复变函数(全)解析
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
§5.9复变函数的导数与解析函数
（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
初数数学中的复变函数公式详解
初数数学中的复变函数公式详解在初等数学中，我们学习了很多关于实数的运算和函数的概念。
然而，在高等数学中，我们会遇到更加复杂且抽象的数学对象，其中之一就是复变函数。
复变函数是定义在复数域上的函数，它既包含了实变函数的性质，又有一些独特的特点。
在本文中，我们将详细解析一些与复变函数相关的重要公式。
1. 欧拉公式欧拉公式是复变函数中最为著名的公式之一。
它将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i以及三角函数之间建立了一个重要的数学关系。
欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0这个公式将复数的指数函数、三角函数和虚数单位统一了起来，展现了复数的神奇和优雅之处。
2. 复变函数的导数公式在实变函数中，我们学习了导数的概念和求导法则。
同样地，对于复变函数，我们也可以定义导数。
对于一般的复变函数f(z)，其导数f'(z)的定义如下：f'(z) = lim(Δz→0) [f(z+Δz) - f(z)] / Δz其中Δz是一个无穷小的复数。
利用导数的定义，我们可以推导出复变函数导数的一些重要公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的导数公式。
这些公式在复变函数的研究中起到了非常重要的作用。
3. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复变函数理论中的基本方程之一。
它描述了复变函数的解析性质，是判断复变函数是否可导的重要依据。
假设有一个复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy为复变数，u(x,y)和v(x,y)为它的实部和虚部。
根据柯西-黎曼方程的定义，当函数f(z)可导时，其满足以下两个偏导数条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x这两个方程可以判断函数f(z)是否具有解析性，即在某个区域内是否可导。
4. 柯西积分公式柯西积分公式是复变函数中的重要定理之一。
它描述了函数在某个闭合曲线内的积分与曲线所围成的区域内的函数值之间的关系。
假设有一个复变函数f(z)在某个区域内解析，且有一条闭合的简单曲线C，围成的区域为D。
复变函数解析函数
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 1 ) n lim nz0 1 z z0 z z0
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
思考题
2
实 函 数 中 f ( x ) x 在( , )内 可 导 , ; 复 函 数 中 f (z) z 的 可 导 性 , ?
2
1 例2 已 知 f ( z ) ( z 5 z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
z 0
lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续
二. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析；
如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记做 limf(z)A 或 f(z) A (z z0 ).
zz0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
v
w f(z)
z0 d
o
xo
(w)
e
A
u
几何意义: 当变点z一旦进
入z0 的充分小去 心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
(最新整理)(完整版)复变函数解析函数
2021/7/26
1
第二章 解析函数
2.1 复变函数的概念 2.2 解析函数的概念 2.3 解析的充要条件 2.4 初等函数
2.1 复变函数的概念、极限与连续性
复变函数的概念
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
0)
A
zz0 g(z) l i mg(z) zz0
B
zz0
以上定理用极限定义证!
例1
证明 wx2yi(xy2)在平面上处处 . x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求 f(z)zz
z 在 z0时的极 . 限 z
f(z)2(xx22yy22)在(0,0)处极限不 . 存在
例3
证 明 f(z)Rez z在z0时 的 极 限.不 存
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
复变函数的全纯性与解析性
复变函数的全纯性与解析性复变函数是数学中重要的一个分支，它研究在复数域上定义的函数。
全纯性与解析性是复变函数理论中的两个基本概念，它们具有重要的性质和应用。
本文将介绍复变函数的全纯性与解析性，以及它们之间的关系和应用。
一、全纯性的定义与性质在复变函数中，全纯性是一个基本概念。
一个函数在某个区域内全纯，意味着它在该区域内的导数存在且连续。
更具体地说，设$f(z)$是定义在区域$D$上的一个复函数，如果$f(z)$在$D$内对$z$可导，并且其导函数$f'(z)$在$D$内连续，那么称$f(z)$在$D$内全纯。
全纯函数具有一系列重要的性质。
首先，全纯函数的导数也是全纯函数。
这意味着全纯函数的导函数可以通过求导得到。
其次，两个全纯函数之和、之差和之积仍然是全纯函数。
此外，全纯函数的复合函数也是全纯函数。
这些性质使得全纯函数在实际应用中具有很大的灵活性和可操作性。
二、解析性的定义与性质解析性是复变函数理论中比全纯性更强的一个概念。
一个函数在某个区域内解析，意味着它在该区域内可以展开为幂级数。
更具体地说，设$f(z)$是定义在区域$D$上的一个复函数，如果对于$D$内的任意一点，存在一个圆内的幂级数，使得该幂级数在该点的收敛域包含该点，且在该圆内等于$f(z)$，那么称$f(z)$在$D$内解析。
解析函数具有一些重要的性质。
首先，解析函数在其展开圆内是无穷次可导的，并且导函数等于原函数的幂级数的导数。
其次，解析函数的高阶导数也是解析函数。
此外，两个解析函数之和、之差和之积也是解析函数。
这些性质使得解析函数在数学分析、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
三、全纯性与解析性的关系全纯性是解析性的一个充分条件，但不是必要条件。
也就是说，全纯函数一定是解析函数，但解析函数不一定是全纯函数。
这是因为全纯函数的导数连续，而解析函数只需要在展开圆内的幂级数收敛域内存在。
因此，全纯函数在展开圆外可能存在奇点，而解析函数则可以在展开圆外存在奇点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2
1
2
1
2
乘法
z z (x x y y ) i(x y x y ),
12
12
12
21
12
商
z 1
xx 12
yy 12
i
xy 21
xy 12
z
x2 y2
x2 y2
2
2
2
2
2
第一节 复数及其代数运算
(2)性质
z z z z , zz zz;
1
2
2
1
12
21
z (z z ) (z z ) z ,z (z z ) (z z )z
1
2
3
1
2
3 1 23
12 3
z (z z ) z z z z
12
3
12
13
第二节 复数的几何表示
1.复平面 （ 1 ） 定 义 复 数 z x iy 与 有 序 实 数
(x, y) 一一对应，对于平面上给定的直角 坐标系，复数的全体与该平面上的点的全
体成一一对应关系，从而复数 z x iy 可
对复平面内任一点z ,用一条直线将N 与z 连结起来,该直线与球面交于异于N 的 唯一点P ,这样除了N 之外,复平面内点与 球面上的点存在一一对应的关系.这样的 球面称为复球面.
第三节 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设有两个复数
（1）乘积
z1
r1 (cos 1
sin1 )
r e i1 1
,
z2
r2 (cos2
z2 r2
第二节 复数的几何表示
2.幂与根 (1) 幂 n个相同复数z 的乘积称为z 的n次幂,记作zn ,即
z n z zz r n (cos n sin n )
n
第二节 复数的几何表示
(2)方根 设z 已知，把满足方程 n z 的 称为z 的n 次根,记作 n z ,即
n z r1 n (cos 2k i sin 2k)
第一节 复数及其代数运算
注：两个复数相等,必须且只须它们的 实部和虚部分别相等.一个复数为0 ,必 须且只须它们的实部和虚部分别为0 .
第一节 复数及其代数运算
2 复数的代数运算
(1)定义 两个复数z x iy , z x iy
1
1
12
2
2
加减法 z z (x x ) i( y y ) ,
对于集合G 中的每一个复数z , 就有一个或 几个复数w u iv 与之对应,那么称复变数 w是复变数z 的函数(简称复变函数),记作
z f (z)
集合G 称为 f (z) 定义集合(或定义域),对应于 G中所有z 的一切w 值所成的集合G 称为函数
值集合.
第五节 复变函数
2.映射的概念
如果用z 平面上的点表示自变量z 的值， 而用另一个平面—w 平面上点表示函数w 的 值，那么函数w f (z) 在几何上就可以看做 是把 z 平面上的点集G 变到w 平面上点集G
sin2 )
r e i2 2
,
三角表示
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) sin(1 2 )]
指数表示
z z r r e 1 2
i ( 1 2 ) 12
第三节 复数的乘幂与方根
（2）商
三角表示
z1 z2
r1 r2
[cos(1
2)
sin(1
2 )]
指数表示
z r e 1
1 i ( 1 2 )
的映射（或变换）这个映射通常简称为由函
数w f (z)所构成的映射.如果G 中的点z 被 映射w f (z) 映成G 中的点w ,那么w 称为 z 的象(映象),而z 称为w 的原象.
第六节 复变函数的极限和连续性
1. 复变函数的极限
定义 设函数w f (z)定义在z 的去心邻 0
0
0
记作arg z .
当z 0 时, z 0 ,辐角不确定.
第二节 复数的几何表示
(4) 复数的三角表示 z r(cos sin )
(5) 复数的指数表示
z rei
第二节 复数的几何表示
2 复球面 取一个与复平面切与原点的球面,球
面上一点S 与原点重合,过S 作垂直于复平 面的直线与球面相交于另一点N ,称N 为 南极,S 称为北极.
P 不属于D ，但在P 的任意小的邻域内总 有包含D 中点，则P 点称为D 的边界点,D 的所有边界点组成D 的边界,区域D 与它的 边界一起构成闭区域或闭域,记作D .
第四节 区 域
(5)有界,无界
如果一个区域D 可以被包含在一个以原点 为中心的圆里面,即存在正数M ,使区域D
的每一个点 z 都满足 z M ,那么D 称为有
用该平面上的点(x, y) 来表示，此时，x 轴 称为实轴，y 轴称为虚轴，两轴所在的平
面称为复平面或z 平面
ห้องสมุดไป่ตู้
第二节 复数的几何表示
(2)复数的模
复数z x iy 的模为 z x2 y2
(3)复数的辐角
复数 z x iy 的辐角定义为
Argz 2k 0
其中 满足 称为 Argz 的主值,
n
n
第四节 区 域
1.区域的概念
(1) 邻域
平面上以z 为中心, (任意的正数)为半 0
径的圆: z
z 0
内 部 的 点 的 集 合 称 为z 0
的
邻域,而称不等式0 z z 所确定的点集 0
为z 的去心邻域. 0
第四节 区 域
(1)开集
设G 为平面点集,z 为G 中任意一点, 0
如果存在z 的一个邻域,该邻域内的所有点 0
都属于G ,那么称z 为G 的内点.如果G 内的 0
每个点都是G 的内点,那么称G 为开集.
第四节 区 域
(3) 区域 平面点集D 称为一个区域,如果D 满足下列 两个条件:
1)D 是一个开集;
2)D 是连通的,即D 中任意两点都可以
用完全属于D 的折线连接起来.
第四节 区 域
（4） 闭区域 设D 为复平面内的一个区域，如果点
界的,否则称为无界.
第四节 区 域
2.单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B ,如果在其中任
意作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属 于B ,就称为单连通域.如果一个区域不是 单连通域,就称为多连通域
第五节 复变函数
1.复变函数的定义
定义 设G 是一个复数 z x iy 的集合,
如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,
第一节 复数及其代数运算
1 复数的概念 对 任 意 二 实 数 x, y , 称 z x iy 或
z x yi 为复数,其中x, y 分别称为z 的实部
和虚部,记作 x Re(z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时,z iy 称 为纯 虚数 ; 当 y 0时,x x i0可看作实数x .