滤波反投影法 (1)
滤波反投影法 (1)
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子 ；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。
滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数 。图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
滤波反投影法的实施步骤
滤波反投影法的实施步骤1. 简介滤波反投影法（Filtered Back Projection, FBP）是一种重建计算机体层成像（Computed Tomography, CT）图像的方法。
它通过对一系列飞行时间或射线投影数据进行滤波和反投影操作，来恢复被测物体的内部结构信息。
本文将详细介绍滤波反投影法的实施步骤。
2. 数据获取首先，我们需要获取一系列的投影数据。
投影数据是通过将被测物体从不同角度进行透射扫描而得到的，通常使用X射线或者其他形式的射线。
3. 数据预处理在进行滤波反投影之前，我们需要对投影数据进行一些预处理操作。
这些操作包括：去除背景噪声、校准投影数据以及执行各种纠正操作，以确保数据的准确性和一致性。
4. 滤波操作滤波操作是滤波反投影法中的关键步骤，它通过对投影数据进行频域滤波来增强图像的对比度和细节信息。
常用的滤波方法包括：Ram-Lak、Shepp-Logan、Hann窗等。
5. 反投影操作在经过滤波操作后，我们需要进行反投影操作来恢复原始图像。
反投影是将滤波后的投影数据逆向投影回图像空间的过程。
反投影操作涉及到几何重建算法和数学运算，可以使用快速反投影算法（FFT-based Back Projection）等高效算法来加快图像重建速度。
6. 重建图像优化得到初步的重建图像后，我们可以对其进行一些优化处理，以提高图像质量和视觉效果。
常见的优化方法包括：去除伪影、降噪、增加对比度、增强图像细节等。
7. 结果评估最后，我们需要对重建图像进行结果评估。
这包括比较重建图像和原始物体的差异，评估图像质量和准确性，并根据需要进行后续的调整和改进。
8. 总结滤波反投影法是一种常用的重建CT图像的方法，它通过对投影数据进行滤波和反投影操作，实现了对被测物体的内部结构信息的恢复。
本文介绍了滤波反投影法的实施步骤，包括数据获取、数据预处理、滤波操作、反投影操作、重建图像优化和结果评估等。
通过遵循这些步骤，可以有效地进行CT图像的重建工作，并获得高质量的图像结果。
滤波反投影法
滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。
其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数。
图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
图1滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。
故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。
考虑实际投影成像平面位置的扇束滤波反投影（FFBP）算法
ICT 技术 Industrial Computed Tomography 作为一种融合了射线光电子学 精密机械 和计算机科学的新型非接触式测试技术 以其射线扫描 重建得到的被检工件切片衰减系数 分布映射图像 可对该切片内的结构 密度 特征尺寸 成分变化等物理 化学性质进行判 读和计量［１－２］
21
J
=
∂x′′ / ∂t′′ ∂φ / ∂t′′
∂x′′ / ∂β = ∂φ / ∂β
DD′2 (D′2 + t′′2 )3
(17)
式(17)带入式(16)有
∫ f
(r,θ
)
=
2π 0
1 U2
P%′e
(t1
,
β
)d
β
18
其中
P%′e (t, β ) = P′e (t, β ) ∗ g(s) 19
P′e (t, β ) = P f (t, β )
3
D
P%e (s, β ) = Pe (s, β ) ∗ g(s)
4
Pe (s, β ) = P f (s, β ) D
5
D2 + s2
g(s) = 1 h(s)
6
2
So
γ′ γ xr
D
xr′
D′
V
V′
s′′ s1 φ
θ
(r,θ)
E
β
t1
o
t′
x
β P
CT图像重建滤波反投影析算法的精度研究 (1)
示：
éN N ù2 (t ij - r ij )2ú ∑ ∑ ê ê i =1 j =1 ú ú d= ê N N ê ú 2 ê ú ˉ ( t t ) ê∑ ú ij ∑ i = 1 j = 1 ë û r=
1
（13）
（11）
这个公式中用上了最后一个节点，所以使用该方法就要求 必须知道最后一个节点的数值。反投影时，我们往往不知道最
圆柱名称 大圆柱 上部左边的小圆柱 上部右边的小圆柱 中心的小圆柱 下部小圆柱 直径(cm) 4 1 1 0.5 0.8 线性衰减系数(cm-1) 0.8 0.4 0.6 0.1 0.2 坐标位置 (0,0) (-2,2) (2,2) (0,0) (0,-2)
（6）
在每个区间执行相应的数值积分方法，相应地形成了 4 种
∑ ∑|t
i =1 j =1 N N
N
N
ij
- r ij |
∑ ∑|tij|
i =1 j =1
（14）
28
《自动化与仪器仪表》 2013 年第 6 期 （总第 170 期） 表 2 是采用不同的数值积分情况下， 3 种积分方法重建出 的 CT 图像的精度比较。 表 2 三种数值积分方法对重建精度影响
（10）
我们由此看出，必须知道每个间隔的中点值，才可以用这 个方法求解。但是这样点的数值我们并没有采集到，为了能够 解决这个问题，我们可以采取用插值法估计出这个值或者在每 两个间隔范围应用一次这个方法的方式来实现。但是如果这样 做，会对数值的精确度产生影响，所以在一般情况下不使用这 种方法。
h 复 合 梯 形 公 式 ： M( f ) = ∑( f (x i) + f (x i + 1)) 2 i =0
基于2017数学建模的滤波反投影算法应用
Image & Multimedia Technology •图像与多媒体技术Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 91【关键词】CT 重构 randon 变换 滤波反投影1 CT图像重建原理的知识背景CT 系统基本过程是：平行入射的X 射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射-接收CT 系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。
计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。
Radon 变换及其逆变换：物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT 图像，图像重建的基础是Radon 变换及其逆变换。
假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon 变换；如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon 反演。
用公式可分别描述为：，由于matlab 中封装有radon 函数，使用时直接调用函数：R=radon （I ，theta ）。
2 滤波反投影算法radon 函数使用的算法是滤波反投影法，反投影算法因为引入“星”状伪影而导致重建的图像失真，为了消除这个伪影，在进行反投影重建之前将数据修正，最后对修正后的投影数据进行反投影，这样就获得没有伪影的重建图像。
该方法是在空间域中把投影的数据直接反向投射到需要重建的图像中，然后将逐个的反投影图像累加起来。
滤波反投影法基本实现步骤：对数据作一维傅里叶变换→滤波函数：R-L 函数→对滤波后的数据作傅里叶逆变换→反投影求图像函数。
本文简要介绍推导傅里叶变换的过程：令为f 的二维傅里叶变换.单变量函G φ(ω)F(ω cosφ,ω sin φ )为通过φ角的F 切片，并记g φ (p)基于2017数学建模的滤波反投影算法应用文/李春梅为由合成方程 确定的函数，则 (Ff φV )(ω)=F(ω cos φ,ω sin φ)，其中F 是单变量傅里叶变换算子，它建立了Radon 变换和傅里叶变换的联系.然后采用极坐标u=ω cos φ,v=ω sin φ表示傅里叶合成公式得将这个积分分解成两个积分式，通过变换、合并，最后使用投影切片定律重写这个积分形式为：f(x,y)= d ω d φ由此得到合成方程。
偏折层析的滤波反投影算法及误差分析
第26 卷第11 期2006 年11 月光学学报ACTA OP TICA SIN ICAVo l. 26 ,No. 11November , 2006文章编号: 025322239 (2006) 112165729偏折层析的滤波反投影算法及误差分析宋张斌贺安之(南京理工大学信息物理与工程系, 南京210094)摘要: 对偏折层析投影转换为相位层析投影的转换关系迚行了分析,给出明晰的数学关系,幵针对偏折层析的滤波反投影算法重建的结果迚行误差分析。
分析结果表明投影噪声对重建场的作用体现在与由偏折层析滤波反投影算法的滤波器有关的倾斜函数上。
因此提出了改迚的偏折层析滤波反投影算法,数值模拟表明,改迚算法在有效抑制倾斜现象的同时,对重建结果不会造成明显的失真。
在此基础上改迚的算法被用于真实火箭燃气射流密度场的三维重建中。
关键词: 信息光学; 偏折层析; 重建算法; 误差分析中图分类号: O438 文献标识码: AFil t e red B ac k2P r oject i o n Al gori t h m of Def lect i on To m og r ap h ya n d Er r or A n al ys isSong Y a ng Zhang Bin He Anzhi( Dep a r t me n t of I nf or m a t i on Physics & Engi neeri ng Na n ji ng U n iversit y of Scie nce & Tech nology , Na n ji ng 210094)Abs t r act : The conversion f rom deflection tomography p rojection to phase tomograp hy p rojection is analyzed , and an explicit exp ression correspondin g to the conversion is p r esented. An er ror analysis is made to the reconst r ucted fields by f iltered back2p rojection ( DFB P ) algorithm of deflection tomography. Results show that the effect of p rojection noise on the reconst ructed fields is rep resented by a slope f unction related to the filter used in deflection tomograp hic f iltered back2p rojection algorithm. So the deflection tomographic f ilter ed back2p rojection algorithm is modified. Numerical simulation shows that the modified algorithm dep resses the slope ph enomena efficiently , while no obvious distortion is int roduced to the reconst r uction. Based on the modified algor ithm , the three2dimensional reconst ruction for den sity field of the real rocket exhausted plumes is carried out .Key w or ds : information optics ; deflection tomograp hy ; reconst ruction algorithm ; error analysis1 引言光学层析技术( Optical Comp uterized Tomograp hy ,O CT)是以光波为载体, 由加载了被测场信息的多方向投影数据重建待测场物理量分布的技术。
滤波反投影法迭代方程
滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。
2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。
3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。
4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
\(I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)\)
其中，\(I^{k+1}\)表示第\(k+1\)次迭代的重建图像，\(I^k\)表示第\(k\)次迭代的重建图像，\(\lambda\)是控制迭代的步长，\(\text{滤波后的投影图像}\)是滤波后的投影图像，\(\text{反投影图像}\)是反投影得到的图像。
需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。
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滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。
其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数f(x,y)。
图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
图1 滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子|ρ|；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。
故频域中的滤波函数可表示为：
Gρ=ρ，ρ≤ρ0 0，其它
其函数图像如图1.
图1 R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
g R=ρ02[2sin c2ρ0R−sin c2ρ0R]离散的R-L卷积函数所得结果为：
g nT=
1
4T2，n=0 0 ，n为偶数−
1
，n为奇数
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。