数学系常微分方程期末试卷B及答案
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试卷（B ）
试卷份数 考试 本科 考试科目 常 微 分 方 程
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12-13-2学期期末考试
《常微分方程》B 参考答案及评分标准
（数计学院 ）
制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin 3．xoy 平面
4．充分必要 5．不能
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．A 7．C 8．C 9．D 10．D
三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
x y x
y
d e d e = （3分） 等式两端积分得通积分
C x
y
+=e e （6分）
12．解 令
u x y =，则x
u
x
u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x
u
x tan d d = （2分）
当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得
C x
x
u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）
C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：
Cx x
y
=sin
（6分）
13．解 方程两端同乘以5
-y ，得
x y x
y
y +=--45
d d （2分） 令 z y =-4
，则x
z
x y y d d d d 45=--，代入上式，得
x z x
z
=--
d d 41 （3分）
通解为
4
1e
4+
-=-x C z x
原方程通解为 4
1
e 44
+-=--x C y x （6分）
14．解： 因为
x
N
x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x xy y
x
=-⎰⎰
20
d d 2 （4分）
即 C y y x =-
3
2
3
1 （6分）
15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件
00≠=ac c
b a ，故奇点为原点（0，0） 2分
又由det(A-λE)=
0)(0
2=++-=--ac c a c b a λλλ
λ得 c a ==21λλ 4分
所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：
a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬
⎫=≠=⎪⎩
⎪⎨⎧<⎩⎨
⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应齐次方程的特征方程为052
=-λλ （1分） 特征根为：
特征根为01=λ，52=λ， （2分）
齐次方程的通解为 x
C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
)()(21C Bx Ax x x y ++= （6分） 代入原方程，比较系数确定出
31=
A ，51=
B ，25
2
=C
原方程的通解为
x x x C C y x 25
2
5131e 23521++++= （10分）
17．解： 其系数矩阵为：
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=3211A ， （2分） 特征多项式为：
5432
11)det(2+-=---=
-λλλ
λλE A ，
其特征根为：,221i ±=，λ， （4分）
当i +=2λ时，由方程组
01211=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----b a i i ， 可解得特征向量为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=i T 11 （6分）
由
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++t t t ie t t t e i e t t t i sin cos sin sin cos cos 1122)2(， （8分） 可知方程组的基本解组为： ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-t t t e t t t e t t sin cos sin sin cos cos 22，. （10分）
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 0)()()
()()(21
21≠''=
x x x x x W ϕϕϕϕ （*） （5分）
假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得
)(01x ϕ=0)(02=ϕx 于是
0)
()(0
0)()()()()(0201020102010=''=''=
x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ