2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第3讲 函数的单调性与最值

第3讲 函数的单调性与最值1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调性、单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[1．(2014·高考北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x | 答案：B2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2，4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________． 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1，4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1，4] 81．辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如函数f (x )＝1x在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减．2．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 3．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．[做一做]3．函数y ＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(－1，＋∞)上单调递减 C ．在(1，＋∞)上单调递增 D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案：C4．已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________．答案：{x |－3<x <0}5．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2，3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110,[学生用书P 19～P 20])考点一__函数单调性的判断与证明____________讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1，1)上的单调性.扫一扫 进入91导学网( )证明函数的单调性[解] 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1） ＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1） ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1，1)上为减函数． [规律方法] 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．.1.已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ， 又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ， 又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．考点二__求函数的单调区间____________________(1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) (2)(2015·山西太原模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.[]a ，1C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.[]a ，a ＋1(3)(2015·广东中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)．令y ′＝x －1x ＝x 2－1x≤0，即x 2≤1，即－1≤x ≤1.故当x ∈(0，1]时，函数单调递减．故选B.(2)由题意得0≤log a x ≤12，∵0<a <1， ∴a ≤x ≤1. (3)由题意知当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4； 当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数． [答案] (1)B (2)B (3)(－∞，－1]，[0，1]若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？解：由题意得log a x ≤0或log a x ≥12，∵a >1，∴0<x ≤1或x ≥a ，∴函数g (x )的单调递减区间为(0，1]或[a ，＋∞)． [规律方法] 1.求单调区间的常用方法： (1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤： (1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数；若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．2.写出下列函数的单调区间：(1)y ＝log 3(x 2－4x ＋3)；(2)y ＝|－x 2＋2x ＋3|.解：(1)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 3u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0，则x <1或x >3.∴函数y ＝log 3(x 2－4x ＋3)的定义域为 (－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 而函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝log 3(x 2－4x ＋3)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．(2)由－x 2＋2x ＋3≥0，得－1≤x ≤3，此时函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；由－x 2＋2x ＋3<0，得x <－1或x >3，此时函数y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4（－1≤x ≤3），（x －1）2－4（x <－1或x >3）. 画出函数的图象如图所示，单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，3]．考点三__函数单调性的应用(高频考点)__________函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现，高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)求参数的取值范围或值．(1)(2015·贵州贵阳质检)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为________．(3)(2015·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(4)已知函数f (x )＝x 2＋ax(a >0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．(2)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.(3)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝（x ＋2）2－4，x ≥04x －x 2＝－（x －2）2＋4，x <0，由函数f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.即实数a 的取值范围是(－2，1)． (4)任取2<x 1<x 2，由已知条件，得f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a ×x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)×x 1x 2－a x 1x 2<0恒成立，即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立． 又x 1x 2>4，则0<a ≤4.即实数a 的取值范围是(0，4]．[答案] (1)A (2)2 (3)(－2，1) (4)(0，4] [规律方法] 应用函数单调性解题常用策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．3.(1)已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )________f (n )；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________． 解析：(1)由题意知f (m )>f (n )； ⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1<x <1且x ≠0.即实数x 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f （2）＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.答案：(1)> (－1，0)∪(0，1) (2)25,[学生用书P 20])方法思想——数形结合思想求函数最值已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋|f 1（x ）－f 2（x ）|2，若a ，b ∈[－1，5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 1（x ）－f 2（x ）2＝f 1(x )；当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 2（x ）－f 1（x ）2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ），f 1（x ）≥f 2（x ）f 2（x ），f 1（x ）<f 2（x ）.即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0，5]，则b －a 的最大值为5.[答案] D[名师点评] 本题利用了数形结合的思想，解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g (x )的表达式，然后再作出g (x )的图象，利用图象求出b －a 的最大值．1.(2015·四川泸州高中模拟)已知函数f (x )＝|x 2－a |在[－1，1]上的最大值为M (a )，则M (a )的最小值为( )A.14 B ．1 C.12D ．2 解析：选C.如图(1)所示，显然当a ≤0时， M (a )＝f (±1)＝|1－a |＝1－a . 如图(2)所示，当a >0时，f (±1)＝|1－a |，f (0)＝|－a |＝a .由|1－a |>a ，得1－2a ＋a 2>a 2，解得a <12.所以当0<a <12时，M (a )＝f (±1)＝|1－a |＝1－a ；当a ≥12时，M (a )＝f (0)＝|－a |＝a .综上，得M (a )＝⎩⎨⎧1－a ，a <12，a ， a ≥12.当a <12时，M (a )＝1－a >1－12＝12，当a ≥12时，M (a )＝a ≥12，所以M (a )≥12.故选C.图(1) 图(2)2．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.故填6.答案：61．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x解析：选D.f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 不满足题意．f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，B 不满足题意．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫12x ·⎝⎛⎭⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 不是增函数，C 不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，D 满足题意．2．(2015·安徽合肥检测)函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B.(数形结合法)y ＝|x |(1－x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0 ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0. 画出函数的图象，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．故选B.3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1解析：选B.∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.4．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选B.因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．5．已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．[2，＋∞)解析：选B.函数在[0，1]上有意义，即集合{x |0≤x ≤1}是关于x 的不等式2－ax >0的解集的子集．∵函数在[0，1]上是减函数，显然0<a <1不符合题意，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－ax >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x <2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2a >1，∴1<a <2. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)7．已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是________．解析：依题意得，不等式f (x )＜f (2x －3)等价于x ＜2x －3，由此解得x ＞3，即满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)8．(2015·福建厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.答案：39．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0，2]，求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2（x 2＋1－x 1－1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0，2]的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B.函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，（a －2）×2≤⎝⎛⎭⎫122－1， 由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 2．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负 解析：选C.由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.3．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)在区间(0，4]上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：当a －1>0，即a >1时，由已知得函数y ＝3－ax 在(0，4]上单调递增，显然此时a <0，这与a >1矛盾．当a －1<0，即a <1时，由已知得函数y ＝3－ax 在(0，4]上单调递减，故a >0.因为3－ax ≥0在(0，4]上恒成立，所以可得a ≤34.故a ∈(0，34]．答案：(0，34]4．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题．答案：②③④5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.即f (x )在[2，9]上的最小值为－2.6．(选做题)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．解：(1)当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)．∵2x 1＜2x 2，a ＞0⇒a (2x 1－2 x 2)＜0，3x 1＜3x 2，b ＞0⇒b (3x 1－3x 2)＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，函数f (x )在R 上是增函数．同理，当a ＜0，b ＜0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a 2b，则x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a 2b，则x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 综上，当a ＜0，b ＞0时，x ＞log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，x ＜log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b .。