北师大版九年级数学下册同步教案-第3章 8 圆内接正多边形

8 圆内接正多边形

教学目标 一、基本目标

1．掌握正多边形和圆的关系．

2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 3．会用尺规作图的方法作一个圆的内接正六边形和正方形． 4．会运用正多边和圆的有关知识画正多边形． 二、重难点目标 【教学重点】

正多边形的有关概念及正多边形和圆的关系． 【教学难点】

用尺规作图作圆内接正六边形和正五边形． 教学过程

环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】

阅读教材P97～P98的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】

1．顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆． 2．把一个圆分成几等份,连结分点所得到的多边形是正多边形,它的中心角等于360°

边数

.

3．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

4．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2,则这个正多边形的边数为4. 5．已知正六边形的外接圆半径为3 cm,那么它的周长为18 cm. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】如图,在圆内接正六边形ABCDEF 中,半径OC ＝4,OG ⊥BC,垂足为G,求这个正六边形的中心角、边长和边心距．

【互动探索】(引发学生思考)连结OD,结合已知条件→∠COD ＝60°,结合OC ＝OD→△COD 为等边三角

形→CD＝OC.在Rt △COG 中,由勾股定理即可求得边心距OG.

【解答】连结OD.

∵六边形ABCDEF 为正六边形, ∴∠COD ＝360°

6＝60°,

∴△COD 为等边三角形, ∴CD ＝OC ＝4.

在Rt △COG 中,OC ＝4,GC ＝12BC ＝1

2×4＝2,

∴OG ＝OC 2

－CG 2

＝42

－22

＝23,

∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°,边长为4,边心距为2 3.

【互动总结】(学生总结,老师点评)在解决正多边形与圆的问题中,常通过作辅助线构造直角三角形求解．

【例2】已知⊙O 的半径为 2 cm,画圆的内接正三角形．

【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具:量角器和尺规．(1)正三角形需要把圆三等分,所以它的中心角为120°,可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形,那么用尺规可以作出正三角形吗？

【解答】(方法一)如图1,任取一点A,连结OA,用量角器或30°角的三角板度量,使∠BAO ＝∠CAO ＝30°,点B 、C 在圆周上,连结A 、B 、C 三点,即得△ABC.

图1

图2

(方法二)如图2,用量角器度量,使∠AOB ＝∠AOC ＝120°,连结A 、B 、C 三点,即得△ABC.

(方法三)如图3,用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦,任意顺次连结不相邻的三个点,如点A 、C 、E,则△ACE 即为所求的三角形．

图3

图4

(方法四)在圆上任取一条直径AD,以D为圆心,2 cm为半径画弧,交⊙O于B、C两点,连结A、B、C三点,即得△ABC.

【互动总结】(学生总结,老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种,还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法,如用量角器画圆心角∠BOC＝120°,OB、OC分别交⊙O于B、C两点,再在⊙O上用圆规截取AC＝BC,连结A、B、C三点,即得△ABC.

活动2 巩固练习(学生独学)

1．如图所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是( C )

A．60° B．45°

C．30° D．22.5°

2．圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是( C )

A．36° B．60°

C．72° D．108°

3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有( A )

①在圆上依次截取等于半径的弦,就可以六等分圆；

②作相互垂直的两条直径,就可以四等分圆；

③按①的方法将圆六等分,六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；

④按②的方法将圆四等分,再平分四条劣弧,就可以八等分圆周．

A．4 B．3

C．2 D．1

4．正八边形共有8条对称轴．

5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数相等．

6．观察下面的图形,说一说是怎么画出来的？

解:先画一个以O为圆心,OA长为半径的圆,取圆的三等分点,分别以三等分点为圆心,OA长为半径画弧,交⊙O于A、B、C三点,即得该图形．

环节3 课堂小结,当堂达标

(学生总结,老师点评)

1．圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆．

2．正多边形的画法:把一个圆n等分(n≥3),依次连结各分点,就可以作出一个圆内接正多边形．3．正多边形的相关概念:

(1)中心:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

练习设计

请完成本课时对应练习！