浙江省宁波市慈溪市2020届高三第一学期期中考试试题 数学【解析版】

浙江省宁波市慈溪市2020届高三第一学期期中考试试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4},{1,3,5}A B ==，则A B =（ ）A. {1,3}B. {1,2,3,3,4,5}C. {5}D. {1,2,3,4,5} 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义求解. 【详解】解：{1,2,3,4},{1,3,5}A B =={}1,2,3,4,5A B ∴=故答案选：D 【点睛】本题考查集合的运算，要注意满足集合元素的互异性，属于基础题。

2.函数()2cos2f x x =的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用余弦函数的周期性，得出结论． 【详解】解：函数()2cos2f x x =的最小正周期是222T πππω===，【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题． 3.已知向量(3,1),(1,2)a b =-=-，则32a b -+=（ ） A. (7,1) B. (7,1)--C. ()7,1-D. (7,1)-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算坐标运算法则计算可得． 【详解】解：(3,1),(1,2)a b =-=-，∴3(9,3),2(2,4)a b -=-=-， ∴32(92,34)(7,1)a b -+=-+-=--．故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目． 4.已知3cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A.35 B. 45-C.45D. 45±【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式求得sin α，再由同角三角函数基本关系式求cos α． 【详解】解：3cos()25πα-=，3sin 5α∴=，则24cos 15sin αα=±-±．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 5.若152x=，则（ ） A. 01x <<B. 102x -<< C. 112x -<<-D. 21x -<<-【解析】 【分析】根据函数()5x f x =为增函数，结合指数幂的大小进行求解即可． 【详解】解：函数()5x f x =为增函数，(0)1f =，12151()522f --==<，则102x -<<， 故选：B ．【点睛】本题主要考查指数方程的求解，结合指数函数的单调性以及指数不等式的解法是解决本题的关键． 6.函数2sin 2()12xf x x x =++的部分图象大致可为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】构造函数2sin 2()2xg x x x =+，判断函数()g x 的奇偶性和对称性，然后结合()f x 的对称性进行排除即可． 【详解】解：设2sin 2()2xg x x x=+，则()1()f x g x =+， 则2sin 2()2()xg x x g x x -=--=-，即()g x 是奇函数，关于原点对称，则()f x 关于(0,1)对称，排除A ，B ，D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合条件构造奇函数，结合条件判断函数的对称性是解决本题的关键．7.已知函数()2sin()(01,||)f x x ωϕωϕπ=+<<<，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则⋅=ωϕ（ ）A.118π B. 1118π-C. 1172π-D.772π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象与性质，结合题意求出ω和ϕ的值，再计算ωϕ⋅的值． 【详解】解：函数()2sin()f x x ωϕ=+的最大值为2， 若511()2,()088f f ππ==， 则115(21)884k T ππ+-=，k ∈N ； 所以3221T k ππω==+，解得423k ω+=；又因为01ω<<，所以23ω=； 由252382n ππϕπ⨯+=+，n Z ∈； 所以212n πϕπ=+，n Z ∈；因为||ϕπ<，所以12πϕ=；所以231218ππωϕ⋅=⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题． 8.已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A.112B. 5C. 222+D. 32【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式转化求解即可．【详解】解：22222111()22(222)()222b b a b b a ababb a b ab ab ab+++++++====，当且仅当2a b =时取等号，即22a =21b =时等号成立，故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力，属于中档题。

9.已知三个二次函数为()()(1)(2)11,2,3,0i i i f x a x x i a =+--=≠，若它们对应的零点记作(1,2,3)i x i =，则当1230a a a >>>且0(1,2,3)i x i >=时，必有（ ）A. 123x x x <<B. 123x x x >>C. 123x x x ==D. 123,,x x x 的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知三个二次函数都开口向上，再由a 的大小关系得出开口大小，画出图象即可观察出三个大于零的零点的大小关系．【详解】解：已知i a 的作用是：（1）开口方向；（2）张口大小， 因为1230a a a >>>，所以开口均向上． 又因为二次函数开口向上时，a 越大开口越小， 所以1()f x 、2()f x 、3()f x 的开口依次变大，所以123x x x <<．故选：A ．【点睛】主要考查了二次函数解析式中a 的作用，以及利用函数图象分析函数性质． 10.已知数列{}n a 满足：()*2121,22n n n n n a a a n n a a ----=∈>-，若1231,7a a ==，则2019a =（ ）A .38075B.36054 C.56058D.54036【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后求解通项公式，即可得到所求结果． 【详解】解：由题意数列{}n a 满足：*2121(,2)2n n n n n a a a n N n a a ----=∈>-，可得21112n n n a a a --+=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 211174133d a a =-=-=， 所以14411(1)33n n n a -=+-=，2019334201918075a ==⨯-．故选：A ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.设等差数列{}n a 的前项和为()*n S n ∈N ，若153,11aa ==-，则3a =________，5S =________.【答案】 (1). 4- (2). 20- 【解析】 【分析】根据等差中项的性质可得3a ，利用等差数列的前n 项和公式及等差中项的性质可得5S 的值． 【详解】解：依题意，153311422a a a +-===-； 1553555(4)202a a S a +=⨯==⨯-=-． 故答案为：4-，20-．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前n 项和，主要考查了推理能力和计算能力，属于基础题．12.设lg 2,lg3a b ==，则10a b +=________（用数字表示），3lg 8=________（用,a b 表示） 【答案】 (1). 6 (2). 3b a - 【解析】 【分析】第一个空直接把对数形式转化为指数形式，利用指数的运算性质求解即可；第二个空直接利用对数的运算性质求解即可．【详解】解：2a lg =，3b lg =，102a ∴=，103b =，101010236a b a b +∴==⨯=． 2a lg =，3b lg =，33833238lg lg lg lg lg b a ∴=-=-=-．故答案为：6，3b a -．【点睛】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题．13.已知,,a b c ∈R ，若{}2|0{|12}x ax bx c x x ++>=<<，则a ________0（填<，>，=之一）.若记{}2|0x cxbx a P ++<=，则R P =________.（用描述法表示集合）【答案】 (1). < (2). 1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤【解析】 【分析】由{}{}2|0|12x ax bx c x x ++>=<<，可得0a <且20ax bx c ++=的根分别是1和2，结合二次方程的根与系数关系可求a ，b ，c 的关系，进而可求解不等式，即可求解补集．【详解】解：由{}{}2|0|12x ax bx c x x ++>=<<，可得0a <且20ax bx c ++=的根分别是1和2，∴032a b a c a ⎧⎪<⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，20c a ∴=<，30b a =->，由20cx bx a ++<可得，2230ax ax a -+<，22310x x ∴-+>，解可得，12x <或1x >，即1|12P x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或 1|12R P x x ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭．故答案为：<；1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解及补集的求解，解题的关键是二次方程与二次不等式的关系的相互转化．14.若实数x y ，满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32x y -的最小值是________，y 的最大值是________.【答案】 (1). 2- (2). 2 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值，得到y 的值．【详解】解：实数x ，y 满足10,1010,x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩表示的可行域如图：令32z x y =-，可知目标函数经过可行域的C 点时，32x y -取得最小值，由1010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,1)C ， 所以32x y -的最小值是：2-，在可行域中B 点在最高点，故在B 时y 取最大值1010x x y -=⎧⎨-+=⎩解得()1,2B 此时2y =． 故答案为：2-；2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15.已知单位向量12,e e 满足：12e e ⊥123e e -与12()e me m R +∈的夹角为3π，则m 的值等于________. 【答案】33【解析】 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质可得，120e e =，再利用两个向量数量积的定义和公式，求得m 的值． 【详解】解：单位向量12,e e 满足：12e e ⊥，∴120e e =，212123|(3)312e e e e -=-=+，221212||()1e me e me m +=+=+． 123e e -与12()e me m R +∈的夹角为3π， 则21212(3)()21cos3e e e me m π-+=+，231m m +3m ∴=3 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义和公式，求向量的模的方法，属于中档题．16.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________.【答案】9- 【解析】 【分析】由已知展开倍角公式求得tan α，再由两角和与差的正切求解． 【详解】解：由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题． 17.已知函数()32*()5(4)1f x x n x nx n N =++++∈有三个零点且均为有理数，则n 的值等于________.【答案】7 【解析】 【分析】由(1)5410f n n -=-++-+=，可得1-是函数()f x 的一个零点．令232()(1)(51)5(4)1(*)f x x x ax x n x nx n N =+++=++++∈．可得：1a n +=．因此方程25(1)10x n x +-+=有两个根，且均为有理数．0∆，且2(1)20n ∆=--为完全平方数．设22(1)20n k --=，*k N ∈．进而结论．【详解】解：由(1)5410f n n -=-++-+=，可得1-是函数()f x 的一个零点．令23232()(1)(51)5(5)(1)15(4)1(*)f x x x ax x a x a x x n x nx n N =+++=+++++=++++∈． 54a n ∴+=+，1a n +=，即1a n +=．∴方程25(1)10x n x +-+=有两个根，且均为有理数．2(1)200n ∆=--，可得251n +，且2(1)20n ∆=--为完全平方数． 设22(1)20n k --=，*k N ∈．(1)(1)2045210120n k n k ∴-+--==⨯=⨯=⨯，经过验证只有：110n k -+=，12n k --=，7n =，4k =时满足题意．∴方程25(1)10x n x +-+=即25610x x ++=，解得11x =-，215x =-，均为有理数． 因此7n =． 故答案为：7．【点睛】本题考查了因式分解方法、方程的解法、恒等式变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.在ABC △中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且7,8a b ==，3A π=.（1）求sin B 和c ；（2）若ABC △是钝角三角形，求ABC △的面积. 【答案】(1) 3sin 7B =，5c =或3c =. (2) 3【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sin B ，由余弦定理即可解得c 的值．（2）由已知可得B 为ABC ∆中最大的角，由ABC ∆是钝角三角形，利用余弦定理分类讨论可得c 的值，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）在ABC △中，因为7,8,3a b A π===，所以由正弦定理sin sin B Ab a=， 得sin 8343sin 7b A B a ===由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-得214964282c c =+-⨯⨯⨯即28150c c -+=，得5c =或3c =. （2）b a >，bc >，所以B 为ABC △中最大的角，当5c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉，当3c =时，222cos 02a c b B ac+-=<，ABC △为钝角三角形，所以3c =所以1sin 632ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于基础题．19.已知平面向量(sin 2,cos 2),(sin 2,cos 2)a x x b ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ的值； （2）求函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： （3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切．【答案】(1) 38ϕπ=- (2) 2-1. (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积求得函数()f x 、()4y f x π=-的表达式，从而利用三角函数性质求得ϕ的值；（2）结合x 的取值范围求得函数最值；（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与()4y f x π=-图象的关系．【详解】(1)可知()sin 2sin 2cos 2cos 2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-， 所以cos 22sin(22)44f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为8x π=是函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得1()28k k Z πϕπ=+∈ 因为0πϕ-<<，所以31,8k ϕπ=-=- (2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以332,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为22和1-. (3)因为32cos 24y x π'⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-， 530x y -+=52>，530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切.【点睛】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.已知函数()|22||1|3f x x x =++-+. （1）解不等式()6f x <；（2）若对R x ∈，不等式()f x λ≥恒成立，求实数λ的最大值；（3）若对R ，不等式2()1f x kx ≤+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 4|03x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 5 (3) 6k ≥ 【解析】 【分析】（1）根据()6f x <，分1x ，11x -<和1x <-三种情况去绝对值，然后解出不等式即可； （2）不等式()f x λ恒成立，只需()min f x λ，求出()f x 的最小值，可得λ的最大值； （3）根据[]1,2x ∈，可得233kx x +恒成立，求出233x x+的最大值，可得k 的范围． 【详解】（1）由()6f x <得|22||1|3x x ++-<，所以可由12213x x x ≥⎧⎨++-<⎩或112213x x x -≤<⎧⎨++-<⎩或12213x x x <-⎧⎨--+-<⎩解得分别为x ∈∅或10x -≤<或413x -<<-， 所以不等式()6f x <的解集为4|03x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）因为34,1()6,1132,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-+<-⎩，所以min [()]5f x =因为()f x λ≥恒成立，所以5λ≤，故实数λ的最大值为5. （3）由2()1f x kx ≤+得2|22||1|2kx x x ≥++-+， 因为[1,2]x ∈，所以233k x x≥+恒成立， 又因为当[1,2]x ∈时，2max336x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦， 所以实数k 的取值范围为6k ≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．21.已知函数()(1)ln (R)f x k x x k =--∈. （1）求()f x 的单调区间（用k 表示）；（2）若{|(),1}(0,)y y f x x =>⊆∞，求k 的取值范围. 【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2) [1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）根据条件可知0x >，利用导数分别讨论0k >，0k 时的区间即可；（2）由条件得，当1x >时，()0f x >恒成立即(1)0k x lnx -->恒成立，分别讨论0k ，1k 时，01k <<时的情况，即可求出范围．【详解】解：（1）已知0x >，11()kx f x k x x-'=-=， ①当0k 时，1()0f x k x'=-<，此时()f x 单调递减，单调减区间为(0,)+∞； ②当0k >，令11()0kx f x k x x-'=-==，解得1x k， 所以当0k >时，()f x 的递增区间为1(k ，)+∞，递减区间为1(0,)k；（2）由条件得，当1x >时，()0f x >恒成立即(1)0k x lnx -->恒成立， 当0k 时，由1x >时，得(1)0k x lnx -->显然不成立，所以0k >，令1()1()0k x k f x k x x-'=-==，解得1xk， 当1k 时，所以()0f x '>，所以()()10f x f >=，即(1)0k x lnx -->恒成立， 所以，当1k 时，(1)0k x lnx -->在(1,)+∞上恒成立， 又当01k <<时，11k>，()f x 在1(1,)k 上为减函数，在1(k ，)+∞上为增函数，所以()()10min f x f <=，不满足题意， 综上，所求k 的取值范围是[)1,+∞．【点睛】本题考查导数单调区间，含参数函数恒成立问题，讨论k 的取值范围是关键，属于中档题． 22.记数列{}n a 的前n 项和为1231nn n i i S a a a a a ==++++=∑，已知数列{}n a 满足20202020*11,,A 0,1n i i i i a R n N a a ==∈∈==∑∑.（1）若数列{}n a 为等比数列，求20201ii ia=∑的值；（2）证明：|2020120192i i ia =≤∑. 【答案】(1) 12(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 为公比为q 的等比数列，由题意可得10a ≠，1q ≠，运用等比数列的求和公式，可得1q =-，再由错位相减法和已知条件，计算可得所求和；（2）设{1k ∈，2，3，⋯，2019}，由2020121202010i k k i a a a a a a +==++⋯+++⋯+=∑，得到1202012120201||(||||)2k k k a a a a a a a +++⋯+=++⋯+++⋯+，运用基本不等式的性质可得120201||2k a a ++⋯+，再由绝对值不等式的性质可得202011201921112019lim 02222t i its ia =∑+++⋯+=个，即可得证．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，易知10,1a q ≠≠所以由()2020202011101i i a q a q=-==-∑得20201q=，所以1q =-，又由202011i i a ==∑得112020a =设202020201232019202012320192020ii S iaa a a a a ===+++++∑202020202342020202112320192020i i qS ia a a a a a ===+++++∑200020201232020201120211(1)20202020i i q S a a a a a a a =-=++++-=-∑20202011110202020202020a a q a =-=-=-202011010S a =-故20202020112i i ia S ===∑ （2）证明：设{1,2,,2019}k ∈，因为2020121202010i k k i a a a a a a +==+++++=∑所以()12120201212020,k k k k a a a a a a a a a a +++++=-+++++=++所以()12020121202012k k k a a a a a a a ++++=++++++()20201220201111222i i a a a a =≤+++==∑ 故202012320201232020ii iaa a a a ==++++∑()()(1220202202020192020|a a a a a a a a =+++++++++12202022020201920202020a a a a a a a a ≤++++++++++120192111201902222≤+++⋯+=个即2020120192i i ia =≤∑得证 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，正确运用绝对值不等式的性质是解题的关键，属于难题．。