微分方程PPT(罗兆富等编)第九章 非线性偏微分方程的Adomian分解法
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微分方程PPT(罗兆富等编)第六章 线性方程的Adomian分解法
计算得到
1 2 u0 ( x, y ) x xy 2 1 2 u1 ( x, y ) - x 2 uk ( x, y) 0 (k 2)
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
xy
n 0 n 0
■
再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
解: 将方程写成算子形式
Lxu Lyu x y
其中 Lx
, Ly , x y
且Lx是可逆的, 将其逆算子 L 0 ()dx
-1 x
x
作用于方程的两端, 并注意到初始条件 u(0, y) 0, 得到 再将未知函数的级数展式 u( x, y) un ( x, y) 代入, 得到
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12
结束
三、修正的Adomian分解法 在Adomian分解法中, 有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中 的项f分裂成两项, 即
f f1 f 2(来自.1.07)利用(6.1.07), 我们可将un的递推公式作稍许改变而使 得计算更容易, 就是令u0=f1, 而将f2配给u1,其它项不作改 变. 这样, un的递推公式就成为 u0 f1 ,
所以方程的精确解为
u ( x, y) un ( x, y)
u ( x, y) 1 y sinh x
代入方程验证后知, 它是方程的解, 故方程的精确解为
u ( x, y) 1 y sinh x.
■
计算得到
u0 ( x, y) 1 - y y sinh x y cosh x
u1 ( x, y) xy - y sinh x - y cosh x y
微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
2
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，
这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2
+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数
= −1 + 2 ,
2
2
2
=
−
−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：
2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2
2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.
(完整word版)微分方程及其应用
第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。
例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。
本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。
微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。
微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。
微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。
如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。
若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。
从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。
例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。
用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。
在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。
例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。
一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。
《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
微分方程PPT(罗兆富等编)第九章 非线性偏微分方程的Adomian分解法
x y
13
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得 (9.2.02) Lxu g Lyu Ru F (u) 我们将逆算子Lx1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到 1 1 1 1 (9.2.03) u 0 L g L L u L Ru L x x y x x F (u ) 其中
A1 u1 F u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2u2u0 u12 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 2u3u0 2u2 u1
n 1 dn i An F ( u ) , ( n 0,1, 2,3, ) i n n! d i 0 0
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(9.1.04) (9.1.03)
4
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式. 解:
2 A0 F (u0 ) u0
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 1 u2 ) F (u0 ) u12u2 F (u0 ) u14 F (4) (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cos u0 (u3u1 u2 )sin u0 u1 u2 cos u0 u1 sin u0 . 2! 2! 4!
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的 未知函数u分裂成一个无穷级数
u( x, y) un ( x, y)
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性 项的存在, 我们得不到un递推公式. 例如方程
13
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得 (9.2.02) Lxu g Lyu Ru F (u) 我们将逆算子Lx1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到 1 1 1 1 (9.2.03) u 0 L g L L u L Ru L x x y x x F (u ) 其中
A1 u1 F u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2u2u0 u12 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 2u3u0 2u2 u1
n 1 dn i An F ( u ) , ( n 0,1, 2,3, ) i n n! d i 0 0
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(9.1.04) (9.1.03)
4
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式. 解:
2 A0 F (u0 ) u0
A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 1 u2 ) F (u0 ) u12u2 F (u0 ) u14 F (4) (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cos u0 (u3u1 u2 )sin u0 u1 u2 cos u0 u1 sin u0 . 2! 2! 4!
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的 未知函数u分裂成一个无穷级数
u( x, y) un ( x, y)
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性 项的存在, 我们得不到un递推公式. 例如方程
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY目录1、绪论.......................................................................................... 错误!未定义书签。
1.1背景................................................................................... 错误!未定义书签。
1.2 现状.................................................................................. 错误!未定义书签。
2、非线性偏微分方程的几种解法.............................................. 错误!未定义书签。
2.1逆算符法........................................................................... 错误!未定义书签。
2.2 齐次平衡法...................................................................... 错误!未定义书签。
2.3 Jacobi椭圆函数方法 ....................................................... 错误!未定义书签。
2.4 辅助方程方法.................................................................. 错误!未定义书签。
2.5 F-展开法........................................................................... 错误!未定义书签。
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
微分方程PPT课件
x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 . 20
三. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) (1) dx
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.
n
阶:
f (x, y, y( x0 )
y, y y0 , y(
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
9
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
11
6.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
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A1 u1 F (u0 ) 2u1u0
1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2u2u0 u12 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 2u3u0 2u2 u1
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
1 2 2u4u0 2(u3u1 u2 )u0 . 2!
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■
5
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A4 u4 F (u0 ) (u3u1
1 2 1 2 1 4 (4) u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
.............................................................
F (u) An
n 0
(9.1.02)
其中每一个An称为Adomian多项式, 由下式确定
n 1 dn i An F ( ui ) , ( n 0,1, 2,3, ) n n! d i 0 0
(9.1.03)
其中ui来自于(9.1.01).
在求解线性微分方程时, Adomian分解法将方程中的 未知函数u分裂成一个无穷级数
u( x, y) un ( x, y)
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.
然而, 将(9.1.01)代入非线性微分方程时, 由于非线性 项的存在, 我们得不到un递推公式. 例如方程
■
9
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例6. 计算F(u)=eu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) eu0 A1 u1 F (u0 ) u1eu0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u0 u1 F (u0 ) (u2 u1 )e 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u0 (u3 u2u1 u1 )e 3! 1 2 1 2 1 4 u0 (u4 u3u1 u2 u1 u2 u1 )e 2! 2! 4!
x y
13
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假设Lxu 满足上述两个条件, 则由(9.2.01), 得 (9.2.02) Lxu g Lyu Ru F (u) 我们将逆算子Lx1作用于(9.2.02)的两端并利用已给 初边值条件, 得到 1 1 1 1 (9.2.03) u 0 L g L L u L Ru L x x y x x F (u ) 其中
u (0, y ), L , x x 2 u (0, y ) xu x (0, y ), Lx 2 , x 0 3 1 2 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ), Lx 3 , x xx 2! x 4 1 1 2 3 u (0, y ) xu (0, y ) x u (0, y ) x u (0, y ), L . x xx xxx x 4 x L u L u2! Ru F (u3! )g
由例1, G(u)=u2 的
1 2
A0 u0u0 x
A1 u1xu0 u1u0 x
A2 u2 xu0 u2u0 x u1u1x A3 u3xu0 u3u0 x u2 xu1 u2u1x
1 2 A4 u4 xu0 u4u0 x u3 xu1u0 u3u1xu0 u3u1u0 x u2u2 xu0 u2 u0 x 2! 7 ■
■
8
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例5. 计算F(u)=sinhu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sinh u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cosh u0
A2 u2 F (u0 )
1 2 1 2 u1 F (u0 ) u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cosh u0 u2u1 sinh u0 u1 cosh u0 3!
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 x F (u0 x ) (u3 xu1x u2 x ) F (u0 x ) u1xu2 x F (u0 x ) u1x F (u0 x ) 2! 2! 4!
1 2 3u u 6(u3 xu1x u2 x )u0 x 3u12x u2 x . 2!
3
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一般表达式(9.1.03)可简化如下:
A0 F (u0 ) A1 u1 F (u0 )
A2 u2 F (u0 )
1 2 u1 F (u0 ) 2! 1 3 u1 F (u0 ) 3!
A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 )
n 1 dn i An F ( u ) , ( n 0,1, 2,3, ) i n n! d i 0 0
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(9.1.04) (9.1.03)
4
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例1. 计算F(u)=u2的Adomian多项式. 解:
2 A0 F (u0 ) u0
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例4. 计算F(u)=sinu的Adomian多项式. 解:
A0 F (u0 ) sin u0 A1 u1 F (u0 ) 2u1 cos u0
1 2 1 2 A2 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) u2 cos u0 u1 sin u0 2! 2! 1 3 A3 u3 F (u0 ) u2u1 F (u0 ) u1 F (u0 ) 3! 1 3 u3 cos u0 u2u1 sin u0 u1 cos u0 3!
Lxu Lyu Ru F (u) g
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(9.2.01)12下 返回 结束其中Lx是一个关于x的最高阶微分算子, Ly 是一个关于y 的最高阶微分算子,R是关于其它变量的线性偏微分算子, F(u)是非线性项, g是自由项 . 学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始 都可得到解 u un 并且这样得到的解都是等价的并且都 n 0 收敛于精确解. 然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点： (1)能使计算量达最小 ; 具体而言之 , 我们考虑算子形式的非线性微分方程 (2)具有使解级数具有加速收敛的附加条件 . (9.2.01) L u L u Ru F (u) g
x y
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(9.2.04)
(9.2.01)
14
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1 1 u L g L L u L R u L A n 0 y n x n x n n 0 n 0 n 0 n 0
1 u0 0 L x g,
也就是
(9.2.05) (9.2.03)
1 1 1 u1 L L u L R ( u ) L x y 0 x 0 x A 0, F (u) An u u n 1 1 1 n 0 u2 L n 0x Ly u1 Lx R(u1 ) Lx A 1, 1 1 1 u3 L L u L R ( u ) L x y 2 x 2 x A2 ,
机动 目录
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4!
■
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第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程
1 x 1 x
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
1 u L 0 0 x g, 1 1 1 u L L u L R ( u ) L A 1 1 1 1 n 1 , n 1. n n 1 n 1 x u 0 x Lx y g Lx Lyxu L Ru L x x F (u )
第九章 非线性偏微分方程 的 Adomian分解法
第一节 非线性项的Adomian多项式分解
第二节 用Adomian分解法解非线性偏微分方程 第三节 数学物理中的几个著名偏微分方程
第四节 非线性常微分方程的Adomian分解法
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第一节 非线性项的Adomian多项式分解
1 2 1 2 1 4 (4) A4 u4 F (u0 ) (u3u1 u2 ) F (u0 ) u1 u2 F (u0 ) u1 F (u0 ) 2! 2! 4! 1 2 1 2 1 4 u4 cosh u0 (u3u1 u2 )sinh u0 u1 u2 cosh u0 u1 sinh u0 2! 2! 4!
与线性偏微分方程的情形一样, 非线性偏微分方程的 Adomian分解法也是将方程中的未知函数u分裂成一个 无穷级数
u un
n 0
(9.1.01)
而得到其解, 其中级数的通项un由递推方式确定, 只是在 非线性项中用Adomian多项式的展开式代替即可. 具体而言之, 我们考虑算子形式的非线性微分方程