三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角

观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan

23x - tan 21x =x

x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2

1

x ，可作以下证明：

2．化函数

三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

例2 设A B A tan )tan(-+A

C

2

2sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2

C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂

应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4

α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

4．化常数

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如

1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2

α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，

1=tan450=sin900=cos00

等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证

αααα2

2sin cos cos sin 21--=α

α

tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2

α+cos 2

α”代替，问题便迎刃而解。

用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

例5 已知acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β，mtan 2α=ntan 2

β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn

6．化比

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。

例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2

( ≠0，1)。求证：tan

2

2α= -+11tan 22

β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中

-+11为向导，应用

合比定理即可达到论证之目的。

7．化结构

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos

2A cos 2B cos 2

C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。

、

这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=

2

sin 2sin 21cos

x x n

x n

思路分析：左边同乘以sin

2

x

,去括号，积化和差可得

9.数学归纳法

与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。 上述例题可用数学归纳法证明。

三角恒等式证明答案 ：

1.右式=

x x x x 21cos 23cos 2)2123sin(2-=x

x x

x x x 2

1cos 23cos 21sin 23cos 21cos 23sin -= tan 23x - tan 21x 。 2. ∵ sin 2

C=C C 22tan 1tan + ，sin 2

A=A

A 22tan 1tan + ∴ A C 22sin sin =)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ 由已知可得

A C 2

2sin sin =1-A B A tan )tan(-=)

tan tan 1(tan )

tan 1(tan 2B A A A B ++， ∴ )tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++=)

tan 1(tan )

tan 1(tan 2222C A A C ++ ∴C C 22tan 1tan +=B A A B tan tan 1tan tan +

即tan 2

C = tanA ·tanB 命题成立。

3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 右边=8(

22cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 2

2α)= 2(1-2cos2α+2

4cos 1α-)=cos4α-4cos2α+3=左边。

4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2

α”代替，问题便迎刃而解。

左边=)

sin )(cos sin (cos )cos (sin 2

αααααα+--=ααααsin cos )cos (sin +--=ααtan 1tan 1+-=右边

5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2

α=ntan 2

β得n=0，显然成立。当m ≠0时，只

须消去α、β即可。由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2

β得

αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=m n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=tan 2

α即可得α

α22tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2

α=21。

求得cos 2

β=

m b a 2+，sin 2β=n b a 2+，又由cos 2β+sin 2

β=1不得。∴m b a 2++n

b a 2+=1 ， 即 (a+b)(m+n)=2mn

6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中

-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+ cos α- cos β- 2cos αcos β=1- 2

,

2(cos αcos β-1)= (cos α-cos β)，∴ =

1

cos cos cos cos --βαβ

α 依合分比定理得