微分方程 PPT课件
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将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
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24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
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19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
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解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
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C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
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例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
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解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高等数学-第七章 微分方程ppt课件
练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
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目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。
第六章微分方程第二节一阶微分方程PPT课件
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
-4-
第二节 一阶微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
第二节 一阶微分方程
第二节 一阶微分方程
一
第 十 二 章
微
分 方
二
程
可分离变量方程 一阶线性方程
三 全微分方程
-1-
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式 yf(x,y)
也可表示为
第 十
P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
二
章 一阶微分方程初始值问题
微 分
y f (x, y)
十
ab
二 章
定常数),
则 d x d X ,d y d Y ,原方程化为
微
ahbkc
分 方
a1hb1kc1
程
令
, 解出 h , k
(齐次方程)
- 13 -
第二节
求出其解后,
一阶微分方程
即得原方
程的解.
2)当 . a1b1时,原方程可化为
ab
第 十 二 章 微
d dxy(aaxxbbyy )cc1 (b0)
第 十
两边积分
二
lnC|
C1
|
变形, 减解.
因此可能增、
章
得
微
lnyx3C1
或
分 方
即
程
令CeC1
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
高数全微分方程目录来自• 全微分方程简介 • 全微分方程的求解方法 • 全微分方程的实例分析 • 全微分方程的几何意义 • 全微分方程的扩展知识
高等数学第十一章微分方程
我们主要讨论的二阶微分方程为 yf(x,y,y)
的几种特殊类型。
1、 yf(x)型
例1。求微分y方 ex程 6x满足初始条件
y 3,y 2的特解。
x0
x0
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14
2、 yf(x,y)型 这类微分方程的含 右y， 端令 不y p则ydp， dx 二阶微分方程降变 为量 关 x、于 p的一阶微分方
例 4 。求(微 x 1 )y 分 (x 1 )y 方 2 y 程 0的通
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20
2。二阶非齐次线性微分方程解的结构
形如 yp(x)yq(x)yf(x)的微分方程称 二阶非齐次线 程性 。微分方
定理4。设y* 为非齐次线性微分方程 y p(x)yq(x)y f (x) 的一个特解， 而Y c1y1 c2y2 为对应齐次线性微程 分方 y p(x)yq(x)y 0的通解，则 y Y y* 是非齐次微分方程解 的。 通
(4 )y2y2y0
二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到 n 阶 常系数线性微分方程。
y (n ) p 1 y (n 1 ) p n 1 y p n y 0
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28
特征根的情况
通解中包含函数
k重实根 r
y(n) p1(x) y(n1) pn1(x) y pn (x) y f (x) 的通解。
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25
§5。常系数线性微分方程
1。二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 分微 方程 y pyqy0(1)
其中p, q 为常数
r2 prq 0(2) 称为微分方程的特程 征。 方 这方程的两个r1根,r2 称为特征根。
dy f (x)g(y) dx
的几种特殊类型。
1、 yf(x)型
例1。求微分y方 ex程 6x满足初始条件
y 3,y 2的特解。
x0
x0
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14
2、 yf(x,y)型 这类微分方程的含 右y， 端令 不y p则ydp， dx 二阶微分方程降变 为量 关 x、于 p的一阶微分方
例 4 。求(微 x 1 )y 分 (x 1 )y 方 2 y 程 0的通
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20
2。二阶非齐次线性微分方程解的结构
形如 yp(x)yq(x)yf(x)的微分方程称 二阶非齐次线 程性 。微分方
定理4。设y* 为非齐次线性微分方程 y p(x)yq(x)y f (x) 的一个特解， 而Y c1y1 c2y2 为对应齐次线性微程 分方 y p(x)yq(x)y 0的通解，则 y Y y* 是非齐次微分方程解 的。 通
(4 )y2y2y0
二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到 n 阶 常系数线性微分方程。
y (n ) p 1 y (n 1 ) p n 1 y p n y 0
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28
特征根的情况
通解中包含函数
k重实根 r
y(n) p1(x) y(n1) pn1(x) y pn (x) y f (x) 的通解。
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25
§5。常系数线性微分方程
1。二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 分微 方程 y pyqy0(1)
其中p, q 为常数
r2 prq 0(2) 称为微分方程的特程 征。 方 这方程的两个r1根,r2 称为特征根。
dy f (x)g(y) dx
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此处C1,C2 就不是独立的任意常数. 例 y y , 通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x .
(2)特解: 不包含任何任意常数的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 微分方程的积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.
n
阶:
f
(
x,
y,
y,
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2 x ,
y 4 y 12e2x 4 3e2x 0,
y 3e2x 中不含任意常一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
I 上的一个解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
n 个常数C1,C2 , ,Cn 独立指的是：它们不能 通过四则运算合并而使得常数的个数减少. 例如
C1 xC2 , C1 sin x C2 cos x 中C1,C2 是独立的. 而C1 C2 x C x , C1 C2 x C x ,
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
一. 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程F( x, y, y) 0 或
dy f ( x, y) 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 dx
能写成: g( y)dy f ( x)dx (*) 的形式,
阶导数的阶数称之为微分方程的阶.
一阶微分方程: F( x, y, y ) 0, 或 y f ( x, y);
注意: 在一阶微分方程中，y 必须出现.
高阶微分方程:
F ( x, y, y, , y(n) ) 0 或
( n 2, n N ) y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
k2
x
0的解.
并求满
足初始条件 x t 0
A,
dx dt
t 0
0的特解.
解
dx dt
kC1
sinkt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) 0.
y及y, y, , y(n) 的一次有理整式则，称此方程 为n 阶线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性微分方程.
例如 y P( x) y Q( x) 是一阶线性微分方程.
x( y)2 2 yy x 0, y 7sin y 0 .
都是非线性微分方程.
故 x C1 cos kt C2 sinkt 是原方程的解.
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
( y)2 xy y 0 有通解 y Cx C 2 ,
另一方面解y x2 不在通解内（不能由通解得到）. 4
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F( x, y, y, , y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
注意: 在n 阶微分方程中，y(n) 必须出现, 而 x, y, y, y, , y(n1) 等变量可以不出现. 例如n 阶微分方程y(n) 1 0 中，除 y(n) 外, 其他变量都没有出现.
线性与非线性微分方程：
如果方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 的左端为
y(n) ) 0,
y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 ,
,
y(n1) ( x0 )
y0(n1) .
其中 x0 ,
y0 ,
y0 ,
,
y ( n1) 0
是n
1
个已知常数.
例 1 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程 d 2 x dt 2
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒 等式的函数称之为微分方程的解.
设 y ( x) 在区间I 上有直到n 阶的导数,
如果把( x) 代入方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 使其在I 上为恒等式即，
F( x,( x),( x), , (n)( x)) 0 . ( x I ) 则称 y ( x) 为方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 在
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x .
(2)特解: 不包含任何任意常数的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 微分方程的积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.
n
阶:
f
(
x,
y,
y,
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2 x ,
y 4 y 12e2x 4 3e2x 0,
y 3e2x 中不含任意常一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
I 上的一个解.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
n 个常数C1,C2 , ,Cn 独立指的是：它们不能 通过四则运算合并而使得常数的个数减少. 例如
C1 xC2 , C1 sin x C2 cos x 中C1,C2 是独立的. 而C1 C2 x C x , C1 C2 x C x ,
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
一. 可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程F( x, y, y) 0 或
dy f ( x, y) 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 dx
能写成: g( y)dy f ( x)dx (*) 的形式,
阶导数的阶数称之为微分方程的阶.
一阶微分方程: F( x, y, y ) 0, 或 y f ( x, y);
注意: 在一阶微分方程中，y 必须出现.
高阶微分方程:
F ( x, y, y, , y(n) ) 0 或
( n 2, n N ) y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
k2
x
0的解.
并求满
足初始条件 x t 0
A,
dx dt
t 0
0的特解.
解
dx dt
kC1
sinkt
kC2
cos kt,
d2x dt 2
k 2C1
cos
kt
k 2C2
sinkt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程,
k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) k 2 (C1 cos kt C2 sinkt) 0.
y及y, y, , y(n) 的一次有理整式则，称此方程 为n 阶线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性微分方程.
例如 y P( x) y Q( x) 是一阶线性微分方程.
x( y)2 2 yy x 0, y 7sin y 0 .
都是非线性微分方程.
故 x C1 cos kt C2 sinkt 是原方程的解.
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
( y)2 xy y 0 有通解 y Cx C 2 ,
另一方面解y x2 不在通解内（不能由通解得到）. 4
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
(t 2 x)dt xdx 0,
2z x y.
xy
如果在微分方程中,自变量的个数只有一（个即未知函
数是一元函数）, 则称这种微分方常程微分为方程.
一般形式为F( x, y, y, , y(n) ) 0
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为
偏微分方程 .
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
注意: 在n 阶微分方程中，y(n) 必须出现, 而 x, y, y, y, , y(n1) 等变量可以不出现. 例如n 阶微分方程y(n) 1 0 中，除 y(n) 外, 其他变量都没有出现.
线性与非线性微分方程：
如果方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 的左端为
y(n) ) 0,
y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 ,
,
y(n1) ( x0 )
y0(n1) .
其中 x0 ,
y0 ,
y0 ,
,
y ( n1) 0
是n
1
个已知常数.
例 1 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt
是微分方程 d 2 x dt 2
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒 等式的函数称之为微分方程的解.
设 y ( x) 在区间I 上有直到n 阶的导数,
如果把( x) 代入方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 使其在I 上为恒等式即，
F( x,( x),( x), , (n)( x)) 0 . ( x I ) 则称 y ( x) 为方程F( x, y, y, , y(n) ) 0 在