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2017届四川省成都七中高三5月第二次周练文科数学试题及答案 精品

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四川省成都市第七中学高2020届高2017级高三高中毕业班三诊模拟考试文科数学试题及参考答案解析

四川省成都市第七中学高2020届高2017级高三高中毕业班三诊模拟考试文科数学试题及参考答案解析

成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-,{}2|,B y y x x A ==∈,则AB =( )A.{}0,1,2B.{}0,1,4C.1,0,1,2D.{}1,0,1,4-【参考答案】B 【试题解析】根据集合A 求得集合B ,由此求得AB .【详细解答】由于{}1,0,1,2,3,4A =-,所以对于集合B ,y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======,即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.故选:B本小题主要考查集合交集的概念和运算,属于基础题. 2.已知复数11iz =+,则z =( ) A.22B.12D.2【参考答案】A 【试题解析】首先利用复数除法运算化简z ,再求得z 的模.【详细解答】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-,所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:A本小题主要考查复数除法运算,考查复数的模的运算,属于基础题. 3.设函数()f x 为奇函数,当0x >时,22f xx ,则()()1f f =( )A.-1B.-2C.1D.2【参考答案】C 【试题解析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式,依次求得()1f ,()()1f f 的值.【详细解答】函数()f x 为奇函数,()21121f =-=-,()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选:C本小题主要考查奇函数的性质,属于基础题. 4.已知单位向量1e ,2e 的夹角为23π,则122e e -=( )A.3B.7【参考答案】D 【试题解析】利用平方再开方的方法,结合已知条件以及向量运算,求得122e e -.【详细解答】依题意,()222121211212244e e e e e e e e -=-=-⋅+==故答案为:D本小题主要考查平面向量模和数量积的运算,属于基础题.5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是( )B.3C.10D.109【参考答案】A 【试题解析】由渐近线求得b a ,由双曲线的离心率c e a ==. 【详细解答】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为:b y x a=± 又该双曲线的渐近线方程为3y x =±, ∴3ba=, ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选:A.本题考查求双曲线的离心率,涉及双曲线的渐近线方程,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.. 6.已知等比数列{}n a 中,10a >,则“14a a <”是“35a a <”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】A 【试题解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围,可验证充分性和必要性是否成立,由此得到结果. 【详细解答】设等比数列{}n a 的公比为q ,由14a a <得:311a a q <,又10a >,31q ∴>,解得:1q >,243115a a q a q a ∴=<=,充分性成立；由35a a <得:2411a q a q <,又10a >,42q q ∴>,解得:1q >或1q <-, 当1q <-时,3410a a q =<,41a a ∴<,必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选:A .本题考查充分条件与必要条件的判定,涉及到等比数列通项公式的应用,属于基础题. 7.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是( )A.3?i ≤B.4?i ≤C.5?i ≤D.6?i ≤【参考答案】C 【试题解析】根据程序框图的运行,循环算出当31S =时,结束运行,总结分析即可得出答案. 【详细解答】由题可知,程序框图的运行结果为31, 当1S =时,9i =； 当1910S =+=时,8i =； 当19818S =++=时,7i =； 当198725S =+++=时,6i =； 当1987631S =++++=时,5i =. 此时输出31S =. 故选:C.本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.8.已知a ,b 为两条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,下列命题:①若//αβ,//αγ,则//βγ；②若//a α,//a β,则//αβ；③若αγ⊥,βγ⊥,则αβ⊥；④若a α⊥,b α⊥,则//a b .其中正确命题序号为( ) A.②③ B.②③④C.①④D.①②③【参考答案】C 【试题解析】根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详细解答】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若//αβ,//αγ,则//βγ,故①正确； 若//a α,//a β,平面,αβ可能相交,故②错误； 若αγ⊥,βγ⊥,则,αβ可能平行,故③错误； 由线面垂直的性质可得,④正确； 故选:C本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.9.南宋数学家杨辉在《【详细解答】九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第8项为( ) A.99B.131C.139D.141【参考答案】D 【试题解析】根据题中所给高阶等差数列定义,寻找数列的一般规律,即可求得该数列的第8项； 【详细解答】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列, 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列,如图:根据图象可得:3412y -=,解得46y =9546x y -==解得:141x = 故选:D ．本题主要考查了数列的新定义,解题关键是理解题意和掌握等差数列定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题．10.已知2log πa e =,ln ,πb e =2ln e c π=,则( )A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c b a <<【参考答案】B 【试题解析】利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详细解答】解:e eπ<,12b ∴<, 又1b c +=．c b ∴>．22πe 2log e ln (2)2220π2a c ln ln ln ln ππππ-=-=--=+->-=．a c ∴>．b c a ∴<<．故选:B ．本题考查了对数函数的单调性、作差法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．11.已知一个四面体的每一个面都是以3,3,2为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.11π4B.112πC.11πD.22π【参考答案】C 【试题解析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -,其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3,3,2,则四面体的外接球即为长方体的外接球,进而计算出其外接球的直径,即可得外接球的表面积.【详细解答】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ,其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2,如图:则四面体的外接球即为长方体的外接球,因为229a b +=,229b c +=,224c a +=,所以22211a b c ++=, 所以,长方体的外接球直径211R =,故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选:C.本题考查求一个几何体的外接球表面积,关键是求出外接球的半径,将几何体补成一个长方体是解题的关键,考查数形结合思想,属于基础题．12.已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,()2,1A -,()2,1B ,则cos ,PA PB 的最大值是( )A.624- B.1717C.1776- D.1414【参考答案】A 【试题解析】记,PA PB θ=,考虑θ90<,当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4ABAPθ==,当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BPAP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式,利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围,再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详细解答】记,PA PB θ=,若θ90>,则cos 0θ<；若90θ=,则cos =0θ；考虑θ90<,当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时,不妨设P 点位于左顶点, 此时直线AP 斜率不存在,tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时,设(,)P x y ,有2214x y +=,22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+,(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈,则24tan 384tt t θ=-+-,当0t =时,tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-),当(0,2]t ∈,44tan 24443883t t t t θ==≥=+⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭,当且仅当43t t =即t =时取等号,则cos 4θ===. 综上所述,cos ,PA PB的最大值是. 故选:A本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率,涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系,属于较难题.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,()112n n a S n -=+≥,则4a =______. 【参考答案】8 【试题解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+,两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥,利用递推关系即可求解. 【详细解答】()112n n a S n -=+≥①,11n n a S +∴=+②,②-①得,12n n a a +=(2)n ≥, 当2n =时,211112a S a =+=+=,3224a a ∴==, 4328a a ∴==,故答案为:8本题主要考查了数列的项n a与前n项和n S的关系,考查了利用递推关系求数列的项,属于中档题. 14.已知实数x,y满足线性约束条件117xyx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y=+的最大值是______.【参考答案】15【试题解析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线2y x z=-+在y轴上截距的几何意义求最大值即可.【详细解答】作出可行域如图,由2z x y=+可得2y x z=-+,平移直线2y x=-,当直线过点A时,2z x y=+在y轴上截距最大,由17yx y=-⎧⎨+=⎩解得8,1x y==-,即(8,1)A-,此时z的最大值为28115z=⨯-=,故答案为:15本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,数形结合,属于中档题.15.如图是一种圆内接六边形ABCDEF,其中BC CD DE EF FA====且AB BC⊥.则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF内的概率是______.【参考答案】322π【试题解析】半径为1,利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF,最后由几何概型概率公式计算即可. 【详细解答】连接AC,显然,AC中点O为ABC∆的外接圆圆心,设半径为1连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA====,AC为直径,则180454BOC︒∠==︒,135AOB∠=︒该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AOO BS S S S S S∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112122BCO AOBS S∆∆=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF内的概率为23232212Pππ==⋅故答案为:322π本题主要考查了几何概型的概率计算,涉及了三角形面积公式的应用,属于中档题.16.若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是_________. 【参考答案】1(1,)ee 【试题解析】根据题意可判断1a >,利用函数的导数,转化求解a 的最大值,从而求出a 的取值范围. 【详细解答】由题意,当0x ≤时,函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点,设当0x >时,指数函数(0xy aa =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点,则1a >,设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ,则m a m =,ln x y a a '=,所以,ln 1m a a =,解得m e =,此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题考查了指数函数的性质,函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2tan sin a bA B=. (1)求角A 的大小；(2)若a =2b =,求ABC 的面积.【参考答案】(1)3A π= 【试题解析】(1)根据正弦定理sin sin a b A B =和2tan sin a b A B=,得到2sin tan a aA A =,然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.(2)根据7a =,2b =,3A π=,利用余弦定理求得c ,再代入1sin 2ABCSbc A =求解. 【详细解答】(1)由正弦定理知sin sin a b A B=,又2tan sin a bA B =, 所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =,因为0A π<<, 所以3A π=.(2)因为7a =,2b =,3A π=,由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯,即2230c c --=. 又0c >,所以3c =. 故ABC 的面积为1133sin 23sin 223ABCSbc A π==⨯⨯⨯=. 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果:得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图:(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级,再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【参考答案】(1)70分；(2)1415. 【试题解析】(1)利用频率分布直方图,能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．(2)“良”、“中”的频率分别为0.4,0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16,8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【详细解答】(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.(2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2 因为评定为“良”,奖励2面小红旗,评定为“中”,奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示,其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分(不含i j =对角线上的点),于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件.所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415.本题考查中位数、概率的求法,考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．19.如图,在四棱锥M ABCD -中,AB AD ⊥,2AB AM AD ===,22MB =,23MD =.(1)证明:AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求三棱锥A CEM -的体积. 【参考答案】(1)证明见解析；23【试题解析】(1)推导出AB AM ⊥,AB AD ⊥,由此能证明AB ⊥平面ADM ．(2)推导出13C AEM C ABM V V --=,111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====,由此能求出三棱锥A CEM -的体积．【详细解答】(1)因为2AB AM ==,22MB =所以222AM AB MB +=,于是AB AM ⊥又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ,AD ⊂平面ADM , 所以AB ⊥平面ADM(2)因为2,3AM AD MD ===,所以3ADM S =△因为2BE EM =,所以13C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====1111232333339ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯=所以三棱锥A CEM -23本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．20.已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞.(1)证明:当(e,)x ∈+∞时,3ln x ex x e->+； (2)证明:()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.(其中e 2.71828=是自然对数的底数).【参考答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【试题解析】(1)构造函数3()ln x eg x x x e-=-+,利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；(2)求出函数()f x 的导数,利用(1)中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号,从而确定()f x 的单调性.【详细解答】(1)令3()ln ,(,)x eg x x x e x e-=-∈+∞+,则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于是()g x 在(,)e +∞单调递增,所以()()0g x g e >=即3ln ,(,)x ex x e x e->∈+∞+ (2)22222222(21)ln ()(ln 1)()ln ()()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'== 令2222()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时,由(1)知3ln x ex x e->+ 则2222231()()()2(41)2[(2)]2x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1[2,)2x e ∈++∞时,()0h x >,从而()0f x '> 故()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式,属于中档题. 21.已知点P 是抛物线C :212y x =上的一点,其焦点为点F ,且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O :221x y +=于不同的两点A ,B .(1)若点()2,2P ,求AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ,求'F M 的取值范围.【参考答案】(1)AB =(2)12⎫⎪⎪⎢⎣⎭【试题解析】(1)利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线,切线与圆相交,根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可； (2)设点()00,P x y ,联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程,由韦达定理求出中点M 的坐标,由两点间距离公式表示出'F M =,令201t x =+换元,利用函数的单调性即可求出取值范围. 【详细解答】设点()00,P x y ,其中20012y x =. 因为'y x =,所以切线l 的斜率为0x ,于是切线l :20012y x x x =-. (1)因为()2,2P ,于是切线l :22y x =-. 故圆心O 到切线l的距离为d =于是AB ===. (2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ,()22,B x y ,(),M x y .则3012201x x x x +=+,()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得2022x -<<+又200x ≥,于是2002x ≤<+于是()301220221x x x x x +==+,()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故'F M ===令21t x =+,则13t ≤<+于是'F M ==因为3t t+在⎡⎣单调递减,在+单调递增.又当1t =时,'12F M =；当t =时,'F M =当3t =+时,'1122F M =>. 所以'F M的取值范围为12⎫⎪⎪⎢⎣⎭. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力,属于难题.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-:坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0απ≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是6πθ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求OA OB ⋅的值. 【参考答案】(1)24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；(2)1 【试题解析】(1)先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程；(2)设1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立射线l 与曲线C 的极坐标方程,得出121ρρ=,根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值.【详细解答】(1)消去参数α得()()22230x y y -+=≥,将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=,即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. (2)将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得210ρ-+=, 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭,2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭,则121ρρ=,于是121OA OB ρρ⋅==. 本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,以及对极坐标的定义的理解. 选修45-:不等式选讲23.己知0a >,0b >,且24a b +=,函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . (1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t的最大值.【参考答案】(1)2(2)最大值为【试题解析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数,再利用函数()f x 的单调性确定当2ax =-时函数()f x 取到最小值m ,代入计算即可求出m 的值；(2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤,即要求出22a mb ab +的最小值,利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为,即t ≤,从而求出实数t 的最大值.【详细解答】解:(1)()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时,函数()f x 单调递减,当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 单调递增, 当(),x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增, 所以当2ax =-时函数()f x 取到最小值, 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. (2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0a >,0b >,所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,由(1)知2m =,于是a mb b a +≥==当且仅当2a bb a=时等号成立即)410a =>,(220b =>,所以t ≤,故实数t的最大值为本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值,考查了利用基本不等式求最小值,属于一般题.。

成都七中2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学试卷

成都七中2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学试卷

成都七中2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学试卷一、选择题1．已知集合A ＝{x|x ＞2}，B ＝{x|x （1−x ）＞0}，则A ∩B ＝（ ）A 、{x|x ＞1}B 、{x|x ＞2}C 、{x|x ＞2或x ＜0}D 、2．命题“m ＝−2”是命题“直线2x ＋my −2m ＋4＝0与直线mx ＋2y −m ＋2＝0平行”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件3．设{a n }为等差数列，公差d ＝−2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝（ ）A 、18B 、20C 、22D 、244．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A 、502mB 、503mC 、252mD 、2225m 5．若等比数列{a n }的前5项的乘积为1，a 6＝8，则数列{a n }的公比为（ ）A 、−2B 、2C 、±2D 、21 6．设a ＝log 213，b ＝（31）0.2，c ＝231，则（ ） A 、a ＜b ＜c B 、c ＜b ＜aC 、c ＜a ＜bD 、b ＜a ＜c7．执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为16，图中判断框内？处应填的数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、58．若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）A 、21cm 3 B 、32cm 3 C 、65cm 3 D 、87cm 39．把函数y ＝sin 2（x ＋6π）−cos 2（x ＋6π）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位就得到了一个奇函数的图象，则φ的最小值是（ ）A 、125πB 、6πC 、12πD 、3π 10．函数y ＝x −2sinx ，x ∈[−2π，2π]的大致图象是（ ） A 、B 、C 、D 、11．已知F 1、F 2分别是双曲线C ：22a x −22by ＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）A 、3B 、3C 、2D 、212．已知f （x ）＝x ex ||(x ∈R ），若关于x 的方程f 2（x ）−tf （x ）＋t −1＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）A 、（e1，2）∪（2，e ） B 、（e1，1） C 、（1，e1＋1） D 、（e 1，e ） 二、填空题13．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则p ＝_______．14．已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)与b ＝(2，m)是共线向量且a •b ＜0，则|b |＝_________．15．刘徽（约公元 225 年−295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．”其实这里所谓的“鳖臑（bi ē n ào ）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．如图，在三棱锥A −BCD 中，AB 垂直于平面BCD ，AC 垂直于CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，则三棱锥A −BCD的外接球的球面面积为________．16．已知ω是正数，且函数f （x ）＝sin ωx −3cos ωx 在区间（4π，2π）上无极值，则ω的取值范围是__________．三、解答题17．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，其中S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N*．（1）求a n ；（2）若数列{b n }满足b n ＝1＋log 3a n ，求211b b ＋321b b ＋…＋201820171b b 的值．18．设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S 满足43S ＝a 2＋b 2−c 2．（1）求角C 的值；（2）求sinB −cosA 的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，AB ＝22，点D ，E ，F 分别为棱CC 1，A 1B ，AB 的中点．（1）求证：直线CF ∥平面A 1BD ；（2）求点A 1到平面ADE 的距离．20．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2且离心率为22，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为42．（1）求椭圆C 的方程；（2）当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程．21．函数f （x ）＝alnx ＋221x −(1＋a ）x ，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）的图象在x ＝1处的切线方程；（2）讨论函数f （x ）的单调性；（3）若对任意的x ∈（e ，＋∞）都有f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．选修4−4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（332，2π）．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x ，（θ为参数）．（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．选修4−5：不等式选讲23．已知函数f （x ）＝m −|x −1|，m ∈R ，且f （x ＋2）＋f （x −2）≥0的解集为[−2，4]．（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 为正数，且a 1＋b 21＋c31＝m ，求证a ＋2b ＋3c ≥3．参考答案：1-5 DABAB 6-10 ACDCD 11-12 DC 13.2 14.22 15.π3 16.]35,0(17.（1）13-=n n a （2）20182017 18. （1）6π （2）]1,21(- 19.（1）略 （2）362 20.（1）1222=+y x （2）1-=x 21.（1）23-=y （2） ]222,(2---∞e e e 22.（1）x y 33= （2）相离 23.（1）m=3 （2）略。

2017届高三上学期期中(文科)数学试卷-答案

2017届高三上学期期中(文科)数学试卷-答案

四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷答 案1~5．DACDB 6~10．ABDDA 11~12．BD 13．1714．2 15．[)2,+∞ 16．()[),01,-∞+∞U17．解：（1）函数()()()sin cos cos sin sin f x m n x x x x x x ωωωωωω==+-+u r rg gπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴====224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△18．解：（1）由茎叶图得众数是：8.6，中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d 所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ． 又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥ 可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ； ∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN 12MNF S =⨯=△设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到：()2224384120,kx kmx m -+++=因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++所以AB 中点M 2243,,4343kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km mk k -⨯+⨯=++因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-==当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,af x x''=+>故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值； （2）()2,2af x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402af b '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+=由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=>所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解， 令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x ax x h x x--=--='令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-①当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．②当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减， ∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=；（2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷解析1．【考点】集合的表示法．【分析】求出∁U A={x|x≤0或x≥1}，即可得出结论．【解答】解：∵∁U A={x|x≤0或x≥1}，B={0，1}，∴B⊆∁U A，故选D．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．3．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．故选：C．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，∵+++…+=1﹣=，故==，故p=5．故选：B．6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°，∴向量在方向上的投影为==﹣，故选：A．7．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．8．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．9．【考点】几何概型．【分析】他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，即可求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率，【解答】解：他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，∴他能收看到这条新闻的完整报道的概率是=，故选D．10．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．11．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故选：B．12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB由∠BAC的平分线交边BC于点D 的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得k即可．【解答】解：如图所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AB•ACcosA=7k2．⇒BC=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2﹣2AB•BCcosB⇒cosB=．∵∠BAC的平分线交边BC于点D∴，∴DB=．在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1，解得k=经验证D满足，故选D．13．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：17．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为：2．15．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[)2,+∞16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ），即g ′（x ）=g （x ），则g （x ）=ce x ，∵f （1）=1，∴g （1）=f （1）=1，即g （1）=ce =1，则c =，则g （x ）=xf （x ）=•e x ，则f （x ）=，（x ≠0），函数的导数f ′（x ）==，由f ′（x ）＞0得x ＞1，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0得x ＜0或0＜x ＜1，此时函数单调递减，即当x =1时，函数f （x ）取得极小值，此时f （1）==1，即当x ＞0时，f （x ）≥1，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，且f （x ）＜0，综上f （x ）≥1或f （x ）＜0，即函数的值域为（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：()[),01,-∞+∞U17．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数f （x ）==（sinωx +cosωx ） （cosωx ﹣sinωx ）+2cosωx •sinωx =cos2ωx +sin2ωx =2sin （2ωx +），由f （x ）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围； （2）当ω=1时，，求得A ，由余弦定理、不等式的性质，得bc 的最大值，【解答】解：（1）函数()()()πsin cos cos sin sin f x n x x x x x x ωωωωωω=•=+-+•r rπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈ 22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴==== 224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =,,NM MF MF ⊥=△1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△ 18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图能求出众数和中位数．（2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为A ，B ，幸福指数为“极幸福”的4人设为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出所有结果． （ii ）利用列兴举法求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件个数，由此能求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得众数是：8.6， 中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】由三视图可知：平面ABCD ⊥平面ABFE ，AD ⊥平面ABFE ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，底面ABFE 是边长为2的正方形，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．（1）取BF 的中点P ，连接MP ，NP ．又M ，N 分别为AF ，BC 的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP ∥平面CDEF ，即可证明MN ∥平面CDEF ．（2）利用等体积法，求点B 到平面MNF 的距离．【解答】（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ．又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ；∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN12MNF S =⨯△ 设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c 值，由离心率可得a 值，再由b 2=a 2﹣c 2可得b 值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把直线l 2：y =kx +m 代入椭圆方程得到：（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB 中点横坐标，代入l 2得纵坐标，由中点在直线l 1上可求得k 值，用点到直线的距离公式求得原点O 到AB 的距离为d ，弦长公式求得|AB |，由三角形面积公式可表示出S △OAB ，变形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到： ()2224384120,k x kmx m -+++= 因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++ 所以AB 中点M 2243,,4343km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km m k k -⨯+⨯=++ 因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-== 当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）先求导得到f ′（x ）=2x ﹣+b ，由，f （1）=1+b =0，得到a 与b 的值，继而求出函数的解析式， （3）令g （b ）=xb +x 2﹣alnx ，b ∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x 0∈（1，e ）使得x 2﹣x ﹣alnx ＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a ≥0，1﹣a ＜0，看是否存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜h （1）=0，进而得到结论．【解答】解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,a f x x''=+> 故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值；（2）()2,2a f x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402a fb '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+= 由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=> 所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解，令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x a x x h x x--=--=' 令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-① 当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．② 当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减，∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用x =ρcosθ、y =ρsinθ把圆O 1，圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB |．【解答】解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=； （2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=。

川省成都市高考数学二诊试卷文科解析版

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川省成都市高考数学二诊试卷文科解析版集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]2．（5分）若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（）A．1 B．C．2 D．4．（5分）在等比数列{an }中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．365．（5分）若实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．2 C．5 D．76．（5分）两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且mα，nβ．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，且函数f （x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（π）＜f（3）＜f（）B．f（π）＜f（）＜f（3）C．f（）＜f（3）＜f（π）D．f（）＜f（π）＜f（3）9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，，则输出的结果为（）A．B．C．D．10．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]12．（5分）把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC 上的射影的面积是（）A．2B．C．10 D．30二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|= ．14．（5分）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是．15．（5分）若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是．16．（5分）在数列{an }中，a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．（12分）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y 的值．（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣）19．（12分）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）时，记f（x2）﹣f（x1）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2017成都模拟）设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}=[0，4]，∴A∩B=[0，2]．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）（2017成都模拟）若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且===+i为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=1．则z1在复平面内所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017成都模拟）已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（）A．1 B．C．2 D．【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=（1，0），=（，），则﹣2=（，﹣），故|﹣2|==1，故选：A．【点评】本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．4．（5分）（2017成都模拟）在等比数列{an }中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：设公比为q，∵a3=6，a3+a5+a7=78，∴a3+a3q2+a3q4=78，∴6+6q2+6q4=78，解得q2=3∴a5=a3q2=6×3=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2017成都模拟）若实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．2 C．5 D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：由图得A（0，﹣2），令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z 有最大值为2．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）（2017成都模拟）两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成；以5：30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形；会面的充要条件是|x﹣y|≤15，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）==．故选：D．【点评】本题考查了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．7．（5分）（2017成都模拟）已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且mα，nβ．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．8．（5分）（2017成都模拟）已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，且函数f（x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（π）＜f（3）＜f（）B．f（π）＜f（）＜f（3）C．f（）＜f（3）＜f（π）D．f（）＜f（π）＜f（3）【分析】根据函数的奇偶性，推导出f（﹣x+2）=f（x+2），再利用当x∈[﹣2，2]时，f （x）单调递减，即可求解．【解答】解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），∴f（3）=f（1），f（π）=f（4﹣π），∵4﹣π＜1＜，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，∴f（4﹣π）＞f（1）＞f（），∴f（）＜f（3）＜f（π），故选C．【点评】本题考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键．9．（5分）（2017成都模拟）执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，，则输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=，b=时满足条件|a﹣b|＜，退出循环，输出的值为．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，c=执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0，满足条件f（a）f（m）＜0，b=，不满足条件|a﹣b|＜c，m=，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=，满足条件|a﹣b|＜c，退出循环，输出的值为．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）（2017成都模拟）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A 1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得PF1=2a，PF2=4a，再根据勾股定理得到a，c的关系式，即可求出离心率．【解答】解：如图所示，由题意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵点P为双曲线左支的一个点，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，∴∠F1PF2=90°∴（2a）2+（4a）2=（2c）2，∴=3，∴e==，故选：B【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．11．（5分）（2017成都模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx=sinωx，由+，（k∈Z）上单调递减，得：+，∴函数f（x）的单调减区间为：[，]，（k∈Z）．∵在（π，）上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．（5分）（2017成都模拟）把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是（）A．2B．C．10 D．30【分析】如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，即可求出结论．【解答】解：如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，面积为=2，故选A．【点评】本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定△EBD在平面EBC上的射影为△OEB 是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2017成都模拟）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|= ．【分析】直接利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解：抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣，所以抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为+2=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．14．（5分）（2017成都模拟）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是36 ．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．【点评】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．15．（5分）（2017成都模拟）若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得a≥，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：y′=，x∈（0，+∞），∵曲线y=lnx+ax 2﹣2x （a 为常数）不存在斜率为负数的切线， ∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a ≥恒成立，x ∈（0，+∞）． 令f （x ）=，x ∈（0，+∞），则f′（x ）=，∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，当x ＞1时，f′（x ）＜0， ∴f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴当x=1时，f （x ）=取得最大值f （1）=，∴a．故答案为[，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．16．（5分）（2017成都模拟）在数列{a n }中，a 1=1，a 1+++…+=a n （n ∈N *），则数列{a n }的通项公式a n = ． 【分析】a 1=1，a 1+++…+=a n （n ∈N *），n ≥2时，a 1+++…+=a n ﹣1．相减可得：=．再利用递推关系即可得出． 【解答】解：∵a 1=1，a 1+++…+=a n （n ∈N *），n ≥2时，a 1+++…+=a n ﹣1．∴=a n ﹣a n ﹣1，化为：=．∴=…=2a 1=2． ∴a n =．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）（2017成都模拟）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BECBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BECEcos∠BECcos∠BECsin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CEDEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BECBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BECEcos∠BECcos∠BEC=．sin∠BEC=，sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=，cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CEDEcos120°=49∴CD=7．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题18．（12分）（2017成都模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y 的值．（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣）【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，可得结论；（Ⅱ）求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．【解答】解：（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有=10种方法，都小于600，有=3种方法，∴至少有一个大于600的概率==；（Ⅱ）=554，=600，===，=﹣=，∴=+，x=570，=604，即当特征量x为570时特征量y的值为604．【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键．19．（12分）（2017成都模拟）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．【分析】（Ⅰ）由已知可得DA、DE、DC两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF的一个法向量，由平面法向量与平行证明EG∥平面BCF；（Ⅱ）把多面体ABCDEF的体积分解为两个棱锥的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：∵梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，∴AD⊥平面CDEF，则AD⊥DC，又CD⊥DE，∴以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，且DG=DA，∴E（﹣4，0，0），G（0，0，），C（0，12，0），F（﹣4，9，0），B（0，3，），，．设平面BCF的一个法向量为，则由，取z=，得．，∴．∵EG平面BCF，∴EG∥平面BCF；（Ⅱ）解：连接BD，BE，则VABCDEF =VB﹣CDEF+VB﹣ADE==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．（12分）（2017成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得m2=r2（1+k2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．【解答】解：（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，则切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y=﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a=，b=，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a，b，r满足+=成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l与圆x2+y2=r2相切，则=r，即m2=r2（1+k2），①则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．则x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则⊥=0，∴x1x2+y1y2=+==0，则（a2+b2）m2=a2b2（1+k2），②将①代入②，=，∴+=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017成都模拟）已知函数f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）时，记f（x2）﹣f（x1）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出f′（x ）=，x ∈（0，+∞），由此根据a=1，a ＞0且a≠1，利用导数性质进行分类讨论，能求出a 的取值范围． （Ⅱ）当a ∈（1，e]时，，f （x ）在（0，）上单调递减，在（，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减，对x 1∈（0，1），有f （x 1）≥f （），对x 2∈（1，+∞），有f （x 2）≤f （a ），从而[f （x 2）﹣f （x 1）]max =f （a ）﹣f （），由此能求出M （a ）存在最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=（a+）lnx ﹣x+，其中a ＞0，∴=，x ∈（0，+∞），①当a=1时，≤0，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不存在极值点； ②当a ＞0时，且a ≠1时，f′（a ）=f′（）=0， 经检验a ，均为f （x ）的极值点， ∴a ∈（0，1）∪（1，+∞）． （Ⅱ）当a ∈（1，e]时，，f （x ）在（0，）上单调递减，在（，a ）上单调递增， 在（a ，+∞）上单调递减，对x 1∈（0，1），有f （x 1）≥f （），对x 2∈（1，+∞），有f （x 2）≤f （a ）， ∴[f （x 2）﹣f （x 1）]max =f （a ）﹣f （）， ∴M （a ）=f （a ）﹣f （）=[（a+）lna ﹣a+]﹣[（a+）ln ﹣+a] =2[（a+）lna ﹣a+]，a ∈（1，e]， M′（a ）=2（1﹣）lna+2（a+）+2（﹣1﹣）=2（1﹣）lna，a∈（1，e]．∴M′（a）＞0．即M（a）在（1，e]上单调递增，=M（e）=2（e+）+2（）=，∴[M（a）]max∴M（a）存在最大值．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017成都模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），即可求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，∵点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），∴θ=；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y﹣4=0，点A的直角坐标为（﹣，3），射线OA的方程为y=﹣x，代入x+y﹣4=0，可得B（﹣2，6），∴|AB|==2．【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017成都模拟）已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．【分析】（I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x+）≥0，即|x+|+|x﹣|≤4，x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；﹣＜x＜，不等式可化为x+﹣x+≤4恒成立；x≥，不等式可化为x++x﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）∵（++）（3p+2q+r）≥（1+1+1）2=9，++=4∴3p+2q+r≥，∴3p+2q+r的最小值为．【点评】本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．。

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)

2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)

2017年四川省成都市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=〔〕A．[1，4]B．[1，2]C．[﹣1，0]D．[0，2]2．〔5分〕假设复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．〔5分〕已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=〔〕A．1 B．C．2 D．4．〔5分〕在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=〔〕A．12 B．18 C．24 D．365．〔5分〕假设实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为〔〕A．﹣5 B．2 C．5 D．76．〔5分〕两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是〔〕A．B．C．D．7．〔5分〕已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有以下命题：①假设α∥β，则m∥n；②假设α∥β，则m∥β；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．38．〔5分〕已知函数f〔x〕的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，且函数f〔x+2〕为偶函数，则以下结论正确的选项是〔〕A．f〔π〕＜f〔3〕＜f〔〕B．f〔π〕＜f〔〕＜f〔3〕C．f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕D．f〔〕＜f〔π〕＜f〔3〕9．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为〔〕10．〔5分〕设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，假设以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．2 D．11．〔5分〕已知函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕在〔π，〕上单调递减，则ω的取值范围是〔〕A．〔0，2]B．〔0，]C．[，1]D．[，]12．〔5分〕把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC 上的射影的面积是〔〕A．2B．C．10 D．30二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．〔5分〕设抛物线C：y2=2x的焦点为F，假设抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|=．14．〔5分〕在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是．15．〔5分〕假设曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是．16．〔5分〕在数列{a n}中，a1=1，a1+++…+=a n〔n∈N*〕，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．〔12分〕如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．假设∠CED=，EC=．〔Ⅰ〕求sin∠BCE的值；〔Ⅱ〕求CD的长．18．〔12分〕某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559 551563552y601605 597 599 598〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；〔Ⅱ〕求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．〔附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣〕19．〔12分〕如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．〔Ⅰ〕假设G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF的体积．20．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，圆O：x2+y2=r2〔0＜r＜b〕．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，假设点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕假设以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．21．〔12分〕已知函数f〔x〕=〔a+〕lnx﹣x+，其中a＞0．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在〔0，+∞〕上存在极值点，求a的取值范围；〔Ⅱ〕设a∈〔1，e]，当x1∈〔0，1〕，x2∈〔1，+∞〕时，记f〔x2〕﹣f〔x1〕的最大值为M〔a〕，那么M〔a〕是否存在最大值？假设存在，求出其最大值；假设不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为〔2，θ〕，其中θ∈〔，π〕〔Ⅰ〕求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f〔x〕=4﹣|x|﹣|x﹣3|〔Ⅰ〕求不等式f〔x+〕≥0的解集；〔Ⅱ〕假设p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．2017年四川省成都市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕〔2017•成都模拟〕设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=〔〕A．[1，4]B．[1，2]C．[﹣1，0]D．[0，2]【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}=[0，4]，∴A∩B=[0，2]．故选：D．【点评】此题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．〔5分〕〔2017•成都模拟〕假设复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1=a+i〔a∈R〕，z2=1﹣i，且===+i为纯虚数，∴=0，≠0，∴a=1．则z1在复平面内所对应的点〔1，1〕位于第一象限．故选：A．【点评】此题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．〔5分〕〔2017•成都模拟〕已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=〔〕A．1 B．C．2 D．【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=〔1，0〕，=〔，〕，则﹣2=〔，﹣〕，故|﹣2|==1，故选：A．【点评】此题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．4．〔5分〕〔2017•成都模拟〕在等比数列{a n}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=〔〕A．12 B．18 C．24 D．36【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：设公比为q，∵a3=6，a3+a5+a7=78，∴a3+a3q2+a3q4=78，∴6+6q2+6q4=78，解得q2=3∴a5=a3q2=6×3=18，故选：B【点评】此题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．5．〔5分〕〔2017•成都模拟〕假设实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为〔〕A．﹣5 B．2 C．5 D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：由图得A〔0，﹣2〕，令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故选：B．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．〔5分〕〔2017•成都模拟〕两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是〔〕A．B．C．D．【分析】由题意知此题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{〔x，y〕|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数〔甲、乙两人各自到达的时刻〕组成；以5：30作为计算时间的起点建立如下图的平面直角坐标系，设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：Ω：{〔x，y〕|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形；会面的充要条件是|x﹣y|≤15，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P〔A〕==．故选：D．【点评】此题考查了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．7．〔5分〕〔2017•成都模拟〕已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有以下命题：①假设α∥β，则m∥n；②假设α∥β，则m∥β；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①假设α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②假设α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③假设α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④假设α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】此题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决此题的关键．8．〔5分〕〔2017•成都模拟〕已知函数f〔x〕的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，且函数f〔x+2〕为偶函数，则以下结论正确的选项是〔〕A．f〔π〕＜f〔3〕＜f〔〕B．f〔π〕＜f〔〕＜f〔3〕C．f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕D．f〔〕＜f〔π〕＜f〔3〕【分析】根据函数的奇偶性，推导出f〔﹣x+2〕=f〔x+2〕，再利用当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，即可求解．【解答】解：∵y=f〔x+2〕是偶函数，∴f〔﹣x+2〕=f〔x+2〕，∴f〔3〕=f〔1〕，f〔π〕=f〔4﹣π〕，∵4﹣π＜1＜，当x∈[﹣2，2]时，f〔x〕单调递减，∴f〔4﹣π〕＞f〔1〕＞f〔〕，∴f〔〕＜f〔3〕＜f〔π〕，故选C．【点评】此题考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键．9．〔5分〕〔2017•成都模拟〕执行如下图的程序框图，假设输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为〔〕【分析】|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375．【解答】解：模拟程序的运行，可得执行循环体，m=，不满足条件f〔m〕=0，满足条件f〔a〕f〔m〕＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c，m=1.25，不满足条件f〔m〕=0，不满足条件f〔a〕f〔m〕＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c，退出循环，输出的值为1.375．故选：D．【点评】此题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b 的值是解题的关键，属于基础题．10．〔5分〕〔2017•成都模拟〕设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，假设以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为〔〕A．B．C．2 D．【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得PF1=2a，PF2=4a，再根据勾股定理得到a，c的关系式，即可求出离心率．【解答】解：如下图，由题意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，∴==，∴PF1=2a，∵点P为双曲线左支的一个点，∴PF2﹣PF1=2a，∴PF2=4a，∵以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，∴∠F1PF2=90°∴〔2a〕2+〔4a〕2=〔2c〕2，∴=3，∴e==，故选：B【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、此题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．11．〔5分〕〔2017•成都模拟〕已知函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕在〔π，〕上单调递减，则ω的取值范围是〔〕A．〔0，2]B．〔0，]C．[，1]D．[，]【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos〔ωx+φ〕=sin〔ωx+2φ〕﹣sinωx．可将函数化为y=Asin 〔ωx+φ〕的形式，在〔π，〕上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．【解答】解：函数f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣2sinφcos〔ωx+φ〕〔ω＞0，φ∈R〕．化简可得：f〔x〕=sin〔ωx+2φ〕﹣sin〔ωx+2φ〕+sinωx=s inωx，由+，〔k∈Z〕上单调递减，得：+，∴函数f〔x〕的单调减区间为：[，]，〔k∈Z〕．∵在〔π，〕上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．故选C．【点评】此题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决此题的关键．属于中档题．12．〔5分〕〔2017•成都模拟〕把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是〔〕A．2B．C．10 D．30【分析】如下图，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，即可求出结论．【解答】解：如下图，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，面积为=2，故选A．【点评】此题考查射影的概念，考查面积的计算，确定△EBD在平面EBC上的射影为△OEB 是关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分〕.13．〔5分〕〔2017•成都模拟〕设抛物线C：y2=2x的焦点为F，假设抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|=．【分析】直接利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解：抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣，所以抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为+2=．故答案为：．【点评】此题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．14．〔5分〕〔2017•成都模拟〕在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是36．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+〔10+x〕+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+〔﹣x〕2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．【点评】此题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．15．〔5分〕〔2017•成都模拟〕假设曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是[，+∞〕．【分析】由题意可知y′≥0在〔0，+∞〕上恒成立，别离参数得a≥，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：y′=，x∈〔0，+∞〕，∵曲线y=lnx+ax2﹣2x〔a为常数〕不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在〔0，+∞〕上恒成立，∴a≥恒成立，x∈〔0，+∞〕．令f〔x〕=，x∈〔0，+∞〕，则f′〔x〕=，∴当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0，当x＞1时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，∴当x=1时，f〔x〕=取得最大值f〔1〕=，∴a．故答案为[，+∞〕．【点评】此题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．16．〔5分〕〔2017•成都模拟〕在数列{a n}中，a1=1，a1+++…+=a n〔n∈N*〕，则数列{a n}的通项公式a n=．【分析】a1=1，a1+++…+=a n〔n∈N*〕，n≥2时，a1+++…+=a n﹣1．相减可得：=．再利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，a1+++…+=a n〔n∈N*〕，n≥2时，a1+++…+=a n﹣1．∴=a n﹣a n﹣1，化为：=．∴=…=2a1=2．∴a n=．故答案为：．【点评】此题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．〔12分〕〔2017•成都模拟〕如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．假设∠CED=，EC=．〔Ⅰ〕求sin∠BCE的值；〔Ⅱ〕求CD的长．【分析】〔Ⅰ〕在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；〔Ⅱ〕在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：〔Ⅰ〕在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，〔Ⅱ〕在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin〔1200+∠BEC〕=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．【点评】此题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题18．〔12分〕〔2017•成都模拟〕某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559 551563552y601605 597 599 598〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；〔Ⅱ〕求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．〔附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣〕【分析】〔Ⅰ〕利用对立事件的概率公式，可得结论；〔Ⅱ〕求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x 为570时特征量y的值．【解答】解：〔Ⅰ〕从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有=10种方法，都小于600，有=3种方法，∴至少有一个大于600的概率==0.7；〔Ⅱ〕=554，=600，===0.25，=﹣=461.5，∴+461.5，x=570，=604，即当特征量x为570时特征量y的值为604．【点评】此题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键．19．〔12分〕〔2017•成都模拟〕如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD ⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．〔Ⅰ〕假设G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕求多面体ABCDEF的体积．【分析】〔Ⅰ〕由已知可得DA、DE、DC两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF的一个法向量，由平面法向量与平行证明EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕把多面体ABCDEF的体积分解为两个棱锥的体积求解．【解答】〔Ⅰ〕证明：∵梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，∴AD⊥平面CDEF，则AD⊥DC，又CD⊥DE，∴以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，且DG=DA，∴E〔﹣4，0，0〕，G〔0，0，〕，C〔0，12，0〕，F〔﹣4，9，0〕，B〔0，3，〕，，．设平面BCF的一个法向量为，则由，取z=，得．，∴．∵EG⊄平面BCF，∴EG∥平面BCF；〔Ⅱ〕解：连接BD，BE，则V ABCDEF=V B﹣CDEF+V B﹣ADE==．【点评】此题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．〔12分〕〔2017•成都模拟〕在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，圆O：x2+y2=r2〔0＜r＜b〕．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，假设点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕假设以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．【分析】〔Ⅰ〕利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；〔Ⅱ〕利用点到直线的距离公式，求得m2=r2〔1+k2〕，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．【解答】解：〔Ⅰ〕当k=﹣，r=1时，则切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y=﹣x+，∴A〔0，〕，B〔，0〕，∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a=，b=，∴椭圆方程为：；〔Ⅱ〕a，b，r满足+=成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，直线l与圆x2+y2=r2相切，则=r，即m2=r2〔1+k2〕，①则，〔b2+a2k2〕x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．则x1+x2=﹣，x1x2=，所以y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2=，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则⊥=0，∴x1x2+y1y2=+==0，则〔a2+b2〕m2=a2b2〔1+k2〕，②将①代入②，=，∴+=．【点评】此题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2017•成都模拟〕已知函数f〔x〕=〔a+〕lnx﹣x+，其中a＞0．〔Ⅰ〕假设f〔x〕在〔0，+∞〕上存在极值点，求a的取值范围；〔Ⅱ〕设a∈〔1，e]，当x1∈〔0，1〕，x2∈〔1，+∞〕时，记f〔x2〕﹣f〔x1〕的最大值为M〔a〕，那么M〔a〕是否存在最大值？假设存在，求出其最大值；假设不存在，请说明理由．【分析】〔Ⅰ〕求出f′〔x〕=，x∈〔0，+∞〕，由此根据a=1，a＞0且a≠1，利用导数性质进行分类讨论，能求出a的取值范围．〔Ⅱ〕当a∈〔1，e]时，，f〔x〕在〔0，〕上单调递减，在〔，a〕上单调递增，在〔a，+∞〕上单调递减，对∀x1∈〔0，1〕，有f〔x1〕≥f〔〕，对∀x2∈〔1，+∞〕，有f 〔x2〕≤f〔a〕，从而[f〔x2〕﹣f〔x1〕]max=f〔a〕﹣f〔〕，由此能求出M〔a〕存在最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=〔a+〕lnx﹣x+，其中a＞0，∴=，x∈〔0，+∞〕，①当a=1时，≤0，f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，不存在极值点；②当a＞0时，且a≠1时，f′〔a〕=f′〔〕=0，经检验a ，均为f〔x〕的极值点，∴a∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕．〔Ⅱ〕当a∈〔1，e]时，，f〔x〕在〔0，〕上单调递减，在〔，a〕上单调递增，在〔a，+∞〕上单调递减，对∀x1∈〔0，1〕，有f〔x1〕≥f 〔〕，对∀x2∈〔1，+∞〕，有f〔x2〕≤f〔a〕，∴[f〔x2〕﹣f〔x1〕]max=f〔a〕﹣f 〔〕，∴M〔a〕=f〔a〕﹣f 〔〕=[〔a +〕lna﹣a +]﹣[〔a +〕ln ﹣+a]=2[〔a +〕lna﹣a +]，a∈〔1，e]，M′〔a〕=2〔1﹣〕lna+2〔a +〕+2〔﹣1﹣〕=2〔1﹣〕lna，a∈〔1，e]．∴M′〔a〕＞0．即M〔a〕在〔1，e]上单调递增，∴[M〔a〕]max=M〔e〕=2〔e +〕+2〔〕=，∴M〔a 〕存在最大值．【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕〔2017•成都模拟〕在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为〔α为参数〕，直线l 的参数方程为〔t为参数〕，在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极21页坐标为〔2，θ〕，其中θ∈〔，π〕〔Ⅰ〕求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．【分析】〔Ⅰ〕曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为〔2，θ〕，θ∈〔，π〕，即可求θ的值；〔Ⅱ〕假设射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C 的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为x2+〔y﹣2〕2=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，∵点A的极坐标为〔2，θ〕，θ∈〔，π〕，∴θ=；〔Ⅱ〕直线l 的参数方程为〔t为参数〕，普通方程为x +y﹣4=0，点A 的直角坐标为〔﹣，3〕，射线OA的方程为y=﹣x，代入x +y﹣4=0，可得B〔﹣2，6〕，∴|AB|==2．【点评】此题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2017•成都模拟〕已知函数f〔x〕=4﹣|x|﹣|x﹣3|〔Ⅰ〕求不等式f〔x +〕≥0的解集；〔Ⅱ〕假设p，q，r 为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．【分析】〔I〕由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；〔Ⅱ〕运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x +〕≥0，即|x +|+|x ﹣|≤4，x ≤﹣，不等式可化为﹣x ﹣﹣x +≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x ≤﹣；﹣＜x ＜，不等式可化为x +﹣x +≤4恒成立；x ≥，不等式可化为x ++x ﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；〔Ⅱ〕∵〔++〕〔3p+2q+r〕≥〔1+1+1〕2=9，++=422页∴3p+2q+r ≥，∴3p+2q+r 的最小值为．【点评】此题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．23页。

2017成都七中高三数学(文)入学试题答案

高2017届2016～2017学年度下期入学考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． ACBDCDCBDDAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，2214、415、94三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（Ⅰ）由茎叶图知，极差为98-52=46.……………………2分 平均值52+65+72788686868787889098=12X +++++++++=81.25.……………………6分（Ⅱ）设得分为优秀的班级为12,A A ,得分为良好的班级为123456B ,B ,B ,B ,B ,B 从中任选2个班级，不同的选法有：1211121314151621222324(A ,A ),(A ,B ),(A ,B ),(A ,B ),(A ,B ),(A ,B )(A ,B ),(A ,B ),(A ,B ),(A ,B )(A ,B ),，， 2526121314151623242526(A ,B ),(A ,B )(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B )(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B )(B ,B ),，，， 343536454656(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B ),(B ,B )共28种.……………………10分选出两人不在同一年龄段的选法有13种，故所求概率13P =18、（Ⅰ）证明：由11A B A D =，O 为BD 的中点，则1A O ⊥又因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．因为1AO CO = 所以BD ⊥平面1ACO ．因为BD ⊂平面11BB D D ， 所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ． ……………………5分（Ⅱ）由60BAD ∠=，ABCD 是菱形，可得1BO =,AO = 由1A B =11A O =.在1AOA 中，由12AA =，可得1AO AO ⊥.AO BO O = ,1AO ABCD ∴⊥底面. 由11//AA BB ，故1A 到平面1BCB 的距离等于A 到平面1BCB 的距离h ． 又111112,2,BCB BC BB AA B C A D ===== 解得：S 由11111133A BCB BCB B ABC ABC V S h V S A O h --=⨯⨯===⨯⨯=⇒= ……………12分19、（Ⅰ）当11, 1.n a ==当22112312,222(2)21n n n n a a a a n ---≥++++=-⋅+ ，相减可得：112(1)2(2)2.n n n n n a n n a n --=-⋅--⋅⇒=由11,1n a ==满足故n a n =.……………6分（Ⅱ）1tan tan tan tan(1)n n n b a a n n +=⋅=⋅+tan(1)tan tan(1)tan tan1tan(1)tan(1)tan 1.1tan(1)tan tan1n n n nn n n n n n +-+-=+-=⇒+=-++故12tan 2tan1tan3tan 2tan(1)tan tan1tan1tan1n n n nT b b b n --+-=+++=+++- ，tan(1)tan1tan1n n T n +-∴=-. ……………12分20、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）由题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+．，消y 整理可得：2234220x nx n -+-=， 由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得．．．．．．．．．．．．．．．．5分．．．．．．．．．．．．．．．．6分设直线AB 之中点为 由点P 在直线AB上得：又点P 在直线l 上，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分1211(5)(5)22QABS n x x n =⨯--=⨯-= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分记22()(5)(3),f n n n =--'()2(5)(3)(21)f n n n n =--+ ，故()f nQAB ∆，．．．．．．．．．．．．11分 此时直线l．．．．．．．．．．12分 21、（Ⅰ）由题意224144()ln 4,'()(0)x f x x f x x xxx x-=+-=-=>.'()0(4,),f x x >⇒∈+∞ ∴()f x 的单调递增区间为(4,)+∞，()f x 的单调递减区间为(0,4)..................3分 （Ⅱ）由题意，221'()(0)a x af x x x x x-=-=>. ①0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单增，(1)0,(0,1),()0f x f x =∴∈< ，不合题意； ②0a >时，()f x 在(0,)a 单减，在(,)a +∞单增，min ()()ln 10.f x f a a a ∴==-+≥ 记11()ln 1,'()1,ag a a a g a a a-=-+=-= ∴()g x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减， ()g(1)0, 1.g a a ∴≤=∴= 综上{1}.a ∈....................8分（Ⅲ）由（Ⅱ），当1a =时，1ln (*)x x x-≥,当且仅当1x =时等号成立. 要证13211113e <（），只需证明：21313()11e <，两边同时取对数，可以转化为证明： 13132213ln ln 111113<⇔> .由(*)式，13113211ln .13111311->=13211113e ∴<（）.............12分 22、（Ⅰ）直线l 的普通方程为的普通方程为221x y +=.联立方程组解得l 与1C 的交点为分 （Ⅱ）曲线2C 为cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）,故点P 的坐标是()cos ,3sin θθ (6)分从而点P 到直线l 的距离是分 ,d 取得最大值,分。

四川省成都市第七中学2017届高三模拟测试数学(文)试题 PDF版含答案

成都七中高2017届高三模拟测试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数103i z i=+ (i 为虚数单位)的虚部为（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．154 2．.已知,,A B O 三点不共线，若||||AB OA OB =+，则向量OA 与OB 的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或钝角3．实数30.3a =，3log 0.3b =，0.33c =的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<4．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ． 10B ． 10+C ．6+D ．6+7．函数y = ）A. B. C. D.8．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若μλ+=，则λμ+=（ ）A ． 43B ．53C ．158D ．2 9．若实数,x y 满足3326x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则22(1)x y ++的最小值为（ ）A.B.C. 8D. 1010．运行如图2所示的程序框图，如果在区间[0,]e 内任意输入一个x 的值，则输出的()f x 值不小于常数e 的概率是（ ）A ．1eB ．11e- C ．11e + D ．11e + 11．已知抛物线2:4C y x =上一点(4,4)M -，点,A B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ∙=，则点M 到直线AB 的距离的最大值是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．13．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为________． 14．已知圆C 过坐标原点，面积为2π，且与直线:20l x y -+=相切，则圆C 的方程是______ __．15．数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．16．若定义在R 上的函数)(x f 满足1)()(>'+x f x f ，4)0(=f ，则不等式发13)(+>x ex f (e 为自然对数的底数)的解集为 ． 三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21123333n n a a a a n -++++=，*n N ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设数列{}n b 满足33nb n a =，求数列{}n n b a 的前n 项和n S .18．（本题12分）国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”. 根据调⨯列联表：查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下22⨯列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误（Ⅰ）请根据题目信息，将22概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；（Ⅱ）为了进一步了解学生的运动情况及体能，对样本中的甲、乙两位运动达人男生1500米的跑步成绩进行测试，对多次测试成绩进行统计，得到甲1500米跑步成绩的时间范围是[4,5]（单位：分钟），乙1500米跑步成绩的时间范围是[4.5,5.5]（单位：分钟），现同时对甲、乙两人进行1500米跑步测试，求乙比甲跑得快的概率.19．如图3，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，2AB =，3ABC π∠=.（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若三棱锥P AEC -的体积为1，求点A 到平面PBC 的距离.20．已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）已知函数()ln f x x x ax b =++在点(1,(1))f 处的切线为320x y --=. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若k Z ∈，且存在0x >，使得(1)f x k x+>成立，求k 的最小值.22．（10分）在直角坐标标系xoy 中，已知曲线121cos :9sin 4x C y αα=+⎧⎪⎨=-⎪⎩(α为参数,R α∈），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线2:sin()4C πρθ+=2-，曲线3:2cos C ρθ=. （Ⅰ）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（Ⅱ）设,A B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求AB 的最小值.。

四川省成都七中2017-2018学年高三上学期入学数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．复数=（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1+i2．sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．数列{a n}满足a n=，a1=，则a3=（）+1A．1 B．2 C．﹣1 D．4．已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）5．从区间[0，]内随机取一个实数x，则sinx＜的概率为（）A．B．C．D．6．已知p：函数f（x）=|x+a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数；q：函数g（x）=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（﹣1，+∞）上是增函数，则￢p成立是q成立的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要7．按右图所示的程序框图运算，若输入x=200，则输出k 的值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．[]9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．若0＜＜a＜b，当a﹣取最小值时，a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=______．14．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=______．15．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l，则l⊥γ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直，④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β上面命题中，真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）16．已知函数f（x）为偶函数，又在区间[0，2]上有f（x）=，若F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是______．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们5（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），设函数f（x）=•．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在[，π]上的值域．19．如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．21．如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，满足•=0，且椭圆C2的离心率为．当动点A在x轴上=的投影恰为C的右焦点F时，有S△AOF（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求||2的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．（选修4-5；不等式选讲）23．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．2017-2018学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的四个选项中仅有一项符合题目要求）1．复数=（）A．﹣1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，化简复数为a+bi（a、b∈R）形式．【解答】解：复数=故选C2．sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可求出值．【解答】解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣．故选B=，a1=，则a3=（）3．数列{a n}满足a n+1A．1 B．2 C．﹣1 D．【考点】数列递推式．=，a1=，分别取n=1，2即可得出．【分析】利用a n+1=，a1=，【解答】解：∵a n+1∴a2===2，∴a3===﹣1，故选：C．4．已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）【考点】交集及其运算．【分析】利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．5．从区间[0，]内随机取一个实数x，则sinx＜的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题属于几何概型的运用，已知区间的长度为，满足sinx＜的x∈[0，]，求出区间长度，由几何概型公式解答．【解答】解：在区间[0，]上，当x∈[0，]时，sinx，由几何概型知，符合条件的概率为．故选：B．6．已知p：函数f（x）=|x+a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数；q：函数g（x）=log a（x+1）（a＞0且a≠1）在（﹣1，+∞）上是增函数，则￢p成立是q成立的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出p，q成立时的a的范围，从而得到¬p成立时a＞1是q的充要条件．【解答】解：由p成立，则a≤1，由q成立，则a＞1，所以¬p成立时a＞1是q的充要条件．故选C．7．按右图所示的程序框图运算，若输入x=200，则输出k 的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=3215，k=4时满足条件x≥2018，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=200，k=0x=401，k=1不满足条件x≥2018，x=803，k=2不满足条件x≥2018，x=1607，k=3不满足条件x≥2018，x=3215，k=4满足条件x≥2018，退出循环，输出x的值为3215，k的值为4，故选：B．8．已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．（﹣∞，]∪[，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）D．[]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，y=kx﹣3过定点D（0，﹣3），则k AD=，k BD==﹣3，要使直线y=kx﹣3与平面区域M有公共点，由图象可知k≥3或k≤﹣3，故选：C9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．10．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．【解答】解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．12．若0＜＜a＜b，当a﹣取最小值时，a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得b﹣a＞0，2a﹣b＞0，从而化简a﹣=（2a﹣b）+（b﹣a）+，再利用基本不等式化简即可．【解答】解：∵0＜＜a＜b，∴b﹣a＞0，2a﹣b＞0；∴a﹣=（2a﹣b）+（b﹣a）+≥2+=++≥3；（当且仅当2a﹣b=b﹣a=1时，等号同时成立）；解得，a=2，b=3；故a+b=5；故选B．二.填空题.（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设函数f（x）=x4+ax，若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，那么a=﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=﹣3．【解答】解：函数f（x）=x4+ax的导数为f′（x）=4x3+a，即有在x=1处的切线斜率为4+a=1，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．14．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，则A=．【考点】余弦定理．【分析】由a2﹣bc=b2+c2，结合余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA，求出cosA，即可求得A．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，得：b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理得：b2+c2﹣a2=2bccosA，∴cosA=﹣，又A为三角形ABC的内角，∴A=．故答案为：．15．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ，②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l，则l⊥γ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直，④若α内存在不共线的三点到β的距离相等．则平面α平行于平面β上面命题中，真命题的序号为①②．（写出所有真命题的序号）【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有关定理推论，举反例等手段，排除错误选项，得到真命题．【解答】解：因为如2个平行平面中有一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直，故①正确．若2个平面都和第三个平面垂直，则他们的交线也和第三个平面垂直，故②正确．直线l与平面α内的无数条直线垂直，也不能保证直线l与平面α内的2条相交直线垂直，故③不正确．α内存在不共线的三点到β的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故④不正确．综上，正确答案为①②．16．已知函数f（x）为偶函数，又在区间[0，2]上有f（x）=，若F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，根据图象，可得a的取值范围【解答】解：作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，根据图象，F（x）=f（x）﹣a在区间[﹣2，2]恰好有4个零点，则a的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．三.解答题.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们5（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例，用60乘以比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．【解答】解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×=32人．…（2）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．…所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…其中事件A包含基本事件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种，…由古典概型可得P（A）=…18．已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），设函数f（x）=•．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）求f（x）在[，π]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】本题考了平面向量与三角函数的结合运算，由平面向量数量积运算求出函数f（x），将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）图象的对称方程；根据x∈[，π]，求f（x）的最大值和最小值，即可得f（x）的值域．【解答】解：（1）已知=（2cosx，sinx），=（cosx，sinx﹣cosx），则函数f（x）=•=2cos2x+==cos（2x++（1）由：（k∈Z）解得：x=（k∈Z）所以：函数f（x）的对称轴方程为：x=（k∈Z）．（2）由（1）得：f（x）=所以：当x时，解得：当时，有=．当时，有．∴f（x）的最大值和最小值故x∈[，π]，f（x）的f（x）的值域是19．如图，五面体A﹣BCC1B1中，AB1=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC1B1是矩形，二面角A﹣BC﹣C1为直二面角．（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB1∥平面BDC1，并且说明理由；（Ⅱ）当AB1∥平面BDC1时，求二面角C﹣BC1﹣D余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由题意连接B1C交BC1于O，连接DO由于四边形BCC1B1是矩形且O为B1C 中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C1的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1，证明：连接B1C交BC1于O，连接DO∵四边形BCC1B1是矩形∴O为B1C中点又D为AC中点，从而DO∥AB1，∵AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1∴AB1∥平面BDC1（Ⅱ）建立空间直角坐标系B﹣xyz如图所示，则B（0，0，0），A（，1，0），C（0，2，0），D（，，0），C1（0，2，2），所以=（，，0），=（0，2，2）．设=（x，y，z）为平面BDC1的法向量，则有，即令Z=1，可得平面BDC1的一个法向量为=（3，﹣，1），而平面BCC1的一个法向量为=（1，0，0），所以cos＜，＞===，故二面角C﹣BC1﹣D的余弦值为．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；（II）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，当时，f（x）在[a2，a]单调递增，则f max（x）=f（a），当时，f（x）在单调递增，在单调递减，f max（x）=f（），当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，则f max（x）=f（a2），从而求出所求．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣2）x，∴函数的定义域为（0，+∞）．…∴．…∵f（x）在x=1处取得极值，即f'（1）=﹣（2﹣1）（a+1）=0，∴a=﹣1．…当a=﹣1时，在内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．∴a=﹣1．…（Ⅱ）∵a2＜a，∴0＜a＜1．…∵x∈（0，+∞），∴ax+1＞0，∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，…①当时，f（x）在[a2，a]单调递增，∴f max（x）=f（a）=lna﹣a3+a2﹣2a；…②当，即时，f（x）在单调递增，在单调递减，∴；…③当，即时，f（x）在[a2，a]单调递减，∴f max（x）=f（a2）=2lna﹣a5+a3﹣2a2．…综上所述，当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是lna﹣a3+a2﹣2a；当时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是；当1＞时，函数y=f（x）在[a2，a]上的最大值是2lna﹣a5+a3﹣2a2．…21．如图，O为坐标原点，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，满足•=0，且椭圆C2的离心率为．当动点A在x轴上=的投影恰为C的右焦点F时，有S△AOF（1）求椭圆C的标准方程；（2）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长，求||2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意，结合隐含条件可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c 的值，则椭圆C1方程可求；（2）由C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴等长求得椭圆C2方程，当OA所在直线斜率存在且不为0时，写出OA、OB所在直线方程，分别与两椭圆联立，求出|OA|2、|OB|2，得到|AB|2，整理后利用基本不等式求得||2的取值范围，当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，由此求得答案．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，由题意可知，，又椭圆C1的离心率=，且a2=b2+c2，联立以上三式可得：，∴椭圆C1的标准方程为；（2）由C1的长轴与C2的短轴等长，知n=a=，又C1与C2共焦点，可知，∴椭圆C2的标准方程为．当线段OA的斜率存在且不为0时，设OA：y=kx，联立，解得，∴．由•=0，得OB：y=﹣，联立，解得，∴|OB|2=，∴|AB|2=|OA|2+|OB|2==．又（当时取等号），∴．当线段OA的斜率不存在和斜率k=0时，|AB|2=4，综上，．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），展开化为ρ2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==≥2，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．（选修4-5；不等式选讲）23．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）ab+bc+ca≤；（2）++≥1．【考点】不等式的证明．【分析】（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．故++≥1．2016年9月28日。

【数学】2017-2018年四川省成都七中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x（1﹣x）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞2}C．{x|x＞2或x＜0}D．∅2．（5分）命题“m=﹣2”是命题“直线2x+my﹣2m+4=0与直线mx+2y﹣m+2=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件3．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．244．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m5．（5分）若等比数列{a n}的前5项的乘积为1，a6=8，则数列{a n}的公比为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．6．（5分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为16，图中判断框内？处应填的数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm39．（5分）把函数y=sin2（x+）﹣cos2（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位就得到了一个奇函数的图象，则φ的最小值是（）A． B．C．D．10．（5分）函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．212．（5分）已知f（x）=（x∈R），若关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（，2）∪（2，e）B．（，1）C．（1，+1）D．（，e）二、填空题13．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则p=．14．（5分）已知平面向量与是共线向量且，则=．15．（5分）刘徽（约公元225 年﹣295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．”其实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．如图，在三棱锥A﹣BCD 中，AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，且AB=BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的球面面积为．16．（5分）已知ω是正数，且函数f（x）=sinωx﹣cosωx在区间（，）上无极值，则ω的取值范围是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n ∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=1+log3a n，求++…+的值．18．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，AB=2，点D，E，F分别为棱CC1，A1B，AB的中点．（1）求证：直线CF∥平面A1BD；（2）求点A1到平面ADE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）当△ABF2的面积最大时，求l的方程．21．（12分）函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，a∈R．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意的x∈（e，+∞）都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x+2）+f（x﹣2）≥0的解集为[﹣2，4]．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正数，且，求证a+2b+3c≥3．2017-2018学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x（1﹣x）＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＞2}C．{x|x＞2或x＜0}D．∅【解答】解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x（1﹣x）＞0}={x|0＜x＜1}，∴A∩B=∅．故选：D．2．（5分）命题“m=﹣2”是命题“直线2x+my﹣2m+4=0与直线mx+2y﹣m+2=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【解答】解：若直线2x+my﹣2m+4=0与直线mx+2y﹣m+2=0平行，则﹣=﹣，解得m=±2，当m=2时，2x+2y﹣2×2+4=0与直线2x+2y﹣2+2=0重合，∴m=﹣2，故“m=﹣2”是命题“直线2x+my﹣2m+4=0与直线mx+2y﹣m+2=0平行充要条件，故选：A．3．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a 1=20．故选：B．4．（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选：A．5．（5分）若等比数列{a n}的前5项的乘积为1，a6=8，则数列{a n}的公比为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，前5项的乘积为1，a6=8，可得a1a2a3a4a5=1，a1q5=8，由等比数列的性质可得a1a5=a2a4=a32，可得a35=1，即a3=a1q2=1，解得q3=8，即q=2．故选：B．6．（5分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为16，图中判断框内？处应填的数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=21=2，n=2；第二次循环a=22=4，n=3；第三次循环a=24=16，n=4；∵输出的a的值为16，∴n=5时跳出循环体，∴判断框内的条件为：n≤4．故选：C．8．（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．B．cm3C．cm3D．cm3【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1=1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是=∴几何体的体积是1﹣=故选：A．9．（5分）把函数y=sin2（x+）﹣cos2（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位就得到了一个奇函数的图象，则φ的最小值是（）A． B．C．D．【解答】解：把函数y=sin2（x+）﹣cos2（x+）=﹣cos（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y=﹣cos（2x++2φ）的图象．再根据得到了一个奇函数的图象，可得+2φ=kπ+，故φ的最小值为，故选：C．10．（5分）函数y=x﹣2sinx，x∈[﹣，]的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）=﹣x+2sinx=﹣（x﹣2sinx）=﹣f（x），所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有CD适合，y′=1﹣2cosx，由y′=0解得x=，∴当x=时，函数取极值，故D适合，故选：D．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．2【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M 的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：D．12．（5分）已知f（x）=（x∈R），若关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（，2）∪（2，e）B．（，1）C．（1，+1）D．（，e）【解答】解：化简可得f（x）==，当x≥0时，f′（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，∴函数f（x）=在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0等价为m2﹣tm+t﹣1=0，要使关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2﹣tm+t﹣1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2﹣tm+t﹣1，则，即，解得1＜t＜1+，故选：C．二、填空题13．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则p=2．【解答】解：根据题意，设抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点为M，抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，若M到其焦点的距离为4，即M到准线的距离也为4，则有3﹣（﹣）=4，解可得p=2，故答案为：2．14．（5分）已知平面向量与是共线向量且，则= 2．【解答】解：根据题意，平面向量与是共线向量，则有（2m+1）×m=6，解可得m=﹣2或m=，又由，则有2（2m+1）+3m=7m+2＜0，解可得m＜﹣，故m=﹣2，则=（2，2），则||=2；故答案为：2．15．（5分）刘徽（约公元225 年﹣295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．”其实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．如图，在三棱锥A﹣BCD 中，AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，且AB=BC=CD=1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的球面面积为3π．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，AB⊥BD，又CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB=1且BD=，可得AD=，由此可得球O的半径R=，即三棱锥A﹣BCD外接球的球面面积为S=4πR2=3π．故答案为：3π．16．（5分）已知ω是正数，且函数f（x）=sinωx﹣cosωx在区间（，）上无极值，则ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）在区间（，）上无极值，（1）若x∈（，）是增区间时，可得：，k∈Z，∴2k﹣≤，且，解得：8k﹣≤ω≤4k+，k∈Z，∴0＜ω≤；（2）若x∈（，）是减区间时，可得：，k∈Z，∴4k+≤ω≤8k﹣，k∈Z，ω≤4，无解．综上，ω的取值范围是：（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n ∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=1+log3a n，求++…+的值．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，相减可得：a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n=1时，a2=3．满足上式．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为3．∴a n=3n﹣1．（2）b n=1+log3a n=n．∴==﹣．∴++…+=+…+=1﹣=．18．（12分）设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2．（1）求角C的值；（2）求sinB﹣cosA的取值范围．【解答】解：（1）△ABC的面积S满足4S=a2+b2﹣c2，可得4×absinC=a2+b2﹣c2，即有cosC===sinC，则tanC==，由0＜C＜π，可得C=；（2）由A+B=π﹣C=，即B=﹣A，sinB﹣cosA=sin（﹣A）﹣cosA=cosA+sinA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣），由0＜A＜，可得﹣＜A﹣＜，则﹣＜sin（A﹣）≤1，即有sinB﹣cosA的取值范围是（﹣，1]．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，AB=2，点D，E，F分别为棱CC1，A1B，AB的中点．（1）求证：直线CF∥平面A1BD；（2）求点A1到平面ADE的距离．【解答】解：（1）连结DE，EF，FC，则在三角形A1AB中EF为中位线，于是EF∥A1A，因为D为C1C中点，所以EF平行且等于DC．所以在平行四边形EFCD中，CF平行于DE，因为DE在平面A1BD上，所以CF∥平面A1BD．（2）因为CF垂直于AB，CF垂直于AA1，所以CF垂直于平面ABB1A1，于是DE垂直于平面ABB1A1，，三角形ADE的面积为，三角形A1AE的面积为，由得，，A1到平面ADE的距离为．20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）当△ABF2的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（1）根据题意，若△ABF2的周长为，则|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=4，则a=，又由椭圆的离心率e==，则c=ea=1，则有b2=a2﹣c2=1所以椭圆C的方程为；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），|F1F2|=2设A（x1，y1），B（x2，y2），l：x=my﹣1联立x=my﹣1与得到（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，，当m2+1=1，m=0时，最大为，此时l的方程为：x=﹣1．21．（12分）函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x，a∈R．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若对任意的x∈（e，+∞）都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f′（x）=+x﹣2，∴k=f′（x）=1+1﹣2=0，f（1）=0+﹣2=﹣，∴函数y=f（x）的图象在x=1处的切线方程y=﹣，（2）∵f′（x）=+x﹣（1+a）=，x＞0，①当a≤0时，令f′（x）=0，解得x=1，若f′（x）＜0．解得0＜x＜1，函数f（x）单调递减，若f′（x）＞0，解得x＞1，函数f（x）单调递增，②当0＜a＜1时，若f′（x）＜0，解得a＜x＜1，函数f（x）单调递减，若f′（x）＞0，解得x＞1或0＜x＜a，函数f（x）单调递增，③当a＞1时，若f′（x）＜0，解得1＜x＜a，函数f（x）单调递减，若f′（x）＞0，解得x＞a或0＜x＜1，函数f（x）单调递增，④当a=1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）单调递增，综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）为减函数，在（0，a）或（1，+∞）为增函数，当a=1时，f（x）在（0，+∞）为增函数，当a＞1时，f（x）在（1，a）为减函数，在（0，1）或（a，+∞）为增函数，（3）由（2）可知当a≤e时，f（x）在（e，+∞）为增函数，∴f（x）＞f（e）=a+e2﹣e（1+a）≥0，解得a≤，∵﹣e=＜0，∴a≤，当a＞e时，f（x）在（e，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，∴f（x）min=f（a）=alna+a2﹣（1+a）a=alna﹣a2﹣a＞0，即lna﹣a﹣1＞0，设g（a）=lna﹣a﹣1，∴g′（a）=﹣＜0在（e，+∞）恒成立，∴g（a）=lna﹣a﹣1在（e，+∞）为减函数，∴g（a）＜g（e）=lne﹣e﹣1=﹣e＜0，故当a＞e时，不满足题意，综上所述a的取值范围为（﹣∞，]．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l 与圆C 相离．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣1|，m ∈R ，且f （x +2）+f （x ﹣2）≥0的解集为[﹣2，4]．（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 为正数，且，求证a +2b +3c ≥3．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=m ﹣|x ﹣1|， 则f （x +2）=m ﹣|x +1|，f （x ﹣2）=m ﹣|x ﹣3|，若f （x +2）+f （x ﹣2）≥0的解集为[﹣2，4]，即|x +1|+|x ﹣3|≤2m 的解集为[﹣2，4]，则x=﹣2和x=4是方程|x +1|+|x ﹣3|=2m 的根 则有2m=6，即m=3；（2）证明：由（1）的结论m=3，则，a +2b +3c=（a +2b +3c ）（++）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥（3+6）=3，故a +2b +3c ≥3．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

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成都七中2017级考试 数学试卷(文科)命题:方廷刚 审题:巢中俊一、选择题(共50分,每题5分)1.设22{|10},{|log 0}A x x B x x =->=<,则A B ⋂=A.{|1}x x >B.{|0}x x >C.{|1}x x <-D.Φ 2.设i 是虚数单位,若()(1)2(1)a bi i i ++=-,其中,a b R ∈,则a b +的值是A.12- B.2- C.2 D.323.有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有3个人从不同的角度 观察,结果如图所示.若记3的对面的数字为m ,4的对面的数字为n ,则m n +=A.3B.7C.8D.114.设554log 4,log ((2,log a b c ==-=则A.a c b <<B.b c a <<C.a b c <<D.b a c <<5.设,A B 是锐角ABC ∆的两内角,(sin ,1),(1,cos )p A q B =-=u r r ,则p u r与q r的夹角是A.锐角B.钝角C.直角D.不确定6.下列判断错误．．的是 A.“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B.“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”C.若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题D.若随机变量ξ服从二项分布:ξ～1(4,)4B ,则1E ξ=7.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是A.32B.43C.3D.238.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2e =,则2a eb＋的最小值为C.9.在ABC ∆内部随机取一点P ,则事件“PBC ∆的面积不大于ABC ∆面积的13”的概率是 A.13 B.49 C.59 D.2310.已知函数2()22ln (,0)f x x ax a x a R a =--∈≠,则下列说法错误．．的是A.若0a <,则()f x 有零点B.若()f x 有零点,则12a ≤且0a ≠ C.0a ∃>使得()f x 有唯一零点 D.若()f x 有唯一零点,则12a ≤且0a ≠二、填空题(共25分,每题5分)11.已知函数2()2x x f x =在区间(0,)a 内单调,则a 的最大值为__________.12.若方程3log (3)20x a x -+-=有实根,则实数a 的取值范围是___________.13.已知直线l 0y -=与抛物线Γ:24y x =交于,A B 两点,与x 轴交于F ,若()OF OA OB λμλμ=+≤u u u r u u r u u u r, 则λμ=_______. 14.正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1CC 的中点,F是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A BC D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形 11BCC B 截得的线段长是________.15.已知函数()122014122014f x x x x x x x =+++++++-+-++-L L 的定义域为R ,给定两集合4222{((12101)(2))(2)}A a R f a a a f a =∈-++=+及B ={()(),}a R f x f a x R ∈≥∈,则集合A B ⋂的元素个数是_________.三、解答题(共75分) 16.(12分)设()f x p q=⋅u u r u r,而2(24sin,1),(cos )()2xp q x x x R ωωω=-=∈u u ru r.(1)若()3f π最大,求ω能取到的最小正数值.(2)对(1)中的ω,若()1f x x =+且(0,)2x π∈,求tan x .17.(12分)小区统计部门随机抽查了区内60名网友4月1日这天的网购情况,得到如下数据统计表(图(1)).网购金额超过2千元的顾客被定义为“网购红人”,网购金额不超过2千元的顾客被定义为“非网购红人”.已知“非网购红人”与“网购红人”人数比恰为3:2.(1)确定,,,x y p q 的值,并补全频率分布直方图(图(2)). (2)为进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购红人”和“网购红人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中“网购红人”的人数,求ξ的分布列和数学期望.18.(12分)执行如图所描述的算法程序,记输出的一列a 的值依次为12,,,n a a a L ,其中*n N ∈且2014n ≤.(1)若输入λ=,写出全部输出结果. (2)若输入2λ=,记*1()1n n b n N a =∈-,求1n b +与n b 的关系(*n N ∈).19.(12分)如图,已知平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形,090CBF ∠=,//BF CE ,BC CE ⊥,4DC CE ==, 2BC BF ==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法). (2)设,P DF AG Q =⋂是直线DC 上的动点, 判断并证明直线PQ 与直线EF 的位置关系.(3)求三棱锥F ADE -的体积.20.(13分)椭圆Γ:2221(0)25x y r r+=>的左顶点为A ,直线4x =交椭圆Γ于,B C 两点(C 上B 下),动点P 和定点(4,6)D -都在椭圆Γ上.(1)求椭圆方程及四边形ABCD 的面积. (2)若四边形ABCP 为梯形,求点P 的坐标.(3)若,m n 为实数,BP mBA nBC =+uu r uu r uu u r,求m n +的最大值.21.(14分)已知函数()2sin f x x x =-,()()(2)2g x f x π=--.(1)讨论()g x 在(0,)6π内和在(,)62ππ内的零点情况.(2)设0x 是()g x 在(0,)6π内的一个零点,求()f x 在0[,]2x π上的最值.(3)证明对*n N ∈恒有11)1212n k n n π=<<∑.成都七中2017级考试数学试卷(文科)参考答案一、DBCD BCAB CB 二、11.2ln 2 12.6a ≥ 13.1314.15.7三、16.(1)1217.解.(1)96x y =⎧⎨=⎩,0.150.10p q =⎧⎨=⎩,补全频率分布直方图如图所示.(2)选出的10人中,“网购达人”有4人,“非网购达人”有6人,故ξ的可能取值为0,1,2,3,且易得ξ的分布列为65E ξ=. 18.解.(1)输出结果共2个,依次是:0,2.(2)*11()n n b b n N +=-∈.19.(1)如右图. (2)垂直(3)83.20.(1)22125100x y +=; 78ABCD S =. (2)748(,)55-21.解.(1)()2cos 1g x x '=-在(0,)2π有唯一零点3x π=,易知()g x 在(0,)3π单增而在(,)32ππ内单减,且())(2)0332g πππ=-->,故()g x 在(0,)3π和[,)32ππ内都至多有一个零点.又(0)0,()(1)(2)106623g g ππππ<=---=->,故()g x 在(0,)6π内有唯一俯视图侧视图正视图零点;再由()02g π=知()g x 在(,)62ππ内无零点. (2)由(1)知()g x 在[0,]2π有最大值())(2)332g πππ=--,故()f x 在0[,]2x π有最大值()33f ππ=; 再由(1)的结论知()f x 在0[,]2x π的最小值应为0min{(),()}2f x f π.由0()0g x =知0()2()22f x f ππ=-=,于是()f x 在0[,]2x π的最小值0()()222f x f ππ==-. (3)由(2)知0[,]2x x π∈时,有2()23f x ππ-≤≤,即111sin 2426x x x ππ+-≤≤①取*)2k x k N π=∈,则2k x π<且0126k x x ππ≥->>,将k x 的值代入①中,可得112π≤≤111)2122nn n k k k n n π===⇒-≤≤-∑②再由11221)n n n n k k k k =====>==∑,得1)1)12n k n π=<+-∑③相仿地,2n≥时,21121 n n nk k k====+<+=∑,故1111)22nkn n=>-=-∑④而1n=时④即01cos1cos602>=,显然也成立.故原不等式成立.。

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