二元函数的极限

§2 二元函数的极限

(一) 教学目的：

掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．

(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．

基本要求：

(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

(三) 教学建议：

(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极

限的方法．

(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．

一 二元函数的极限

先回忆一下一元函数的极限： A x f x x =→)(lim 0

的“δε-” 定义(c31)： 设函数)(x f 在0x 的某一空心邻域),(100δx U 内由定义，如果对

1,0,0δδδε≤>∃>∀，当 ),(0δx U x ∈，即 δ<-||0x x 时，都有 ε<-|)(|A x f ，则称0x x →时，函数)(x f 的极限是 A.

类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：

设二元函数),(y x f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，在点),(000y x P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 0,0>∃>∀δε，使得当 D P U y x P ),(),(00δ∈ 时，都有 ε<-|)(|A P f ，则称f 在D 上当 0P P →时，以A 为极限。记作

A P f D P P P =∈→)(lim 0

也可简写为 A P f P P =→)(lim 0 或 A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00 例1 用定义验证

7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x 证明: |16||7|2222-+-+-+≤-++y x xy x x y xy x

|1||1||2||3|-+++-+≤y y x x x

限制在 （2，1）的邻域 }1|1|,1|2||),({<-<-y x y x

6|1|,6|3|<++<+y x x

取 }6/,1min{εδ=，则有

ε<++||22y xy x

由二元函数极限定义 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x

例2 ⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222

2y x y x y

x y x xy y x f ， 证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x

证 |||||),(|2

22

2xy y x y x xy y x f ≤+-≤

0||lim |),(|lim )0,0(),()0,0(),(=≤→→xy y x f y x y x 所以 0|),(|lim )0,0(),(=→y x f y x

对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：

A P f P P =→)(lim 0 是指： ),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P ，包括沿任何直线，沿任

何曲线趋于),(000y x p 时，),(y x f 必须趋于同一确定的常数。

对于一元函数，x 仅需沿X 轴从0x 的左右两个方向趋于0x ，但是对于二元函数，P 趋于0P 的路线有无穷多条，只要有两条路线，P 趋于0P 时，函数),(y x f 的值趋于不同的常数，二元函数在0P 点极限就不存在。

例1 二元函数 ⎩⎨⎧<<=rest

x y y x f ,00,1),(2

请看图像（x62），尽管),(y x P 沿任何直线趋于原点时),(y x f 都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当),(y x P 沿抛物线 10,2

<<=k kx y 时， ),(y x f 的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。

( 考虑沿直线kx y =的方向极限 ). 例2 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0().,(,),(222y x y x y x y x y x f

求证 0),(lim 0

0=→→y x f y x 证明 因为 |||||||0),(|22222y x

y x y x y x y x f =≤+=- 所以， 当 )0,0(),(→y x 时， 0),(→y x f 。

请看它的图像，不管),(y x P 沿任何方向趋于原点，),(y x f 的值都趋于零。

通常为证明极限)(lim 0

P f P P →不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 .

但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 全面极限存在.

例3 设函数

⎪⎩

⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y

x xy y x f 证明函数 ),(y x f 在原点处极限不

存在。

证明 尽管 ),(y x P 沿 ｘ轴和ｙ轴

趋于原点时 ),((y x f 的值都趋于零， 但沿直线mx y = 趋于原点时

2222221)1()(),(m

m x m mx mx x mx x y x f +=+=+⋅= 沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象, 例１沿任何路线趋于原点时，极f(x)=0 f(x)=1

f(x)=1

限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。

例4

判别函数 y x xy y x f +-+=11),( 在原点是否存在极限.

非正常极限

极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义:

例1 设函数 22321),(y x y x f +=

证明 ∞=→→),(lim 0

0y x f y x 证 |)

(31||321|2222y x y x +≥+ 只要取 M 61

<δ

δδ<-<-|0|,|0|y x 时，都有 M y x y x >≥+≥+2222261|)(31||321|

δ 请看它的图象，因此 2

2321y x + 是无穷大量。 例2 求下列极限:

i) )0,0(),(lim →y x 2

22y x y x +; ii) )0,3(),(lim →y x y xy sin ; iii)

)0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; iV) )0,0(),(lim →y x 2

222)1ln(y x y x +++. 二. 累次极限:

累次极限