列的性质在了解等比数列的计算方法之前，我们先来看一下等比数列的一些性质。
性质一：通项公式对于一个等比数列 a₁, a₂, a₃, ...，假设第一项是 a₁，公比是 q。
那么该数列的第 n 项可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，^ 表示乘方运算，n 表示项数。
性质二：公比的绝对值对于一个等比数列，如果公比 q 的绝对值小于 1（|q| < 1），那么数列中的项会逐渐减小。
如果公比 q 的绝对值大于 1（|q| > 1），那么数列中的项会逐渐增大。
只有当公比 q 的绝对值等于 1（|q| = 1）时，等比数列中的项保持不变。
性质三：前 n 项和公式对于一个等比数列，它的前 n 项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)其中，Sₙ 表示前 n 项和。
等比数列的计算了解了等比数列的性质，我们现在来介绍一下如何进行等比数列的计算。
计算一：求第 n 项已知等比数列的第一项 a₁和公比 q，我们可以通过通项公式计算出第 n 项 aₙ。
只需要将已知的值代入公式中即可。
计算二：求前 n 项和已知等比数列的第一项 a₁和公比 q，我们可以通过前 n 项和的公式计算出前 n 项的和 Sₙ。
同样，只需要将已知的值代入公式中即可。
计算三：求首项和公比已知等比数列的前 n 项和 Sₙ 和项数 n，我们可以通过前 n 项和公式解出首项 a₁和公比 q。
只需要将已知的值代入公式，并通过一系列的代数运算求解。
应用举例现在我们通过几个例子来展示等比数列的计算应用。
例子一：如果一个等比数列的首项是 2，公比是 3，我们想要求出这个等比数列的第 5 项。
根据通项公式，我们可以得到：a₅ = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 162所以，这个等比数列的第 5 项是 162。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结
等比数列是数学中一种非常常见的数列，它的定义如下：若存在某一数a，且对于任意整数n，都有an+1=r×an（r为常数），则称{an}为等比数列，记作{an}=a1,a2,a3,a4...，其中a1为等比数列的首项。
等比数列性质公式总结如下：
（1）等比数列的每一项和第一项的比值都是一定的，即a2，a3，a4...的比值都是r；
（2）等比数列的等比中项数分别是：a2：a1=a3：a2=a4：a3=，依此类推；
（3）等比数列的和是关于首项和公比的函数：若S（n）为等比数列的和，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，则有：S（n）=a（1-r^n）/ 1-r；
（4）等比数列的积是关于首项和公比的函数：若P（n）为等比数列的积，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，则有：P（n）=ar^(n-1);
（5）若等比数列满足绝对值大小关系：|a1|>|a2|>|a3|>|a4|...，则等比数列的公比r必然是介于-1与1之间的；
（6）若等比数列的公比r>1，则此数列是一个增长的数列，即
随着n的逐渐增大，an会逐渐增大；若等比数列的公比r<1，则此数列是一个递减的数列，即随着n的逐渐增大，an会逐渐减小；若等
比数列的公比r=1，则此数列是一个平方数列，公比不变，即an=k，其中k为等比数列的均数。
以上就是等比数列的基本特性以及等比数列的性质公式总结，以便更好地理解等比数列的特性和规律。
等比数列的概念也出现在数学分析、几何学及其他多个理论中，在实际的学习和应用中也会用到等比数列，这就需要大家要掌握这些公式来进行解题。
等比数列的通项公式及性质
一、等比数列的通项公式
设等比数列{an
}的公比为q，则：
a2 q
a1
a3 q a2 a4 q
a…3 …
累乘法
an q an 1
累乘得： an qn1
a1
a 等比数列的通项公式： na1q 源自 1 法二： a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
特别地，若m+n=2p,则aman ap2. m, n，p,q N
1、在等比数列中，
(1)若a2= 2，a10=20,则a5a7=
a6=
(2)若a3a5a8a10=16 ，则 a4a9=_____
(3)若a3a4a5a6a7=-32，则 a5=______
（5)若a3=-2，则等比数列的前5项的积为______
作业：P15---练习，P19---A组1,2,3,4,5
能力提升
例4：在数列an中，a1=1，an 3an1,
求数列的通项公式an。
二、性质
性质1：an amqnm
m, n N
可变形为：an am
q
nm
分例析2：：1已数知列任{意an一}为项等am及比公数比列q即：可求出通项公式。
从第2项起,每一项与它前 概
一项的比等同一个常数 念
等差数列
从第2项起,每一项与它前
一项的差等同一个常数
公比(q)
常
数
q可正可负,但不可为零 性
质
an a1 qn1
通 项
通
an am qnm (m, n N*)
项 变
形
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
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§6.3 等比数列
一．课程目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与指数函数的关系.
二．知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示.
数学语言表达式：a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n
＝q (n ∈N *，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；
通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.
(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .
(2)数列}{},{),}({n n n n b a a c a c ⋅≠⋅0（}{n b 是等比数列），}{2n a ，}{n
a 1等也是等比数列。
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .
(5)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列；
当q ＝1时，数列{a n }是常数列.
(6)当n 是偶数时，q S S ⋅=奇偶;
当n 为奇数时，q S a S ⋅+=偶奇1
三．考点梳理
1.等比数列的概念及运算
例1.在单调递减的等比数列}{n a 中，若13=a ，25
42=+a a ，则1a ＝( )
A.2
B.4
C. 2
D.22
例2.公比不为1的等比数列}{n a 满足187465=+a a a a ，若91=m a a ，则m 的值为(
) A.8 B.9 C.10 D.11
例3.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.
2.等比数列的性质
例1.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.
例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝( ) A.2 B.73 C.83 D.3
例3.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A.21
B.42
C.63
D.84
例4.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )
A.150
B.－200
C.150或－200
D.400或－50
例5.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )
A.12
B.13
C.14
D.15
例6.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )
A.(3n －1)2
B.12
(9n －1) C.9n －1 D.14
(3n －1)
例7.在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________.
例8.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则)(log 97531a a a ++的
值是( )
A ．－5
B ．－15
C ．5
D ．15
例9.在各项均为正数的等比数列{a n }中，121253+=-=a a ,，则7362232a a a a a ++=
（）
A.8 B ．6 C ．4 D ．248-
例10.若等比数列}{n a 的前n 项均为正数，且512911102e a a a a =+，则=+⋅⋅⋅++2021a a a ln ln ln _________.
例11.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,若301163<<<<-a a ,,则9S 的取值范围是________.
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