中国古代数学问题演讲稿.ppt
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高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》45PPT课件 一等奖名师
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
• 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出 粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，， 共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三 捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗
则解方程组
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几 里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算 法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元1世纪初）
《周礼》
《九章算术》的主要内容
• 《九章算术》的内容十分丰富，全书主要采用问题集 的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题 。
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
数学史--第三讲 古代中国的数学--课件
3.1 《周髀算经》和《九章算术》
3.1.1 《周髀算经》
作者不祥，成书不晚于公元前2世纪西汉时期。 内容涉及数学和天文知识，有的可以追溯到西周（前 11世纪－前8世纪）。 最突出的成就：勾股定理 记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”， 这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与 陈子（约前6、7世纪）的对话中，包含了勾股定理的一 般形式：
3.3 宋元数学
“宋元四大家” 杨辉、秦九韶、李治和朱世杰 3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术 宋元数学最突出的成就之一是高次方程求数值解，这是《九章算 术》中开方术（开平方和开立方）的继承和发展。 目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是北宋时期的贾宪 创造的“增乘开方法”。 贾宪的“增乘开方法”原则上可以用于求解高次方程，但贾宪本 人并没有认识到一点。南宋数学家秦九韶在他的代表著作《数学 九章》（1247年）中将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形， 他将自己的方法称为“正负开方术”。
第三讲 古代中国数学
• 古代中国是世界四大文明古国之一。在商朝的甲骨 文中已经使用完整的十进制记数（约公元前1600年 左右）。至迟到春秋战国时期，又开始出现严格的 十进位值制筹算记数(约公元前500年）。 • 关于几何学，据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时 已使用了规、矩、准、绳等作图与测量工具。从 战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工制 作有关的实用几何知识。
“。。。以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开 方除之，得邪至日。” 《周髀算经》中还讨论了测量“日高”的方法。 图 3.1 • 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3 世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，运用面 积出入相补证明了勾股定理。赵爽还证明了《周髀算 经》中的日高公式。 图3.2
中国古代数学中的数学文化PPT
书等多种古代珍贵的文献，还有一部数
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
学著作，据写在一支竹简反面的字迹识 别，这部竹简算书的书名叫?算数书?， 它是中国现存最早的数学专著。经研究 ，它和?九章算术?〔公元1世纪〕有许 多相同之处，体例也是“问题集〞形式 ，大多数题都由问、答、术三局部组成 ，而且有些概念、术语也与?九章算术? 的一样。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
2002年湖南龙山里耶战国－秦汉城址考古
• 2002年7月，考古 人员在湖南龙山里
耶战国－秦汉古城 出土了36000余枚 秦简。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)
• 记录的是秦始皇二十 六年至三十七年〔即
公元前221－前210年 〕的秦朝历史，其中
九九乘法表
• 文学作品中，就有很多“九九〞乘法口诀。 • ?西游记?中，唐僧师徒四人去西天取经，沿途
经历七七四十九劫，九九八十一难。 • ?越王勾践?中，翻过九九八十一座山，渡过八
八六十四条溪，走了七七十九天，终于找到秦 溪山。 • 方言俗语、地方谚语，均能看到乘法表的影子 。 • “六六三十六，阎王接你吃腊肉〞、“不管三七 二十一〞等。
先秦时期——中国古代数学的萌芽
?史记·夏本纪?
大禹治水 (公元前21世纪)
先秦时期——中国古代数学的萌芽
• 在殷墟出土的商代甲骨文中， 有一些是记录数字的文字，说 明中国已经使用了完整的十进 制记数，包括从一至十，以及 百、千、万，最大的数字为三 万。这是对世界数学最伟大的 奉献。
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前1100年 )
• 如图，Plato对等腰直角三 角形作了证明，他把腰上 两个正方形沿对角线切开 ，所得四个全等的等腰直 角三角形可以拼成原三角 形斜边上的正方形。
中国古代数学ppt课件
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《杜忠算术》和《许商算术》是中国有 记载可考的最早的数学著作
《算数书》是目前中国所能见到的最早 的数学专著
《周髀算经》是比《九章算术》更早的 一本具重要影响的数学专著
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4.2.1 《周髀算经》和勾股定理
《周髀算经》是一部介绍宇宙模型的天 文学著作，但其包含了深刻的数学内容， 如分数运算、勾股定理等
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
勾股章第6题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐。问水深、葭长 各几何？答曰，水深一丈 二尺，葭长一丈三尺。”
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4.2.2 《九章算术》
中国数学中关于开平方、开立方的方法 都是二项展开式的原则运用。因此，找 出二项展开式中的系数的规律就可以利 用它来进行对高次幂的开方。中国数学 史上，较早给出二项式展开式中的系数 规律的是北宋数学家贾宪。
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4.3.1 高次方程的数值解法
贾宪利用贾宪三角进行高次开方 x2 =(a+b)2 , 称为“增乘开方法” 秦九韶在其名著《数书九章》中将“增
乘开方法”推广到高次方程的求解，称 为“正负开方术”
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4.3.2秦九韶的数学成就
《孙子算经》中提出了“物不知其数问 题”并给出了解答，但对这类问题的研 究只是初具雏形。秦九韶把这个问题和 解法进行了推广，创立了“大衍求一 术”，得到了孙子剩余定理，从理论上 彻底解决了一次同余式组的一般解法。
中国古代数学史PPT课件
第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。
第七章“盈不足”讲述算术中盈 亏问题的解法。盈不足术实际上 是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到 特别重视，被称为“契丹算法”。 后来传入欧洲，13世纪意大利数 学家斐波那契的《算经》一书中 专门有一章讲“契丹算法”。
第二章“粟米”讲述有关粮食交换 中的比例问题。书中的“今有术” 给出比例式中已知三数求第四数的 方法，欧洲迟至15世纪才出现。
第三章“衰分”讲述配分比例和等 差、等比等问题。
第四章“少广”讲述由田亩面积求 边长，由球体积求经长的算法，这 是世界上最早的多位数开平方、开 立方法则的记载。
今有积五万五千二百二十五步， 问为方几何？答曰：二百三十 五步。
周长为 Ln、面积为 Sn 。将边
数加倍后,得到圆内接正2n边
形，其边长、周长、面积分别
记为 l2n , L2n , S 2n 。 刘徽首先指出，由 ln 及勾股 定理可求出 l2n
其次知道了圆内接正n 边形的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
中国古代数学的主要成就
《周髀算经》是我国最早的天
文著作，系统地记载了周秦以Leabharlann 来适应天文需要而逐步积累的
周
科技成果。该书的主要内容是
中国数学发展历史课堂ppt课件
7
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
唐朝在数学教育方面有长足的发 展。656年国子监设立算学馆，设有 算学博士和助教，由太史令李淳风等 人编纂注释《算经十书》 包括《周髀算经》、《九章算术》
《海岛算经》、《孙子算经》 《张丘建算经》、《夏侯阳算经》
20
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
陈景润，中国现代数学家，世界著名解析数 论学家之一。 1966年，陈景润攻克了世界 著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)， 创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1) 只是一步之遥的辉煌。他在哥德巴赫猜想的 研究上居世界领先地位。他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世 界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学 者阿 ·威尔(A Weil)曾这样称赞他：“陈景 润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山 巅上行走。” 陈景润于1978年和1982年两 次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的 邀请，这是中国人的自豪和骄傲
祖冲之(公元429-500 年)
2
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
算盘
中国人发明算盘
大约六、七百年前，中国人发明 了算盘，它结合了十进制计数法和 一整套计算口诀并一直沿用至今， 被许多人看作是最早的数字计算机
18
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
唐朝在数学教育方面有长足的发 展。656年国子监设立算学馆，设有 算学博士和助教，由太史令李淳风等 人编纂注释《算经十书》 包括《周髀算经》、《九章算术》
《海岛算经》、《孙子算经》 《张丘建算经》、《夏侯阳算经》
20
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
陈景润，中国现代数学家，世界著名解析数 论学家之一。 1966年，陈景润攻克了世界 著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)， 创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1) 只是一步之遥的辉煌。他在哥德巴赫猜想的 研究上居世界领先地位。他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世 界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学 者阿 ·威尔(A Weil)曾这样称赞他：“陈景 润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山 巅上行走。” 陈景润于1978年和1982年两 次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的 邀请，这是中国人的自豪和骄傲
祖冲之(公元429-500 年)
2
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
算盘
中国人发明算盘
大约六、七百年前，中国人发明 了算盘，它结合了十进制计数法和 一整套计算口诀并一直沿用至今， 被许多人看作是最早的数字计算机
18
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
中国古代数学瑰宝省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第30页
“用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用 五除嘛是余三。”只见算命先生摆弄一下竹筹， 就说：“大爷今年73岁了，有道是人生七十古 来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福。” 他算对了，是怎么样算出来呢？
第31页
同余概念
❖ 首先让我介绍德国数学家高斯在2前想出一个 数学上很主要概念：“同余” .
历史了。可是你知道不知道还有一个猜岁数 游戏在一千多年前也曾是中国人民一个游戏？
第28页
让我们借想像羽翼飞到那古老年代，飞到 那位于富庶肥沃关中平原，那《诗经》所说： “径以渭蜀”径水、渭水流域上古城长安。 长安是个像杜甫诗歌所描写：“渔阳豪侠地， 击鼓吹笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴。越 罗与楚练，照耀与台躯”一个很热闹繁荣城 市。
第37页
现在让我再问一个问题：“什么数被3除余2？” 我想你一定会回答：全部形如3k＋2数，这里k 能够等于0，±1，±2，…，这就是在[2]3里数。
这两个问题都是很轻易。现在让我们把这两 个问题合成一个问题：“什么数被2除余1， 被3除余2？”
第38页
这里你就必须在[2]3里找全部奇数，即－7， －1，5，11，…等等。（假如你学过初等集合 论，你就是要找交集[1]2∩[2]3全部元素。）
第36页
例2 . 取n＝3，则 [0]3={…，－9，－6，－3，0，3，6，9，…} [1]3={…，－8，－5，－2，1，4，7，10，…} [2]3={…，－7，－4，－1，2，5，8，11，…}
现在让我问一个问题：“什么数被2除余1？” 我想你一定会回答：是全部奇数，奇数普通能 够用2k＋1来表示k＝0，±1，±2，…。这就 是在[1]2数。
第21页
在《九章算术》中，正负术只用于方程术， 而且，在实际上不但使用了正负数加减法，而 且使用了正负数乘除法。不过，现有资料中， 正负数乘法法则在《算学启蒙》中才给出。祖 冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料 中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益 《议古根源》中。
“用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用 五除嘛是余三。”只见算命先生摆弄一下竹筹， 就说：“大爷今年73岁了，有道是人生七十古 来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福。” 他算对了，是怎么样算出来呢？
第31页
同余概念
❖ 首先让我介绍德国数学家高斯在2前想出一个 数学上很主要概念：“同余” .
历史了。可是你知道不知道还有一个猜岁数 游戏在一千多年前也曾是中国人民一个游戏？
第28页
让我们借想像羽翼飞到那古老年代，飞到 那位于富庶肥沃关中平原，那《诗经》所说： “径以渭蜀”径水、渭水流域上古城长安。 长安是个像杜甫诗歌所描写：“渔阳豪侠地， 击鼓吹笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴。越 罗与楚练，照耀与台躯”一个很热闹繁荣城 市。
第37页
现在让我再问一个问题：“什么数被3除余2？” 我想你一定会回答：全部形如3k＋2数，这里k 能够等于0，±1，±2，…，这就是在[2]3里数。
这两个问题都是很轻易。现在让我们把这两 个问题合成一个问题：“什么数被2除余1， 被3除余2？”
第38页
这里你就必须在[2]3里找全部奇数，即－7， －1，5，11，…等等。（假如你学过初等集合 论，你就是要找交集[1]2∩[2]3全部元素。）
第36页
例2 . 取n＝3，则 [0]3={…，－9，－6，－3，0，3，6，9，…} [1]3={…，－8，－5，－2，1，4，7，10，…} [2]3={…，－7，－4，－1，2，5，8，11，…}
现在让我问一个问题：“什么数被2除余1？” 我想你一定会回答：是全部奇数，奇数普通能 够用2k＋1来表示k＝0，±1，±2，…。这就 是在[1]2数。
第21页
在《九章算术》中，正负术只用于方程术， 而且，在实际上不但使用了正负数加减法，而 且使用了正负数乘除法。不过，现有资料中， 正负数乘法法则在《算学启蒙》中才给出。祖 冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料 中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益 《议古根源》中。
中国古代数学ppt课件
第四章 源远流长、成就卓著的 中国古代数学
中国是世界上最古老的文明发源地之一.中 国古代数学作为中国文化的一个重要组成 部分,由于其自身的渊源,形成了与西方迥然 不同的风格.
`.
1
华夏民族的远古历史至少可追溯到公 元前3000年的炎帝部落和黄帝部落。 初期的部落联盟中产生了尧、舜这样 的军事领袖，舜禅让位于禹后，禹建 立了中国历史上第一个王朝—夏朝。 商王汤推翻夏王桀后建立商朝，直到 周武王灭纣建立周朝。经过东周以及 西周的春秋战国时期，秦王赢政征服 列国，开辟了中国长达两千多年的中 央高度集权制的封建专制政治格局。 2
4
中国的数学发展史可分为
秦以前：数学知识的早期积累
秦
汉：系统数学理论的奠定
晋
唐：数学理论的充实
宋
元：数学理论的发展
明
清：传统数学的沉寂和复苏
5
将理论体系形成之前的历史阶段称为 数学知识的早期积累阶段。这一时期 的中国数学大致包括：数字和记数方 法、筹算术、数概念的扩展、图形知 识、定义与命题等。这五个方面后来 以数与形两条认识渠道得到充实和发 展
25
4.2.2 《九章算术》
《算术》包括了四大算法系统和两大求 积公式系统。四大算法系统是分数算法 、一般比率算法、组合比率算法、开方 算法；两大求积公式系统是面积公式系 统和体积公式系统
26
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
27
28
4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
23
4.2.2 《九章算术》
《算术》的体系是中国数学理论体系的 典型代表。这个体系的基本结构是：以 题解为中心，在题解中给出算法，根据 算法组建理论体系。即以题解为中心的 算法体系。
中国是世界上最古老的文明发源地之一.中 国古代数学作为中国文化的一个重要组成 部分,由于其自身的渊源,形成了与西方迥然 不同的风格.
`.
1
华夏民族的远古历史至少可追溯到公 元前3000年的炎帝部落和黄帝部落。 初期的部落联盟中产生了尧、舜这样 的军事领袖，舜禅让位于禹后，禹建 立了中国历史上第一个王朝—夏朝。 商王汤推翻夏王桀后建立商朝，直到 周武王灭纣建立周朝。经过东周以及 西周的春秋战国时期，秦王赢政征服 列国，开辟了中国长达两千多年的中 央高度集权制的封建专制政治格局。 2
4
中国的数学发展史可分为
秦以前：数学知识的早期积累
秦
汉：系统数学理论的奠定
晋
唐：数学理论的充实
宋
元：数学理论的发展
明
清：传统数学的沉寂和复苏
5
将理论体系形成之前的历史阶段称为 数学知识的早期积累阶段。这一时期 的中国数学大致包括：数字和记数方 法、筹算术、数概念的扩展、图形知 识、定义与命题等。这五个方面后来 以数与形两条认识渠道得到充实和发 展
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4.2.2 《九章算术》
《算术》包括了四大算法系统和两大求 积公式系统。四大算法系统是分数算法 、一般比率算法、组合比率算法、开方 算法；两大求积公式系统是面积公式系 统和体积公式系统
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 1.各种比例问题
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4.2.2 《九章算术》
例说《算术》的成就： 2.几何成就
23
4.2.2 《九章算术》
《算术》的体系是中国数学理论体系的 典型代表。这个体系的基本结构是：以 题解为中心，在题解中给出算法，根据 算法组建理论体系。即以题解为中心的 算法体系。
第三讲中国古代数学.ppt
1920 南开大学数学系：姜立夫（哈佛大学） ……
算筹与筹算 一
1 数字的起源 从“数”谈起
數数
《易·系辞传》：“上古结绳而治，后世圣 人易之以书契”
郑玄（东汉）：“事大，大结其绳；事小，
(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用来记事的结绳，秘鲁
10进位位值制记数法
纵式筹码 横式筹码
第三讲
中国古代数学
概述
石器时代（4000BC）
—仰韶文化·西安半坡遗址
陶器上的刻划符号—文字的起源
几何图案
三角形数？
夏商周：青铜时代 —1600BC
数字符号的形成
甲骨文
金文
伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？
“算术”乃社稷民生之大用！
昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问 古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可 得尺寸而度。请问数安从出？
1607 徐光启、利玛窦合译 《几何原本》
1609 李之藻、利玛窦合译 《同文算指》
徐光启与利玛窦
清代：1665-1910AD
中国古典数学渐次衰微 乾嘉时期 《数理精蕴》100卷 梅文鼎 年希尧、明安图、汪莱、李锐、戴煦
西方数学的再次传入
《几何原本》1857,李善兰，伟烈亚利 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》
粟米 以谷物交换为例的各类比 例问题；
衰分 按比例分配和等差数列问 题；
少广 由田亩计算引出的分数、 开方问题；
商功 与土方工程有关的体积问 题；
均输 与摊派劳役和税收有关的 比例问题；
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，
总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢 竭顽鲁，采其所见，为之作注。”
算筹与筹算 一
1 数字的起源 从“数”谈起
數数
《易·系辞传》：“上古结绳而治，后世圣 人易之以书契”
郑玄（东汉）：“事大，大结其绳；事小，
(左)基普（quipu） 南美印加（Inca）部落用来记事的结绳，秘鲁
10进位位值制记数法
纵式筹码 横式筹码
第三讲
中国古代数学
概述
石器时代（4000BC）
—仰韶文化·西安半坡遗址
陶器上的刻划符号—文字的起源
几何图案
三角形数？
夏商周：青铜时代 —1600BC
数字符号的形成
甲骨文
金文
伏羲执矩，女娲执规：数学崇拜？
“算术”乃社稷民生之大用！
昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问 古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可 得尺寸而度。请问数安从出？
1607 徐光启、利玛窦合译 《几何原本》
1609 李之藻、利玛窦合译 《同文算指》
徐光启与利玛窦
清代：1665-1910AD
中国古典数学渐次衰微 乾嘉时期 《数理精蕴》100卷 梅文鼎 年希尧、明安图、汪莱、李锐、戴煦
西方数学的再次传入
《几何原本》1857,李善兰，伟烈亚利 又译《代数术》《代微积拾级》 《代数术》
粟米 以谷物交换为例的各类比 例问题；
衰分 按比例分配和等差数列问 题；
少广 由田亩计算引出的分数、 开方问题；
商功 与土方工程有关的体积问 题；
均输 与摊派劳役和税收有关的 比例问题；
2 注释者
刘徽，魏晋间人，263AD年注释《九章算术》 “徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，
总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢 竭顽鲁，采其所见，为之作注。”
中国古代数学史 ppt课件
刘徽，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学 名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进 行“析理”，才能使数学著作简明严密。他的《九章算术》注不仅是 对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在 论述的过程中有很大的发展。
刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并 推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方 程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解 只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加 法消元可以统一为一种方法。
《周礼》中的六艺 礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。 乐—音乐。六乐 ：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武 射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪 御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左 书—文学。六书：象形 、指事、会意、形声、转注、假借 数—算术与数论知识
几何学 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发 现，故又有称之为商高定理。 商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”
中国数学的兴起—原始社会至西周的数学
1.圆形观念的形成与规矩准绳
人类在与自然接触的过程中认识了圆，古代用规画圆，用矩画方
2.十进位制计数法的形成与算筹的创造
十进位制计数法最早出现于殷商的甲骨文，在春秋时期已经相当的完善
3.数学形成一门学科
春秋，九九表和整数乘除法则已出现
中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学
竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成 书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中 国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标 题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内 容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等 等。
刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并 推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方 程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解 只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加 法消元可以统一为一种方法。
《周礼》中的六艺 礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。 乐—音乐。六乐 ：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武 射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪 御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左 书—文学。六书：象形 、指事、会意、形声、转注、假借 数—算术与数论知识
几何学 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发 现，故又有称之为商高定理。 商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”
中国数学的兴起—原始社会至西周的数学
1.圆形观念的形成与规矩准绳
人类在与自然接触的过程中认识了圆，古代用规画圆，用矩画方
2.十进位制计数法的形成与算筹的创造
十进位制计数法最早出现于殷商的甲骨文，在春秋时期已经相当的完善
3.数学形成一门学科
春秋，九九表和整数乘除法则已出现
中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学
竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成 书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中 国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标 题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内 容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等 等。
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例5：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价几何?
分析：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，则剩 余3钱；如果每人出7钱，则差4钱。问有多少人，物品 的价格是多少？
解：设有 x 人，根据题意列方程，得
8x-3=7x+4
解这个方程，得 x=7
8x-3=8 7-3=53（钱）
式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.
《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”
解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前
两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此，根据此图
可以列出方程：x+10y=26．请你根据图2列出方程
组
．
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例题9：我国古代数学名著《孙子算经》中记载 了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片 瓦， 已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片 瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
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例7.中国古代的数学专著《九章算术》有方程 问题：“五只雀、六只燕，共重一斤（等于16 两）雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”， 则雀、燕的重量各为多少两？
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例8：算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式
演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”，“卧”两
种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立
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2、鸡兔同笼 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
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今有雉（鸡）兔同笼， 上有三十五头， 鸡头＋兔头＝35 下有九十四足， 鸡脚＋兔脚＝94 问鸡兔各几何？
法2： 解：设鸡有x只，则兔有（35- x ）只，由题意可列方程
为： 2x＋4 （35 - x ） ＝ 94
答：有 7 人，物品的价格是 53 钱.
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例6：今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五 百.今并买一顷,价钱一万,问善田、恶田各几 何？
分析：用300钱可以买1亩良田,用500钱可以买7亩薄田. 现在用10000钱买了1顷土地,问良田、薄田各买了多少亩？
等量关系：买良田用的钱+买薄田用的钱=10000
12、清明巡园
解：设大船有x只， 则小船有（8- x ）只， 由题意得 6x＋4 （8- x ）=38
大船乘6人 小船乘4人
清明巡园，共坐八船， 大船满六，满四小船， 38 学子， 满船坐观。 请问客家，大小几船？
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学后深思
1、你认为列方程解古代算题的 障碍是什么？
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反思
1、列方程（方程组）解古算应用题， 第一步应该做什么？
2、你能总结列方程 （方程组） 解应用 题的一般步骤吗？
3、你认为列方程 （方程组） 解应用题 最关键的一步是什么？
寺庙朗朗，溪流畅畅， 龟 鹤共舞，4 0 头 扬， 鹤腿龟腿， 1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
大船乘6人 小船乘4人
解此方程得： X=23 35 - x＝12
答：笼中有鸡精2心整3理只，兔12只。
例3： 《折绳测井》
以绳测井。若将绳三折测之，绳多四 尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？
题
目 用绳子测水井深度，如果将绳子折成
大 三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折
意 是 ：
成四等份，井外余绳1尺。问绳长、井 深各是多少尺？
将x=8代入方程左边得绳长=36 答：绳长36尺，井深8尺。
例4、
《勤妇荡杯》
妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰： “有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两 人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不 知客几何？”
题 目 一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？ 大 有多少客 ？”妇女答：“洗 65 只碗，客人 意 二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四 是 人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？” ：
古代数学类应用题
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《周 髀 算 经》
《 九 章 算 术》
《孙 子 算 经》
《海 岛 算 经》
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例：《百僧百馒》
一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
意思是：
100个和尚分100个馒头， 大和尚 1人分 3个馒头， 大和尚 小和尚 3人分 1个馒头。 25；小 大、小和尚各有多少人？ 和尚75.
解：良田买了 x 亩，则薄田买了(100-x)亩，根据题意列方程，得
300x+ 500 (100-x）=10000
7
解这个方程，得 x=12.5
100-x=100-12.5=87.5(亩)
答：良田买了 12.5 亩，薄田买了 87.5 亩.
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法2： 解：设购买善田X亩 ，购买恶田Y亩
X+y=100 300x+500/7 y=10000
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例10：《九章算术》中卷八第一题：“今有上禾 三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾 二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾 一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上 中下禾实一秉各几何？
设：上禾一秉为x斗 中禾一秉为y斗 下禾一秉为z斗
3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 X+2y+3z=26
清明巡园，共坐八船， 大船满六，满四小船， 38 学子， 满船坐观。 请问客家，大小几船？
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寺庙朗朗，溪流畅畅， 龟鹤共舞，4 0 头 扬， 鹤腿龟腿，1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
11、龟鹤共 解：设鹤有x只舞，
则龟有（40-x）只， 由题意得 2x+4（40-x）=112
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解：若设大马有x匹， 小马有y匹，那么可列方程组为
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练习： “我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．” 那么有多少间房，有多少位客人？
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例：周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
设个位数字为x，十位数字y x-y=3 6x=x+10y 36
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等量关系：
绳长的
1 3
— 4 = 井深
绳长的
1 4
—
1 = 井深
解：设绳长x尺，则由题意得
x 3
— 4=
x 4
—
1
x = 36 将x=36代入方程左边，得井深=8 尺 。 答：绳长36尺，井深+4）× 3=绳长 （井深+1）× 4=绳长
解：设 井深 x尺，则由题意得 3(x +4)=4(x +1) x=8
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例5：今有共买物，人出八，盈三；人出七， 不足四。问人数、物价几何?
分析：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，则剩 余3钱；如果每人出7钱，则差4钱。问有多少人，物品 的价格是多少？
解：设有 x 人，根据题意列方程，得
8x-3=7x+4
解这个方程，得 x=7
8x-3=8 7-3=53（钱）
式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.
《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”
解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前
两个符号分别代表未知数x，y的系数．因此，根据此图
可以列出方程：x+10y=26．请你根据图2列出方程
组
．
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例题9：我国古代数学名著《孙子算经》中记载 了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片 瓦， 已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片 瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
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例7.中国古代的数学专著《九章算术》有方程 问题：“五只雀、六只燕，共重一斤（等于16 两）雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”， 则雀、燕的重量各为多少两？
精心整理
例8：算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式
演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”，“卧”两
种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立
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2、鸡兔同笼 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？
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今有雉（鸡）兔同笼， 上有三十五头， 鸡头＋兔头＝35 下有九十四足， 鸡脚＋兔脚＝94 问鸡兔各几何？
法2： 解：设鸡有x只，则兔有（35- x ）只，由题意可列方程
为： 2x＋4 （35 - x ） ＝ 94
答：有 7 人，物品的价格是 53 钱.
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例6：今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五 百.今并买一顷,价钱一万,问善田、恶田各几 何？
分析：用300钱可以买1亩良田,用500钱可以买7亩薄田. 现在用10000钱买了1顷土地,问良田、薄田各买了多少亩？
等量关系：买良田用的钱+买薄田用的钱=10000
12、清明巡园
解：设大船有x只， 则小船有（8- x ）只， 由题意得 6x＋4 （8- x ）=38
大船乘6人 小船乘4人
清明巡园，共坐八船， 大船满六，满四小船， 38 学子， 满船坐观。 请问客家，大小几船？
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学后深思
1、你认为列方程解古代算题的 障碍是什么？
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反思
1、列方程（方程组）解古算应用题， 第一步应该做什么？
2、你能总结列方程 （方程组） 解应用 题的一般步骤吗？
3、你认为列方程 （方程组） 解应用题 最关键的一步是什么？
寺庙朗朗，溪流畅畅， 龟 鹤共舞，4 0 头 扬， 鹤腿龟腿， 1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
大船乘6人 小船乘4人
解此方程得： X=23 35 - x＝12
答：笼中有鸡精2心整3理只，兔12只。
例3： 《折绳测井》
以绳测井。若将绳三折测之，绳多四 尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳 长、井深各几何？
题
目 用绳子测水井深度，如果将绳子折成
大 三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折
意 是 ：
成四等份，井外余绳1尺。问绳长、井 深各是多少尺？
将x=8代入方程左边得绳长=36 答：绳长36尺，井深8尺。
例4、
《勤妇荡杯》
妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰： “有客。”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两 人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。不 知客几何？”
题 目 一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？ 大 有多少客 ？”妇女答：“洗 65 只碗，客人 意 二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四 是 人共用一只肉碗。你说有多少客人用餐？” ：
古代数学类应用题
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《周 髀 算 经》
《 九 章 算 术》
《孙 子 算 经》
《海 岛 算 经》
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例：《百僧百馒》
一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
意思是：
100个和尚分100个馒头， 大和尚 1人分 3个馒头， 大和尚 小和尚 3人分 1个馒头。 25；小 大、小和尚各有多少人？ 和尚75.
解：良田买了 x 亩，则薄田买了(100-x)亩，根据题意列方程，得
300x+ 500 (100-x）=10000
7
解这个方程，得 x=12.5
100-x=100-12.5=87.5(亩)
答：良田买了 12.5 亩，薄田买了 87.5 亩.
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法2： 解：设购买善田X亩 ，购买恶田Y亩
X+y=100 300x+500/7 y=10000
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例10：《九章算术》中卷八第一题：“今有上禾 三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾 二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾 一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上 中下禾实一秉各几何？
设：上禾一秉为x斗 中禾一秉为y斗 下禾一秉为z斗
3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 X+2y+3z=26
清明巡园，共坐八船， 大船满六，满四小船， 38 学子， 满船坐观。 请问客家，大小几船？
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寺庙朗朗，溪流畅畅， 龟鹤共舞，4 0 头 扬， 鹤腿龟腿，1 1 2 偎。 请问裟家，龟鹤几何？
11、龟鹤共 解：设鹤有x只舞，
则龟有（40-x）只， 由题意得 2x+4（40-x）=112
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解：若设大马有x匹， 小马有y匹，那么可列方程组为
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练习： “我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．” 那么有多少间房，有多少位客人？
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例：周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
设个位数字为x，十位数字y x-y=3 6x=x+10y 36
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等量关系：
绳长的
1 3
— 4 = 井深
绳长的
1 4
—
1 = 井深
解：设绳长x尺，则由题意得
x 3
— 4=
x 4
—
1
x = 36 将x=36代入方程左边，得井深=8 尺 。 答：绳长36尺，井深+4）× 3=绳长 （井深+1）× 4=绳长
解：设 井深 x尺，则由题意得 3(x +4)=4(x +1) x=8