高中数学专题讲义-函数的单调性

题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。

1.定义法

【例1】 试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间(0,1)上的单调性．

【例2】 证明函数3y x =在定义域上是增函数．

【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．

【例4】 证明函数()f x x =-在定义域上是减函数．

【例5】 讨论函数2

()1

x

f x x =

-(11)x -<<的单调性．

【例6】 求函数f (x)=x+

1

x

的单调区间。

典例分析

板块一.函数的单调性

【例7】 求证:函数()(0)a

f x x a x

=+>在)+∞上是增函数.

【例8】 （春季北京、安徽，12）设函数f （x ）＝

b

x a

x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性。

【例9】 （天津，19）设0a >，()x x e a

f x a e

=

+是R 上的偶函数。 （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数。

【例10】 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )=

f (x )+

)

(1

x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

【例11】 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，

()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．

【例12】 已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，

当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．

2.图象法

【例13】 如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，

以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

【例14】 求函数122y x x =++-的单调减区间

【例15】 求下列函数的单调区间：

⑴ |1|y x =-；⑵ 1

y x x

=+（0x >）．

【例16】 求下列函数的单调区间：

⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++

【例17】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．

【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++

3.求复合函数的单调区间

【例19】 函数21

x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）

A ．2x ≥

B ．0x ≤或2x ≥

C ．0x ≤

D ．1x ≤或x

【例20】 已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，

上是减函数，求()

21f x -单调增区间。

【例21】 求函数2

1

2

y x x =

++的单调区间．

【例22】 讨论函数y =的单调性．

【例23】 求函数()f x =㏒20.5(87)x x -+的单调区间

【例24】 （1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；

（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。

题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围

【例25】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为( )

A ．1

2

a ≥

B ．12a ≤

C ．1

2

a >-

D ．1

2

a <

【例26】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )

A ．0b ≥

B ．0b ≤

C ．0b >

D ．0b <

【例27】 已知2

()()2

x x a

f x a a a -=

⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）．

A ．(01)，

B ．)

(01)+∞U

，

C ．)

+∞

D ．)(01)+∞U ，

【例28】 设a 是实数，2

()()21

x

f x a x =-

∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数；

⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．

【例29】 设定义域为R 上的函数f (x)既是单调函数又是奇函数，若

()()2222log log log 20f k t f t t --->对一切正实数t 成立，求实数k 的取值范围。

【例30】 已知f （x ）是奇函数，在实数集R 上又是单调递减函数且0＜θ＜

2

π

时,0)2

1

()sin 23sin 21(2πf t f +-

θθ,求t 的取值范围.

【例31】 已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数

m ，使f (c os2θ－3)+f (4m －2mc os θ)>f (0)对所有θ∈［0,

2

π

］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由。

题型三：函数的单调性与方程、不等式

【例32】 比较)32(log )1(log 22++x x 与的大小.

【例33】 已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的

是（ ）

A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+

B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-

C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+

D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-

【例34】 若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等

式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）． A ．(3)-∞，

B ．(2)-∞，

C ．(03)，

D ．(12)-，

【例35】 解方程x x x -+-=

+25963.