第一章 复变函数和解析函数解析
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中的一个重要概念，它涉及到复数的运算和函数的性质。
解析函数则是复变函数中的一种特殊情况，具有更加丰富的性质和应用。
本文将介绍复变函数和解析函数的概念、性质以及它们在数学和科学领域的应用。
一、复变函数的概念与性质复变函数是将复数集合映射到自身的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
通常用f(z)表示复变函数，其中z为复数。
复变函数可以通过实部和虚部进行表示，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别为实部和虚部，而x和y分别为实部和虚部的变量。
复变函数的性质与实数函数类似，包括函数的连续性、可导性、积分等。
然而，复变函数有些独特的性质，比如解析性。
二、解析函数的概念与性质解析函数是复变函数的一种特殊情况，它在其定义域内处处可导，即在定义域内的任意一点，函数都存在导数。
解析函数的导数可以通过常规的求导法则得到，与实数函数类似。
解析函数具有一系列重要的性质，包括解析函数的导数仍然是解析函数，解析函数的导数序列收敛于该函数在某一点的幂级数展开式，以及柯西—黎曼方程等。
这些性质为解析函数的研究和应用提供了坚实的数学基础。
三、复变函数与解析函数的应用复变函数和解析函数在数学和科学领域有广泛的应用。
首先，它们在复数的运算和分析中起着重要的作用，比如复数的加减乘除、复数的共轭和模等运算。
复变函数和解析函数还可以用于解决一些实变函数无法解决的问题，比如研究复变函数的奇点和留数等。
此外，复变函数和解析函数在物理学、工程学和金融学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，它们可以用于描述电磁场、量子力学和热力学等现象。
在工程学中，它们可以应用于信号处理、电路分析和控制系统等。
在金融学中，它们可以用于描述金融市场的变动和风险评估等。
总结起来，复变函数和解析函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
它们不仅仅是理论研究的基础，还在实际问题的解决中发挥着关键作用。
复变函数解析函数例子
复变函数解析函数例子1. 什么是复变函数复变函数，即复数域上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
复变函数是数学中重要的概念，它在物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的解析函数是其中一个重要的概念，在本文中将详细介绍解析函数的例子及其应用。
2. 解析函数的定义解析函数，也称为全纯函数或可导函数，是指在某个区域内可导的复变函数。
具体而言，如果一个复变函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内是解析的。
解析函数具有一些重要的性质，主要包括：连续性、解析性、无奇点、全局可导等。
这些性质使得解析函数在许多领域都有广泛的应用。
3. 解析函数的例子3.1. 多项式函数多项式函数是最简单的解析函数之一。
对于一个具有形如f(z)=a n z n+a n−1z n−1+...+a1z+a0的多项式函数，它在整个复平面上都是解析的。
多项式函数的导数可以通过逐项求导得到，因此它是解析函数。
多项式函数的例子包括：f(z)=z2+2z+1、f(z)=z3−3iz2+z−i等。
这些函数在整个复平面上都是连续且解析的。
3.2. 指数函数指数函数是另一个常见的解析函数。
对于形如f(z)=e z的指数函数，它在整个复平面上都是解析的。
指数函数具有许多重要的性质，比如e z1+z2=e z1e z2和e iθ= cos(θ)+isin(θ)。
指数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，比如在电路分析、量子力学等方面。
它可以表示增长速度、周期性等问题。
3.3. 三角函数三角函数也是常见的解析函数。
对于形如f(z)=sin(z)和f(z)=cos(z)的三角函数，它们在整个复平面上都是解析的。
三角函数具有许多重要的性质，比如sin(z)=12i (e iz−e−iz)和cos(z)=1 2(e iz+e−iz)。
它们在数学、物理、工程等领域中广泛应用，比如在波动、振动等问题中。
4. 解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，下面列举其中一些常见的应用：4.1. 数学领域在数学领域中，解析函数被广泛应用于复分析、调和分析等方面。
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
复变函数、解析函数
（2） f ( z ) x y ixy
解 f ( z)在 z 1 i 处 可 导 ， 在 复 平 面 上 处
处不 解 析.
（ 3 ） f ( z ) x 2 iy
1 解 f ( z )在 直 线 x 上可 导 ， 在 复 平 面 上 处 处 2 不 解 析.
例5 证明：如果w u ( x, y ) iv( x, y )为解析函数，
1 2 1 2 f ( z ) u iv x y xy i (2 xy y x C ) 2 2 i 2 i 2 2 (令x z , y 0) z z Ci (1 ) z Ci, 2 2 1 i 2 i f (i ) 1 i, c f ( z ) (1 ) z 2 2 2
复变函数、解析函数
复数域与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R x Re z, y Im z , i
复 数 z x iy 有 序 数 组 ( x, y ) 注 意 ： 复 数 不 能 比 较 小
1
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复平面上的点P ( x, y )或向量OP 3. z r (cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei （指数表示法）
一个复变函数 例如：
二个二元实函数
w f ( z ) z 2 ( x iy) 2 x 2 y 2 2ixy, u ( x, y ) x 2 y 2 , v( x, y ) 2 xy
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
极限 lim f ( z ) w0 ( w0 u0 iv0 )
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
一 解析函数的定义
若函数 f (z) 在 z0 点及其邻域上处处可导，则称 f (z) 在 z0 解析，在区域 B 上每一点都解析，则称 f (z) 是区域
上的解析函数。
二 解析函数的性质
1 解析函数的实部与虚部通过C — R 方程互相联系，知
其中一个函数，可求另一个函数。
例：已知解析函数 f (z) 的虚部 v(x, y) x x2 y 2
2k
i( )
方根： n z n e n n ， k 0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
欧拉公式 ei cos i sin 的证明
lim
z 0
w z
lim
0
u(
, )
iv(
,) ( )e i
u(,)
iv( , )
lim
u(
x0
,)
u(,)
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述
数学一大纲更新解析复变函数与积分变换内容概述近年来，数学一考试大纲进行了一次重要的更新。
其中，复变函数与积分变换成为了考试的重要内容。
本文将对这一部分内容进行深入解析，为考生提供全面的了解和学习指导。
一、复变函数的基本概念与性质复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
相比于实变函数，复变函数的研究更加复杂和丰富。
在数学一大纲的更新中，复变函数的基本概念与性质成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍复变函数的定义、极限、连续性、导数等基本概念，以及相关的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）二、复变函数的解析复变函数的解析是复变函数理论的核心内容之一。
全纯函数的概念及其性质是解析理论的重要内容。
（这里可以逐步介绍全纯函数的定义、Cauchy-Riemann方程等相关概念和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）三、积分变换的基本概念与性质积分变换是数学中一种重要的工具。
通过积分变换，我们可以将函数从一个域转化到另一个域，从而简化问题的求解过程。
在数学一大纲的更新中，积分变换成为了重要的考点。
（这里可以逐步介绍积分变换的基本概念、拉普拉斯变换、傅里叶变换等常见的积分变换方法以及它们的性质和定理。
可以用例题来帮助解释，加深理解。
）四、复变函数的应用复变函数在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它既是求解数学问题的有力工具，也是研究现实问题的重要手段。
（这里可以逐步介绍复变函数在电路分析、流体力学、信号处理等领域中的应用。
可以用例题或实际问题来展示其应用价值。
）总结：通过本文的解析，我们了解到复变函数与积分变换作为数学一大纲更新的重要内容，对数学一考试具有重要的意义。
同时，我们也了解到复变函数与积分变换的基本概念、性质和应用领域，为考生提供了全面的学习指导。
通过深入研究和理解复变函数与积分变换的知识，考生可以更好地应对数学一考试中与此相关的题目和问题。
希望本文能够对大家的学习和备考提供帮助。
祝各位考生取得优异的成绩！。
复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
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u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
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据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
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(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
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2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
在复平面上取极坐标，则
z (cos i sin ) ei（尤拉公式，证明见第三章）
2)实变函数导数：比值的左、右极限存在且相等; 复变函数导数：比值极限应与△z→0的方式无关，或△z沿 一切可能方式→0的极限都存在且相等。
显然复变函数导数存在的条件比实变函数严格的多。
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第一章 复变函数和解析函数
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2 Cauchy-Riemann条件
2.1 C-R条件— f(z)可导的必要条件
无限多值，除0、∞外都有对数.
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第一章 复变函数和解析函数
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复习
1.C-R条件，复变函数f(z)可导的充要条件？
2.实变二元函数v(x,y)全微分？
3.实变函数积分与路径无关的条件？
4.多元函数偏导数的定义？
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第一章 复变函数和解析函数
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1.2导数
f(z)在z单值连续，lim
乘除: 利用 i2 1， z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
z z x2 y2 z 2 z2 z2
z1 z2
z1 z2 z2 2
采用指数形式更方便
z1 z 2
e , i(12 ) 12
z1 z2
e 1 i(12 ) 2
乘方开方: z n nein
第一章
复变函数和解析函数
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第一章 复变函数和解析函数
1
简介
基本内容： 基本应用：
复数、复变函数、解析函数、解析 的充要条件、解析函数的几何意义 及物理解释. C-R条件的应用
重
点：
解析函数（是本章的重点，也是 本篇的重点）
难 点： 已知解析函数的实部（或虚部）求 该解析函数（加强训练）
n
z
n
i
e n
n
ei
1 n
(0
2
k
)
(k=0,1,2，…，n-1)是n值函数.
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第一章 复变函数和解析函数
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2 无穷远点
复数球 测地投影：一一对应 无限远是一点： 复平面上的∞与北极N对应 复数0和∞的幅角无意义.
复数列 zn xn iyn
(n=1,2，…)的极限问题
复平面上点列(xn , yn )
12
3)初等函数： 名称、形式与实初等函数相同，但其性质却有不同,如：
ez ezi2 纯虚周期2i
sin z eiz eiz 2i
， cos z eiz eiz 2
sin z , cos z 无界，如 cos z e ziyi y e y
2
ln z ln(ei ) ln i(0 2n ) (0 0 2 )
f (z z) f (z)
存在，
z0
z
则称f(z)在z可导，该极限称为f(z)在z点的导数，记作
df f (z) lim f (z z) f (z)
dz
Z 0
z
1)定义形式与实变函数的导数同
实变函数的求导法则及实初等函数的导数 公式均适用于复变函数的导数,例
(c1 cos z c2 z 2 ) c1 sin z 2c2 z
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第一章 复变函数和解析函数
2
§1.1复数的基本概念
❖ 1 复数及其代数运算 ❖ 2 无穷远点
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第一章 复变函数和解析函数
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i 1
1 复数及其代数运算
❖ 复数z=x+iy
❖ 实部Rez=x 虚部Imz=y
i 1 i2 1
❖ 虚数单位
（或
）
❖ 1.1代数式 z x iy
模 z x2 y2
幅角
arg z arctg y
x
，具有不唯一性
取0(0 0 2 )为 arg z 的主值，则
0 2n
（多值函数的多值性与幅角的不唯一性有密切关系）
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第一章 复变函数和解析函数
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1.4代数运算 加减:实、虚部分别相加减 z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(n=1,2，…)的极限问题.
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第一章 复变函数和解析函数
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§1.2复变函数及其导数 CauchyRiemann条件(P3)
❖ 1 复变函数及其导数
❖ 2 Cauchy-Riemann条件
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第一章 复变函数和解析函数
9
1 复变函数及其导数
1.1复变函数 1)区域的概念（P7§1.3）
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第一章 复变函数和解析函数
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2.2 f(z)可导的充要条件 ux , u y , vx , vy 存在、连续且满足C-R条件(证明：详见P6).
z z0
x0
x
u i v x x
z iy,
lim
z0
f z
lim u(x, y y) iv(x,
iy0
y y) u(x, y) iv(x, y) iy
1[u i v ] i y y
二者相等 C-R条件
类似在极坐标系中
沿径向不变z
沿横向不变z
ei iei
二比值极限相等 C-R条件.