线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

数学系数052 蒋春

摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。

关键词：线性方程组 空间直线 系数矩阵 增广矩阵 矩阵秩 线性相关性

引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。

1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系

设线性方程组：1111

2

222a x b y c l a x b y c l +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩

因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）：

()11

22

1a b a b ≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○2平行的充分必要条件是：

()111

222

2a b c a b c =≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ○3重合的充分必要条件是：

()111

222

3a b c a b c ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为

1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，111222a b c B a b c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

现记线性方程组增广矩阵的列向量

112a a α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122b b α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，132c c α⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

则

○1：由条件（1）相交的充分必要条件是（不重合）：

1α与2α线性无关，

即[]1112220a b A a b αα⎡⎤==≠⎢⎥⎣⎦

或则Rank(A)=2 几何图形：

○

2由条件（2）平行的充分必要条件是： 1α与2α线性相关，1α、2α、3α线性无关，

Rank(A)=1, Rank(B)=2 几何图形：

○

3由条件（3）重合的充分必要条件是： 1α、2α、3α线性相关，

即Rank(A)= Rank(B)=1 几何图形：

例：直线1l 与2l 的方程分别为

269x y +=，4127x y +=确定他们的位置关系。 解：2626,41200⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭26926941270011⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

262691,24124127Rank Rank ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即26412⎛⎫ ⎪⎝⎭线性相关，2694127⎛⎫

⎪⎝⎭线性无关

∴直线1l 与2l 是相互平行（不重合的）。

2：三元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系

设线性方程组

11111222223

3333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ

++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪

++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩ 由解析几何知i i i i a x b y c z d ++=是空间内一个平面i π 两平面相交的充要条件是[]1

：

111222::::a b c a b c ≠ 平行的充要条件是

1111

2222

a b c d a b c d ==≠ 重合的充要条件

1111

2222

a b c d a b c d === 即相交的充要条件是

1

112

2

22a b c rank a b c ⎛⎫=

⎪⎝⎭

平行的充要条件是

1

112

2

21a b c rank a b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭且1

1

112

22

22a b c d rank a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭

重合的充要条件

即1

1112

22

21a b c d rank a b c d ⎛⎫=

⎪⎝⎭

设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为

11

12

223

3

3a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1

1

1122223

33

3a b c d B a b c d a b c d ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

现记线性方程组增广矩阵的列向量

1123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1223b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1323c c c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1423d d d α⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

现记线性方程组系数矩阵的行向量

[]1111a b c β=[]2222a b c β=[]33

3

3a b c β=

线性方程组增广矩阵的行向量

[]11111a b c d γ= []22222a b c d γ= []33

33

3a b c d γ=

由《高等数学》第五版 []2

我们知1β，2β ，3β是平面1π ，2π，3π的法向量

(1): 当()1233Rank ααα=时，()12343Rank αααα=。这时方程组有唯一解。

几何意义：三个平面相交于一点。 几何图象：

图形说明：三个1π ，2π，3π交于一点。 （2）当()12

32Rank ααα=即()1232Rank βββ=时

○1当()1

2342Rank αααα=时，参考《线性代数》[]3

方程组有无数个解，且导出组的基础解系只有一个解向量。 几何意义：三个平面交于一条直线。

1，()1232Rank γγγ=且123γγγ中有两个向量相关。

几何意义：两个平面重合与第三个平面相交于一条直线。 几何图形：

图形说明：有两个平面（不访设为1π ，2π）重合与第三个平面（3π）相交于一条直线。 2，()12

32Rank γγγ=且123γγγ中两两向量无关。

几何意义：三个平面两两交于一条直线。 几何图形：

图形说明：三个平面1π ，2π，3π两两交于一条直线。

○2当()1

2343Rank αααα=时

由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组没有解。

1123,,βββ中有两个相关