2020年重庆一中高二(上)期中数学试卷
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中错误的是（）A . 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B . 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C . 圆台的所有平行于底面的截面都是圆D . 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2. （2分）直线x+（a2+1）y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A . [0， ]B . [0，）∪[ π，π）C . （，π）D . [ π，π）3. （2分）直线l1：（a﹣1）x+2y+2=0，l2：（2﹣a）y﹣x﹣1=0，若l1∥l2 ，则实数a的值为（）A . 3B . 0或3C . 0D .4. （2分）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·威海期末) 设l、m两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是（）A . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αC . 若l⊥α，则m⊥α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m6. （2分）已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线截得的弦长的最小值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）一个空间几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（）A . 2B . 8C . 4D . 109. （2分）将圆平分的直线是（）A .B .C .D . x-y+3=010. （2分）已知A，B，C三点在球O的表面，△ABC是边长为5正三角形，球面上另外一点D到A，B，C三点的距离分别是3，4，5，则球O的表面积是（）A .B .C . 100πD . 400π11. （2分） (2018高一下·淮南期末) 圆与圆的公共弦长为（）A . 1B . 2C .D .12. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 在三棱锥中，点均在球的球面上，且，若此三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0，圆C1与圆C2的公切线有________条．14. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________15. （1分）(2020·湖南模拟) 已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数 ________.16. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知向量 =（1，2）， =（1，1），则在方向上的投影为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一上·福州期末) 己知直线2x﹣y﹣4=0与直线x﹣2y+1=0交于点p．（1）求过点p且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程；（结果写成直线方程的一般式）（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2方程（结果写成直线方程的一般式）18. （10分） (2018高一上·洛阳月考) 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD 是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．19. （10分） (2017高三上·定州开学考) 若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．20. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y 轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高三下·正阳开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．22. （10分） (2015高一上·福建期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
重庆市一中高二数学上学期期中考试 文【会员独享】.doc
秘密★启用前重庆一中高高二上期半期考试 数 学 试 题 卷（文科） .11数学试题共3页。
满分150分。
考试时间1。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题。
（每小题5分，共50分） 1．抛物线y x 22=的焦点坐标为（ ）. A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C ．)1,0(D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,02．经过()()4,0,0,3两点的直线方程是（ ）A ．01243=-+y x B.01243=+-y x C.01234=+-y x D.01234=-+y x 3．直线01032=+-y x 的法向量的坐标可以是（ ）A.()3,2-B.()3,2C.()3,2-D.()3,2-- 4．圆02:221=-+x y x C 与圆04:222=-+y y x C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切5．1366422=-y x P 为双曲线左支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且171=PF ，则P 点到左准线的距离是（ ） A ．568 B ．5132 C ．54D ．586．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为( )A ．23B ．33C ．36D ．667．已知点()()0,3,2,021P P ,在线段21P P 上取一点P ，使得212PP P P =，则P 点坐标为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,23 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,218．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y xB ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x9．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于B A 、两点，若4=AB ，这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．21F F 、是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向M MF F 顶点21∆的外角平分线引垂线，垂足为P P 则,点的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、填空题。
重庆市第一中学2022-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
重庆市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若,，，则4．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为A． B． C． D．5．椭圆上的点到直线的最大距离是A．3 B．C．D．6．已知三棱锥，过点作面为中的一点，，，则点为的A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心7．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为A． B．C． D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A． B． C． D．9．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，其中分别为的中点，则三棱锥的体积为A． B． C． D．10．已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数取值范围是A． B．C． D．11．已知点，若圆上存在点(不同于)，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．12．如图在正方体1111ABCD A B C D-中，点O为线段BD的中点. 设点P在线段1CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为α，则sinα的取值范围是A．3⎤⎥⎣⎦B．6⎤⎥⎣⎦C．622⎣⎦D．22⎤⎥⎣⎦二、解答题13．已知数列满足：，且对任意的，都有成等差数列.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.14．在直三棱柱中， ,点是的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．15．设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.(1)求椭圆的焦距；(2)如果，求椭圆的方程16．在直三棱柱中，分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交于点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．17．如图，椭圆22 122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，x轴被曲线22:C y x b=-截得的线段长等于1C的长半轴长。
重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题
B.数列 的最大值为
C. 的面积为
D.四边形 的面积为
12.已知双曲线 的左右焦点分别为 ，且 ，点 是双曲线第一象限内的动点， 的平分线交 轴于点 垂直于 交 于 ，则以下正确的是（）
A.当点 到渐近线的距离为 时，该双曲线的离心率为
B.当 时，点 的坐标为
C.当 时，三角形 的面积
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.已知抛物线 的焦点为 到双曲线 的渐近线的距离为1．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过动点 作抛物线 的切线 （斜率不为0），切点为 ，求线段 的中点 的轨迹方程．
21.已知椭圆 的右顶点为 ，左､右焦点分别为 ，直线 与椭圆 交于 ，当 与 重合时，点 在 轴上的射影为
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当 时，求 的最值．
22.设数列 的前 项和为 ．若对任意 ，总存在 ，使得 ，则称 是“ 数列”．
（1）若数列 ，判断 是不是“ 数列”，并说明理由；
（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 ，且 是“ 数列”，
①求 值；
②设数列 ，设数列 的前 项和为 ，若 对任意 成立，求实数 的取值范围．
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 相交，则 相交D.若 ，则
10.已知平面上点 ，动点 ，以下叙述正确的是（）
A.若 ，则 的轨迹是一条直线
B.若 ，则 的轨迹是双曲线的一支
C.若 （ 为正常数，且 ），则 轨迹一定是圆
D.若 ，则 的轨迹是椭圆
11.单增数列 满足 ，点 ，对于任意 都有 ，则（）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
重庆市第一中学2020学年高二数学上学期期中试题理
2018年重庆一中高2020级高二上期期中考试数学测试试题卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3． 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.）1.（原创）已知抛物线方程22x y =，则该抛物线的焦点坐标是（ ）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭2.（原创）双曲线22136x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =± 3.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊆m ，β⊆n ， m n ∥，则αβ∥ B ．若α⊆m ，n m ⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥， α⊆n ，则m n ⊥D ．若//αβ,α⊆m ，β⊆n ，则//m n4.（原创）已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ） A ．π10 B ．π12 C ．π14 D ．π165.椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ）A ．3BC ．D 6. 已知三棱锥ABC P -,过点P 作⊥PO 面ABC ,O 为ABC ∆中的一点，且PB PA ⊥,PC PB ⊥, PA PC ⊥,则点O 为ABC ∆的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心7.已知P 是以12,F F 为焦点的双曲线221169x y -=上的动点，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程为（ ）A.)0(116922≠=-y y xB.116922=-x y C ．116922=+y x D.)0(116922≠=+y x y8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.18+93 B ．18+92 C ．9+182 D ．9+1839. （原创）如图，在三棱锥ABC V -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，,BC AC ⊥,2==BC AC 其中O ,M分别为VA AB ,的中点，则三棱锥MOC B -的体积为（ ）A ．33 B ．43 B ．C ．63 D . 12310.已知抛物线C 的方程为y x 212=，过点)4,0(-A 和点)0,(t B 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 取值范围是( )A ．()(),11,-∞-+∞B .22,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),2222,-∞-+∞ D ．()(),222,-∞-+∞11.（改编）已知点)0,2(-M ,)0,2(N ，若圆)0(096222>=-+-+r r x y x 上存在点P (不同于M ,N )，使得PN PM ⊥，则实数r 的取值范围是( )A.()5,1B.[]5,1C.)3,1(D.[]3,112.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围（ ） A.31,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.61,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.622,⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.221,⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.） 13.（原创）已知球O 的表面积为16π,则球O 的体积为_________.14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，如果椭圆上存在点P ，使∠12F PF =900，则离心率e 的取值范围 .15.（原创）已知四棱锥ABCD V -的底面ABCD 为正方形,且顶点V 在底面的射影为ABCD 的中心，若该棱锥的五个顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的半径为_______.16.（改编）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下焦点和上焦点,过2F 的直线交双曲线的上支于M N 、两点，若112MF F F =，且2223MF NF =，则双曲线离心率的值为 . 三、解答题 ：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 17. （本小题满分10分）（原创）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的*n N ∈，都有11,,n n a a +成 等差数列.（1）证明数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中， ,3=AC 4,5,41===AA AB BC ，点D 是AB 的中点. （1）求证：1AC //平面1CDB ；（2）求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值．19. （本小题满分12分）已知过点)0,1(-的直线与抛物线x y -=2相交于A 、B 两点，其中O 为坐标原点. （1）求OA OB ⋅的值；（2）当OAB ∆的面积等于10时，求直线AB 的方程. 20. （本小题满分12分）设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为045，1F 到直线l 的距离为22.（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =, 求椭圆C 的方程.21. （本小题满分12分）在直三棱柱111C B A ABC -中， 12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1D D ， 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ； （2）求二面角1A A M N --的余弦值．22. （本小题满分12分）椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3 x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于a .（1）求a ，b 的值；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ,直线,MA MB 分别与1C 相交与,D E ． 记MAB ∆,MDE ∆面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l , 使得121732S S =?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说 明理由.ABCDPMNA 1B 1C 1D 1。
重庆市第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 文(1)
2020年重庆一中高2020级高二上期期中考试数学测试试题卷（文科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题5分，共计60分）1.双曲线22143x y-=的渐近线方程为（）A.35y x=± B.34y x=± C.y x= D.y x=2.如图所示，在水平放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）A. B.C.D.3.对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<,则p ⌝是（ ）A.2,10x R x x ∀∈++> B.2,10x R x x ∃∈++≠ C.2,10x R x x ∀∈++≥ D.2,10x R x x ∃∈++<4.已知(1,0),(1,0)A B -,动点M 满足||||2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ） A.0(1)y x =≤- B.0(1)y x =≥- C.0(11)y x =-≤≤ D.0(||1)y x =≥5.如图,△C B A '''是△ABC 的直观图,其中x B A '''//轴,y C A '''//轴, 且C A B A ''='',那么△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形6.已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点3),P 则直线l 的方程是（ ）A.320x +-=B.340x -+=C.340x +-=D.320x -+=7.（原创）已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点,过点2F 的直线交椭圆于点,A B ,若||6AB =,则11||||AF BF +=（ ）A.9B.10C.11D.128.由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线,则切线长的最小值为（ ） A.4231334219.（原创）已知2:25,:(2)20p x q x a x a -<<+++<,若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A.(5,)+∞B.[5,)+∞C.(,5)-∞-D.(,5]-∞-10.（原创）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）2 B.2 C.22 D.411.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，当直线的斜率为3时，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A.5,10 B.2,10 C.()21 D. (212.如图,若P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点,(5,0)F -为椭圆的左焦点,若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于线段PF 的中 点,则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B.2213616x y += C. 2213010x y += D.2214525x y +=二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知双曲线方程为:221169y x -=,则双曲线的上焦点的坐标是____________. 14.将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为 ____________.15.（原创）若2a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是____________. 16.已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ,P 是它们的一个交点,1260F PF ∠=︒,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ,则2212e e +的最小值是____________.三、解答题（共计70分）17.（10分）已知:|1|2p x +≤, :(1)()0q x x m +-≤. (1)求满足p 为真时所有实数x 的取值集合;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.18.（12分）已知圆22:4210C x y y ++-=.(1)判断点(3,3)M --和点()N a a R ∈在圆上、圆外、还是圆内？ (2)若过点(3,3)M --的直线l 被圆C 所截得的弦长为8,求l 的方程.19.（12分）（原创）已知抛物线的顶点在原点,圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求OAB ∆ 的面积.20.（12分）（原创）已知点P 是圆222x y +=上一动点,作PD x ⊥轴,垂足为D ,且2PD MD =u u u r u u u u r.(1)求动点M 轨迹C 的方程;(2)已知直线:2(0)l y x m m =+>,P 为轨迹C 所表示的曲线上一动点,若点P 到直线l 距离的最小值为5.求实数m 的值.21.（12分）如图,已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,00(,)D x y 为AB 的中点,且0||||12AF BF x +=+.(1)求抛物线C 的方程;(2)若1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ,求0||xAB 的最小值.22.（12分）（原创）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,四点1(1,1)P 、2(0,1)P 、33(1,)2P -、43(1,)2P中恰有三点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 上存在不同的两点M 、N 关于直线1x y +=对称，求直线MN 的方程； (3)设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率之和为2,试 问：直线l 是否过定点？如过定点,求出定点坐标;如不过定点,说明理由.2020年重庆一中高2020级高二上期期中考试数学测试答案（文科）1—12 . DBCAB DBBCC AB13.14.15.16.17．解析：（1）p为真时，得：..........................5分（2）命题对应的数集为，命题对应的数集为;因为是的必要不充分条件，所以..........................2分①时,满足∴②时，满足，∴③时，满足，∴综上得：. .................... .....3分18．解析：（1）圆可化为，∴圆心，半径，∴点在圆内， ......................3分点在圆外． ......................3分（2）斜率存在时，设，即....................1分斜率不存在时，条件亦成立，∴或． ...................2分（写错一个扣一分）19.解析：（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为, ......................2分∴ ......................1分∴抛物线方程为 .....................1分（2）由已知得直线AB的方程为........................1分将代入得=0设，则， ......................2分........................2分点O到直线AB的距离为: ...................2分∴的面积为........................1分20．解析：（1）设，，易知，∵，即，∴，， .....................4分又在上，∴，∴，∴动点的轨迹方程为：. .......................2分（2）设 ......................1分则到直线的距离为..................2分因为，所以当时取得最小值即 ........................2分∴∴ ........................1分21．解析：（1）根据抛物线的定义知，所以， ......................2分∵，∴，∴． .....................2分（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得， ......................2分所以.∵，即，∴，即，∴， ......................2分∴，，，∴， ......................2分令，，则.所以的最小值为. ......................2分22.（1）结合椭圆几何特征，可得、、在椭圆上， ......................1分所以, ......................2分解得方程为 ......................1分（2）设直线为，线段中点为，由点差法得，， ......................2分联立解得中点，∴......................1分（3）当直线的斜率存在时，设，联立椭圆C得∴，......................2分∴ ......................1分代入直线得：∴直线过定点 ......................1分当直线斜率的不存在时，经检验得也经过点......................1分综上得：直线过定点。
重庆市一中2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
重庆市一中2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于A. 6B. 4C. 3D.2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则b等于A. B. 6 C. D. 93.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为A. B. 2 C. 3 D.4.已知直线：与：平行，则与的距离为A. B. C. D.5.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，且，则A. 2B.C. 4D.6.椭圆上一点M到左焦点的距离是2，N是的中点，O为坐标原点，则的值为A. 4B. 8C. 3D. 27.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为A. B.C. D.8.若圆C：与圆E：有公共点，则r的范围A. B. C. D.9.若点O与点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 810.过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点在B的上方，且l与准线交于点C，若，则A. 2B.C. 3D.11.设是双曲线的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为A. B. C. D.12.设A，B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的于S，T两点，且，则的面积A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知1，，2，且，则______．14.已知定点，点P是圆上的动点，则AP的中点C的轨迹方程______．15.在正方体中，E分别为的中点，则AE与所成角的余弦值为______16.设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若，则直线l的方程为______．三、解答题（本大题共6小题）17.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．求A．若，，求的面积．18.如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与AB的中点．证明：平面；求与平面AEF所成角的正弦值．19.已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切．求圆M的标准方程；若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ求BE的长；Ⅲ若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．21.设抛物线C：的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点．求抛物线C的方程；若直线与抛物线C交于R，S两点，点N为曲线E：上的动点，求面积的最小值．22.已知椭圆C：上的点到右焦点F的最大距离为，离心率为．求椭圆C的方程；如图，过点的动直线l交椭圆C于M，N两点，直线l的斜率为，A为椭圆上的一点，直线OA的斜率为，且，B是线段OA延长线上一点，且过原点O作以B为圆心，以为半径的圆B的切线，切点为令，求取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：等差数列的公差d为2，且是与的等比中项，可得，即，则，故选：B．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，，由正弦定理，可得．故选：C．由已知利用正弦定理即可求解b的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，，即，，离心率．故选D．4.【答案】D【解析】解：直线：与：平行，可得，则由两平行直线的距离公式可得，则与的距离为，故选：D．直线：与：平行，即可得到a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查准线方程的运用，注意定义法解题，属于基础题．抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，解方程即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：的准线方程为，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，即有，可得，解得，解得．故选：D．6.【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义得：，由于中N、O是、的中点，根据中位线定理得：，故选：A．首先根据椭圆的定义求出的值，进一步利用三角形的中位线求得结果．本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理．7.【答案】A【解析】解：以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，，可得，，相减可得，且，，则弦所在直线的斜率，可得弦所在的直线方程为，即为．故选：A．设弦的端点的坐标分别为，，代入双曲线的方程，作差，结合平方差公式和中点坐标公式、直线的斜率公式，可得弦所在直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程．本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求直线方程，以及化简运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：圆C方程为：，圆心，半径为r，圆E方程为：，圆心，半径，圆C：与圆E：有公共点，，即，解得：，故选：C．先求出两圆的圆心和半径，因为两圆有公共点，所以圆心距大于等于两半径差的绝对值小于等于两半径之和，列出不等式即可求出r的取值范围．本题主要考查了圆与圆的位置关系，是基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题．先求出左焦点坐标F，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，，设点，则有，解得，因为，，所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，故选：C．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有，，若，则有，即，又由，则有，即有，变形可得，即，故选：A．根据题意，设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，由分析可得，又由平行线的性质分析可得，即可得，变形可，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意利用平行线的性质得到，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由于O为的中点，Q为线段的中点，则由中位线定理可得，，由与以线段为直径的圆相切于点Q，则，，由双曲线的定义可得，，即有，由，由勾股定理可得，即，则，即．的渐近线方程为．故选：C．运用中位线定理，可得，，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理得到，则C的渐近线方程可求．本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：双曲线的左右顶点为，，，可得直线PA的方程为，PB的方程为，联立可得，解得或，代入可得，即有，联立可得，解得或，代入，可得，即，设，由M，N，Q三点共线，可得，即有，将M，N的坐标代入化简可得，解得，即，设过Q的直线方程为，联立双曲线方程，可得，设，，可得，，恒成立，，可得，代入韦达定理可得，解得，可得．故选：A．求得双曲线的左右顶点，设出直线PA，PB的方程，联立双曲线的方程，求得M，N的坐标，设，运用M，N，Q三点共线的条件，以及向量共线的条件，求得，设过Q的直线方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，直线方程和双曲线方程联立，求交点和运用韦达定理，考查直线恒过定点，以及三角形的面积的求法，考查化简运算能力，属于难题．13.【答案】解：，，且，，解得，故1，，2，，，，，故答案为：【解析】由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得．本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．14.【答案】【解析】解：设，，由题意知：，化简得，故C的轨迹方程为．故答案为：．设，，列出方程组，消去参数，，即可得到C的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，2，，2，，0，，2，，，设AE与所成角为，则，与所成角的余弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为，若，可得，即有，，可得AB的中点M的纵坐标为，设，，则，过F的直线l的方程设为，代入抛物线的方程可得：，即有，解得，所以直线l的方程为．故答案为：．求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得P的坐标，得到AB中点M的纵坐标，设直线l为，代入抛物线的方程消去x，利用根与系数的关系求得k的值即可．本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题，也考查了中点坐标公式和直线与抛物线位置关系应用问题，是中档题．17.【答案】解：由．利用正弦定理可得：．，即，可得．，．由余弦定理可得：，可得：，化为：，解得：，．【解析】由利用正弦定理可得：再利用和差公式、三角函数求值即可得出．由余弦定理可得：，化简解得可得．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：如图，连接，在三棱柱中，E为的中点．又因为F为AB的中点，所以；又平面，平面，所以：平面．解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，4，，0，，2，，所以，0，，2，．设平面AEF的法向量为y，，则且，令，得0，．记与平面AEF所成，则．【解析】连接，利用中位线性质即可得证；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，再带入公式即可求解．本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．19.【答案】设圆M的标准方程为：，则圆心M到直线的距离为，由题意得，解得或舍去，所以，所以圆M的方程为．设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为，，又点到直线l的距离为，，解得，，则直线的方程为．【解析】根据题意设出圆的方程：，因为圆M与直线相切，得，求出a，r进而得出圆的标准方程．求出，及点P到直线l的距离，表示出，求出斜率k，进而得出直线方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.【答案】Ⅰ证明：底面ABCD，，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意0，，0，，2，，1，，2，，1，，0，，，．Ⅱ解：1，，的长为．Ⅲ解：，2，，由点F在棱PC上，设，，，，，解得，设平面FBA的法向量为，则，取，得，取平面ABP的法向量1，，则二面角的平面角满足：，二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出1，，0，，由，能证明．Ⅱ由1，，能求出BE的长．Ⅲ由，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．21.【答案】解：由题意得，圆的半径，解得：故抛物线的方程为．设点，，由直线l过抛物线的焦点，联立得，故，所以，由点N为曲线E上一点，设点，点N到直线l的距离，由，故当且仅当，即时，取等号，所以，又面积：，故面积的最小值为．【解析】由题意得，解得：，得到抛物线方程．设点，，由直线l过抛物线的焦点，通过联立方程组结合韦达定理，推出，由点N为曲线E，设点，点N到直线l的距离利用基本不等式转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：依题，，解得，，．椭C的方程为；由已知可得直线l的方程为：，与椭圆C：联立，得，由题意，设，，则，．弦，OA所在直线方程为，与椭C：联立，解得，．．令，则，则，得到，．令，由知，，换元得：，其中．．【解析】依题，结合离心率求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；由已知可得直线l的方程，与椭圆C：联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦，写出OA所在直线方程，与椭C：联立求得，得到，利用换元法求得的范围，把转化为含的代数式求解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．。
2019-2020学年重庆一中高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年重庆一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则a n =( )A. −2nB. 2nC. 2n −1D. 2n +1 2. 在△ABC 中，A =30°，B =135°，a =3，则边b =( )A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 已知平行直线l 1：3x +4y −34=0，l 2：12x +16y +37=0则l 1，l 2的距离为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知抛物线y 2=4x ，F 是其焦点，M 是抛物线上的任意一点，N(3,1)，则|MF|+|MN|的最小值为( )A. 6B. 5C. 4D. 36. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，O 为坐标原点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 57. 双曲线x 2−y 2=1的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线方程为 ( )A. y =2x −1B. y =2x −2C. y =2x −3D. y =2x +3 8. 圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0有公共点，则实数a 的取值范围是( )A. [−2√2,2√2]B. [−2√3,2√3]C. [−2,2]D. [−3,3]9. 已知点M(1,0)，A ，B 是椭圆x 24+y 2=1上的动点，且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [23,9]B. ［1，9］C. [23,1]D. [√63,3] 10. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 32B. 23C. 43D. 3411. 已知P 为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±35xD. y =±53x12. 已知双曲线mx 2−ny 2=1与直线y =1+2x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为√32，则mn 的值是( )A. −√3B. √3C. √32D. √33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(1,−2,2)，b⃗ =(−3,x，4)，已知a⃗在b⃗ 上的投影为1，则x=________．14.点P(4,−2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是____________．15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于______16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=−√3，则线段PF的长为_________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，侧棱BB1=2√3，△ABC为等腰直角三角形∠ACB=90°，AB=2√2，E，F分别是AC，B1C1的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面AA1B1B；(Ⅱ)若AB1=2，求直线EF与平面BB1C1C所成角的正弦值．19.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)２+(y−3)２=1交于M，N两点，求k的取值范围．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π，F3为PC的中点，AF⊥PB．(Ⅰ)求PA的长；(Ⅱ)求二面角B−AF−D的余弦值．21.已知抛物线y2=2px(p>0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B．(1)若|AB|⩽2p，求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，求的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M的圆心M(−78,0)，半径为r.点P为椭圆上的一点，若圆M与直线PA，PF都相切，求此时圆M的半径r．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题.利用a4是a2与a8的等比中项，求出a1，再利用等差数列的通项公式概念即可求得a n．【解答】解：由题意得等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=a1+2(n−1)，因为a4是a2与a8的等比中项，所以a42=a2a8，即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，解得a1=2，所以a n=2n．故选B．2.答案：C解析：解：因为A=30°，B=135°，由正弦定理asinA =bsinB可得b=3×√2212=3√2．故选：C．由正弦定理asinA =bsinB可求b即可求解．本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．4.答案：B=0，l2：12x+16y+37=0，即已知平行直线l1：12x+解析：解：已知平行直线l1：3x+4y−3416y−3=0，l2：12x+16y+37=0，=2，故它们之间的距离为√122+162故选：B．先把两条平行直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，得出结论．本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查了抛物线的应用．当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．【解答】解：抛物线：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线x=−1，根据抛物线定义可知|MF|=x M+1，∴当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，最小为3+1=4，∴|MF|+|MN|的最小值为4．故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的定义的应用，属于基础题．由题意，知OM是△PF1F2的中位线，则|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，所以|PF1|=4．【解答】解：由题意，知OM是△PF1F2的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，A解析： 【分析】本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．设直线l 斜率为k ，与双曲线方程联立方程组，由根与系数的关系及中点坐标列方程解出k. 【解答】解：设直线l 的方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1. 联立方程组{x 2−y 2=1y =kx −2k +1, 消元得：(1−k 2)x 2+2k(2k −1)x −(2k −1)2−1=0， ∴x 1+x 2=2k(2k−1)k 2−1=4，解得k =2.∴直线l 的方程为：y =2x −3． 故选C .8.答案：A解析： 【分析】本题考查圆与圆的位置关系及判定，属于一般题．求出两个圆的圆心，圆心的距离大于两半径之差的绝对值并且小于两半径之和，可得答案． 【解答】解：由题意，圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0有公共点， x 2+y 2−2ax +2y +a 2=0整理可得(x −a)2+(y +1)2=1， 从而有1≤√a 2+1≤3， 解之得，−2√2⩽a ⩽2√2， 故选A ．9.答案：A解析： 【分析】本题考查了椭圆与向量数量积的综合应用，向量数量积的最值问题，属于难题．设A 点坐标，根据向量数量积的坐标运算及点A 在椭圆上，建立关于点A 横坐标的函数关系式，即可求得向量数量积的最值． 【解答】解：设A(x 0,y 0)，已知MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x 0−1)2+y 02， 将A 点坐标代入椭圆，得x 024+y 02=1，所以y 02=1−x 024，代入上式可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−1)2+1−x 024=3x 024−2x 0+2 =34(x 0−43)2+23(−2≤x 0≤2)，所以(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =23，(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =9， 故选A ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．由题意画出图形，过点P 作准线的垂线交于点H ，则|PF|=|PH|，再由向量等式可得|MP||MF|=23，然后利用相似三角形对应边成比例可得|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 【解答】解：如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，则|PF|=|PH|，由FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得|MP||MF|=23， ∴|PH|p=|PH|2=|MP||MF|=23，解得|PH|=43，∴|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PH|=43． 故选：C ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．设直线PF 2与圆x 2+y 2=a 2相切于点M ，取PF 2的中点N ，连接NF 1，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF 2|=4b ，再由双曲线的定义和a ，b ，c 的关系及离心率公式，计算即可得到． 【解答】解：设直线PF 2与圆x 2+y 2=a 2相切于点M ， 则|OM|=a ，OM ⊥PF 2， 取PF 2的中点N ，连接NF 1，由于|PF 1|=|F 1F 2|=2c ，则NF 1⊥PF 2，|NP|=|NF 2|， 由|NF 1|=2|OM|=2a ， 则|NP|=√4c 2−4a 2 =2b ， 即有|PF 2|=4b ，由双曲线的定义可得|PF 2|−|PF 1|=2a ， 即4b −2c =2a ，即2b =c +a ，4b 2=(c +a)2，即4(c 2−a 2)=(c +a)2， 4(c −a)=c +a ，即3c =5a ，b =43a ， 则C 的渐近线方程为y =±ba x =±43x ． 故选A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线与直线的位置关系，属于中档题．把y=2x+1代入mx2−ny2=1，利用韦达定理，确定M的坐标，再利用过原点与线段AB中点的直线的斜率得答案．【解答】解：把直线y=2x+1代入mx2−ny2=1得：(m−4n)x2−4nx−n−1=0，设A、B的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，则有：x1+x2=4nm−4n，y1+y2=1+2x1+1+2x2=2+2(x1+x2)=2mm−4n，∴M的坐标为：(4nm−4n ,2mm−4n)，∴OM的斜率k=2m4n =√32，∴mn=√3．故选：B．13.答案：0解析：【分析】本题考查了空间向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题.利用投影的概念，数量积公式，求模公式计算出结果．【解答】解：∵a⃗=(1,−2,2)，b⃗ =(−3,x,4)，a⃗在b⃗ 上的投影为1，∴|a ⃗ |⋅cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=1． ∴|a ⃗ |⋅a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=−3−2x+8√9+x 2+16=1，∴−3−2x +8=√9+x 2+16， ∴x =0或x =203．又5−2x ≥0，即x ≤52， 故将x =203舍去．故答案为0．14.答案：(x −2)2+(y +1)2=1解析： 【分析】本题考查求轨迹方程的相关动点法，设所求中点为(x,y)，圆上任意一点为A ，确定A 与AP 中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论． 【解答】解：设圆上任意一点为A(x 1,y 1)，AP 中点为(x,y)， 则{x =x 1+42y =y 1−22， ∴{x 1=2x −4y 1=2y +2， 将点A(x 1,y 1)代入x 2+y 2=4， 得：(2x −4)2+(2y +2)2=4， 化简得：(x −2)2+(y +1)2=1， 故答案为(x −2)2+(y +1)2=1．15.答案：90°解析：解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1(0,0，2)，B(2,0，0)，C 1(2,2，2)，E(0,1，0)， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,−2)， 设异面直线A 1B 与C 1E 所成角为θ， 则cosθ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8⋅√9=0，∴θ=90°．∴异面直线A 1B 与C 1E 所成角等于90°． 故答案为：90°．以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B 与C 1E 所成角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16.答案：6解析： 【分析】本题主要考查了抛物线的性质与几何意义，抛物线与直线位置关系，直线方程的运用，考查了分析和运用能力，属于中档题．先根据抛物线方程得到焦点坐标F (32,0)，再根据直线AF 的斜率k =−√3，运用点斜式求出直线AF 方程，然后根据PA ⊥l ，A 为垂足，求出点A 的坐标，进而求出点P 的坐标，最后结合抛物线的性质即可求解． 【解答】解：由抛物线方程为y 2=6x ，所以焦点坐标F (32,0)，准线方程为x =−32， 因为AF 的斜率为−√3，所以直线AF 的方程为y =−√3(x −32)， 当x =−32时， y =3√3， 所以A (−32,3√3)，因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为3√3，可得P 点的坐标为(92,3√3)， 根据抛物线的定义可知|PF |=|PA |=92−(−32)=6， 故答案为6．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，=8．∴a=30×44+5+6解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)取A1B1的中点M，连接MA，MF．因为F，M分别是B1C1，A1B1的中点，A1C1．所以MF//A1C1，且MF=12A1C1，在棱柱ABC−A1B1C1中，AE//A1C1，且AE=12所以MF//AE，且MF=AE，所以四边形AEFM是平行四边形，所以EF//AM．又AM⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，所以EF//平面AA1B1B.(Ⅱ)AB1=2，BB1=2√3，AB=2√2．所以BB 12=AB 12+AB 2，所以AB 1⊥AB ．又因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，且平面AA 1B 1B ∩平面ABC =AB ， 所以AB 1⊥平面ABC ，在平面ACB 1内，过点C 作Cz//AB 1，因为AB 1⊥平面ABC ，所以Cz ⊥平面ABC ． 建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，AB =2√2． 所以AC =BC =2，则C(0,0，0)，B(2,0，0)，B 1(0,2，2)， C 1(−2,2，2)，E(0,1，0)，F(−1,2，2)．EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，2)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)． 设平面BB 1C 1C 的个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =02y +2z =0．得x =0，令y =1，得z =−1， 故n⃗ =(0,1,−1)． 设直线EF 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， 则，所以直线EF 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．解析：本题考查直线与平面平行的判定定理以及空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题． (1)取A 1B 1的中点M ，连接MA ，MF.先证得四边形AEFM 是平行四边形，得到EF//AM ，再通过直线与平面平行的判定定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，进而求出这两个向量夹角的余弦值，即可得到答案．19.答案：解：由题设，可知直线l 的方程为y =kx +1，即kx −y +1=0．圆C ：(x −2)２+(y −3)２=1中，圆心坐标为(2,3)，半径r =1， 因为l 与C 交于两点，所以圆心到直线的距离d =√1+k 2<1=r ．解得4−√73<k <4+√73．所以k 的取值范围为(4−√73,4+√73) ．解析：本题考查直线与圆相交问题．设直线l 的方程为y =kx +1，利用直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径得到√1+k 2<1即可解出k 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC =CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ，以O 为坐标原点，OB ⇀，OC ⇀，AP ⇀的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Q −xyz ， 则，而AC =4，得AO =AC −OC =3.又故A(0,−3,0)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，D(−√3,0,0)因PA ⊥底面ABCD ，可设P(0,−3,z)，由F 为PC 边中点， F(0,−1,z2).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,z 2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,−z).因AF ⊥PB.故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即6−z22=0,z =2√3(舍去z =−2√3)，所以|PA ⇀|=2√3(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，√3). 设平面PAD 的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1),由n ⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−√3x 1+3y 1=02y 1+√3z 1=0 因此可取n ⃗ =(3,√3,−2)．设平面FAB 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2). 由n 2⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x 2+3y 2=02y 2+√3z 2=0因此可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2).从而法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为故二面角B −AF −D 的余弦值为18解析：本题在三棱锥中求线段PA 的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．(I)连接BD 交AC 于点O ，等腰三角形BCD 中利用“三线合一”证出AC ⊥BD ，因此分别以OB 、OC 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A 、B 、C 、D 各点的坐标，设P(0,−3,z)，根据F 为PC 边的中点且AF ⊥PB ，算出z =2√3，从而得到PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)，可得PA 的长为2√3； (II)由(I)的计算，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，√3).利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出m ⃗⃗⃗ =(3,√3,−2)和n ⃗ =(3,−√3,2)分别为平面FAD 、平面FAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B −AF −D 的余弦值．21.答案：解：设l ：y =x −a ，代入到y 2=2px 得：x 2−2(a +p)x +a 2=0 ，，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√2|x 1−x 2|， ∵|AB|⩽2P ，∴2(x 1−x 2)2⩽4p 2，∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2⩽2p 2， ∴4(a +p)2−4a 2⩽2p 2，4ap ⩽−p 2⇒a ⩽−p4， ∴−p2<a ⩽−p4．(2)由(1)得，Q (a +p,p )，则直线QN ：y =−x +a +2p ， 令y =0，则N(a +2p,0)， ∴|MN|=a +2p −a =2p ，．解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． (1)设l ：y =x −a ，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出|AB|， 建立关于a 的不等式即可求解．(2)根据(1)求出直线QN：y=−x+a+2p，则N(a+2p,0)，则|MN|=a+2p−a=2p，即可求得△MNQ的面积．22.答案：解：(1)设椭圆C的焦距为2c，∵椭圆的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5，∴{ca=14,a+c=5,解得{a=4,c=1,,∴b2=15．∴椭圆C的方程为x216+y215=1．(2)由题意得A(−4,0)，F(1,0)，设点P的坐标为(x0,y0)，则x0216+y0215=1．①当x0=1时，直线PF：x=1，∵PF与圆M相切，则r=1−(−78)=158，此时P(1,154)，则直线PA：y=1541−(−4)(x+4)，即3x−4y+12=0，∴点M到直线PA的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r，∴直线PA与圆M相切，∴当r=158时，圆M与直线PA，PF都相切；②当x0=−4时，点P与点A重合，不符合题意；③当x0≠1且x1≠−4时，直线PA：y=y0x0+4(x+4)，PF：y=y0x0−1(x−1)，化简得PA：y0x−(x0+4)y+4y0=0，PF：y0x−(x0−1)y−y0=0．∵圆M与直线PA，PF都相切，∴|−78y+4y|√y0+(x0+4)2=|−78y−y|√y0+(x0−1)2=r．∵y0≠0，则将y02=15(1−x0216)代入化简得x02−122x0+121=0，解得x0=1或x0=121，∵−4<x0<4且x0≠1，∴无解．综上，r=158.解析：本题考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力以及方程思想、分类讨论思想．(1)根据离心率与AF的长建立关于a，c的方程组求出a，c的值，从而求得b的值，进而得到椭圆方程；(2)由题意求出点A，F的坐标，设P(x0,y0)，代入椭圆方程，然后分x0=1，x0=−4，x0≠1且x0≠−4三种情况求出直线PA，PF的方程，根据与圆相切的条件利用点到直线的距离公式求解即可．。