2013普通高等学校招生全国统一考试新课标全国2卷高考文科数学试题
2013年高考文科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}M x x =-<<,{3,2,1,0,1}N =---,则M N = ( )A .{2,1,0,1}--B .{3,2,1,0}---C .{2,1,0}--D .{3,2,1}---2.2||1i=+( )A .22B .2C .2D .13.设x ,y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤则23z x y =-的最小值是( )A .7-B .6-C .5-D .3-4.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2b =,π6B =,π4C =,则ABC △的面积为( )A .232+B .31+C .232-D .31-5.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为( )A .36B .13C .12D .336.已知2sin 23α=,则2πcos ()4α+=( )A .16B .13C .12 D .237.执行如图的程序框图,如果输入的4N =,那么输出的S = ( )A .1111234+++B .1111232432+++⨯⨯⨯ C .111112345++++D .111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8.设3log 2a =,5log 2b =,2log 3c =,则( )A .a c b >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )ABCD10.设抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点.若||3||AF BF =,则l 的方程为( )A .1y x =-或1y x =-+B .3(1)3y x =-或3(1)3y x =-- C .3(1)y x =-或3(1)y x =--D .2(1)2y x =-或2(1)2y x =-- 11.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=12.若存在正数x 使2()1x x a -<成立,则a 的取值范围是( )A .(,)-∞+∞B .(2,)-+∞C .(0,)+∞D .(1,)-+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________. 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 15.已知正四棱锥O ABCD -的体积为322,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.16.函数cos(2)(ππ)y x ϕϕ=+-≤＜的图象向右平移π2个单位后,与函数πsin(2)3y x =+的图象重合,则ϕ=________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零,125a =,且1a ,11a ,13a 成等比数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===,22AB =,求三棱锥1C A DE -的体积.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位:t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为23.（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程； （Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为22,求圆P 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数2()e x f x x -=.（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明: （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.3 / 124．【答案】B【解析】ππ()π-+64πA B C ⎛ ⎝＝－＋＝由正弦定理得sin sin a bA B=，6．【答案】A【解析】由半角公式可得，cos45 / 12的投影即正视图为，故选10．【答案】C【解析】由题意可得抛物线焦点当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过物线定义可得，AM AF ＝，设3()0AM AF t t ＝＝＞，BN ＝611．【答案】C【解析】若0x 是()f x 的极小值点，则正确.12．【答案】D【解析】由题意可得，x a >7 / 12【答案】2{},AB AD 为基底，则0AB AD ⋅=，而12AE AB AD =+，-BD AD AB =， ∴22111()(-)--222AE BD AB AD AD AB AB AD ⋅=+⋅=+=15．【答案】24π【解析】如图所示，在正四棱锥∴1322OO ＝，1AO ＝在1Rt OO A ∆中，OA ＝|89 / 12又D 是AB 中点，连结1DF 因为1DF ACD ⊂平面，1ACD 平面， 所以11.BC ACD 平面 （2）因为11ABC A B C －是直三棱柱，所以AA AC CB ＝，D AB A ＝，于是1011/ 1212。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(文科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}2.|21+i|=( )A.2√2B.2C.√2D.13.设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-34.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2B.√3+1C.2√3-2D.√3-15.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A.√36B.13C.12D.√336.已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A.16B.13C.12D.237.执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+12+13+14 B.1+12+13×2+14×3×2 C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×28.设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )10.设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)11.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=012.若存在正数x 使2x (x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)D.(-1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 . 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 15.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3√22,底面边长为√3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π个单位后,与函数y=sin (2x +π)的图象重合,则φ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD;(Ⅱ)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2√2,在y轴上截得线段长为2√3. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;,求圆P的方程.(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为√2221.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ca≤13;(Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.C 由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.2.C |21+i|=|2(1-i )2|=|1-i|=√2.选C.3.B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.4.B 由正弦定理b sinB =csinC及已知条件得c=2√2.又sin A=sin(B+C)=12×√22+√32×√22=√2+√64,从而S △ABC =12bcsin A=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.故选B.5.D 在Rt△PF 2F 1中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|=√3.所以e=2c 2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=√33.故选D. 6.A cos 2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1-sin2α2=16.选A.评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用. 7.B 由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4;T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5>4,故输出S.选B. 8.D∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log 3√3<log 32<log 33,log 51<log 52<log 5√5,log 23>log 22,∴12<a<1,0<b<12,c>1,∴c>a>b.故选D.9.A 在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx 平面为投影面所得的正视图为A.评析 本题考查了三视图和直观图,考查了空间想象能力.把几何体补成正方体是求解的关键.10.C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1垂直准线于A 1,BB 1垂直准线于B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC ||AB |=|BC |4t=12,∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.11.C 由三次函数的值域为R 知, f(x)=0必有解,A 项正确;因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可由曲线y=x 3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B 项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f '(x)必有2个零点,设为x 1,x 2(x 1<x 2),则有f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),所以f(x)在(-∞,x 1)上递增,在(x 1,x 2)上递减,在(x 2,+∞)上递增,则x 2为极小值点,所以C 项错误,D 项正确.选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数的单调性和极值.掌握基本初等函数的图象和性质是解题关键.12.D 由2x(x-a)<1得a>x-12x ,令f(x)=x-12x ,即a>f(x)有解,则a>f(x)min ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键. 二、填空题 13.答案 0.2解析 任取两个不同的数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为210=0.2. 14.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2). 从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2. 评析 本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算. 15.答案 24π解析 设底面中心为E,则|AE|=12|AC|=√62,∵体积V=13×|AB|2×|OE|=|OE|=3√22,∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以|OA|为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.评析 本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.计算错误是失分的主要原因. 16.答案 56π解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f (x -π2)=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x+φ-π)=sin [(2x +φ-π)+π2]=sin (2x +φ-π2)的图象,因为其与y=sin (2x +π3)的图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d.由题意得,a 112=a 1a 13, 即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d). 于是d(2a 1+25d)=0.又a 1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故a n =-2n+27.(Ⅱ)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.由(Ⅰ)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.解析(Ⅰ)证明:连结AC 1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由于AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A1D=√6,DE=√3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以V C-A1DE =13×12×√6×√3×√2=1.评析本题考查了三棱柱的性质,考查了直线与平面平行的判定和体积的计算,考查了空间想象能力和运算求解能力.正确地选择方法和规范化解题至关重要.19.解析(Ⅰ)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X-39000,100≤X<130, 65000,130≤X≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 000元的概率的估计值为0.7.20.解析 (Ⅰ)设P(x,y),圆P 的半径为r.由题设得y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.从而y 2+2=x 2+3.故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(Ⅱ)设P(x 0,y 0),由已知得00√2=√22. 又P 在双曲线y 2-x 2=1上,从而得{|x 0-y 0|=1,y 02-x 02=1.由{x 0-y 0=1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=-1.此时,圆P 的半径r=√3. 由{x 0-y 0=-1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=1.此时,圆P 的半径r=√3. 故圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=-e -x x(x-2).①当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时, f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e -2.(Ⅱ)设切点为(t, f(t)),则l 的方程为y=f '(t)(x-t)+f(t).所以l 在x 轴上的截距为m(t)=t-f (t )f '(t )=t+tt -2=t-2+2t -2+3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x (x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2√2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞).综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞). 评析 本题考查了导数的应用,均值定理求最值,考查了综合解题的能力,正确地求导是解题的关键.22.解析 (Ⅰ)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.证明 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13. (Ⅱ)因为a 2b +b≥2a,b 2c +c≥2b,c 2a +a≥2c, 故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
2013年全国高考文科数学试题及答案-新课标2
绝密★启用前2013 年一般高等学校招生全国一致考试(新课标Ⅱ卷 )数学(文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
写在本试卷上无效。
3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共 50分）一、选择题：本大题共 10 小题。
每题 5 分，共 50 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1、已知会合M { x | 3 x 1} ， N { 3, 2, 1,0,1} ，则M I N （）（A）{ 2, 1,0,1} （B） { 3, 2, 1,0} （C）{ 2, 1,0} （D） { 3, 2, 1}【答案】 C【分析】由于M { x 3 x 1} ，N{ 3, 2, 1,0,1} ,因此M I N{ 2, 1,0} ，选C.22、（）1 i（A）22（B）2（C）2（D）1【答案】 C【分析】2 2(1 i ) 2(1 i )，因此2，选 C.1 i (1 i )(1 i ) 21 i 21 ix y 1 0,3、设x, y知足拘束条件x y 1 0, ，则 z 2x 3 y 的最小值是（）x 3,（A）7 （B）6 （C）5 （D）3【答案】 B【分析】由2z , 平移直线z=2x-3y 得 3y=2x-z ，即 yx 。
作出可行域如图3 32zy 2 z2zyx，由图象可知当直线x经过点 B 时，直线 yx的截距最大， 此时 z 取333 3 33x y 1 0 x 3 得 z 3 2 3 46 ，得最小值，由得y，即 B(3, 4) , 代入直线 z=2x-3yx 34选 B.4、ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b2 ， B， C ，则 ABC 的面积64为（ ）（A ）2 3 2 （B ）31（C ）2 32（D ）31【答案】 B【分析】 由于 B, C ,因此 A7 .由正弦定理得b c ，解得 c 2 2 。
2013全国新课标卷2数学(文科)试卷及解析
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以MN {2,1,0}=--，选C.2、21i=+（ ） （A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i =+ C. 3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B- 2 -【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）232 （B 31 （C ）232 （D 31 【答案】B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得22c =所以三角形的面积为117sin 2222212bc A π=⨯⨯.因为73221231sinsin()()123422222πππ=+=+=+，所以1231sin 22()3122bc A =+=，选B. 5、设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A 3 （B ）13 （C ）12（D 3【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2123432tan 30,3PF c PF ===。
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.13.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－34.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－15.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝012.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.【解答】解：∵集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},∴M∩N＝{－2,－1,0}.故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解：＝＝＝.故选：C.【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.3.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－3【分析】先画出满足约束条件：,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z＝2x－3y的最小值.【解答】解：根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z＝2×3－3×4＝－6.故选：B.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－1【分析】由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c及sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解：∵b＝2,B＝,C＝,∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2,A＝,∴sinA＝sin(＋)＝cos＝,则S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.故选：B.【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.5.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.【分析】设|PF2|＝x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解：|PF2|＝x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,∴|PF1|＝2x,|F1F2|＝x,又|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c∴2a＝3x,2c＝x,∴C的离心率为：e＝＝. 故选：D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝,∴cos2(α＋)＝[1＋cos(2α＋)]＝(1－sin2α)＝×(1－)＝.故选：A.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S＋的值代替S得到新的S,并用k＋1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.【解答】解：根据题意,可知该按以下步骤运行第一次：S＝1,第二次：S＝1＋,第三次：S＝1＋＋,第四次：S＝1＋＋＋.此时k＝5时,符合k＞N＝4,输出S的值.∴S＝1＋＋＋故选：B.【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.【解答】解：由题意可知：a＝log32∈(0,1),b＝log52∈(0,1),c＝log23＞1,所以a＝log32,b＝log52＝,所以c＞a＞b,故选：C.【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查.9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可. 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为：故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y＝k(x－1),与抛物线方程联解消去x,得－y－k＝0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x,可得它的焦点为F(1,0), ∴设直线l方程为y＝k(x－1)由消去x,得－y－k＝0设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1＋y2＝,y1y2＝－4…(*)∵|AF|＝3|BF|,∴y1＋3y2＝0,可得y1＝－3y2,代入(*)得－2y2＝且－3y22＝－4,消去y2得k2＝3,解之得k＝∴直线l方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1) 故选：C.【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分,求直线AB的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝0【分析】对于A,对于三次函数f(x )＝x3＋ax2＋bx＋c,由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故在区间(－∞,＋∞)肯定存在零点；对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法,若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,正确.【解答】解：A、对于三次函数f (x )＝x3＋ax2＋bx＋c,A：由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故∃x0∈R,f(x)＝0,故A正确；B、∵f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c,f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c,∵f(－－x)＋f(x)＝2f(－),∴点P(－,f(－))为对称中心,故B正确.C、若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,对于f(x)＝x3－x2－x,∵f′(x)＝3x2－2x－1∴由f′(x)＝3x2－2x－1＞0得x∈(－∞,－)∪(1,＋∞)由f′(x)＝3x2－2x－1＜0得x∈(－,1)∴函数f(x)的单调增区间为：(－∞,－),(1,＋∞),减区间为：(－,1), 故1是f(x)的极小值点,但f(x )在区间(－∞,1)不是单调递减,故C错误；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,故D正确.由于该题选择错误的,故选：C.【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算.12.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)【分析】转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.【解答】解：因为2x(x－a)＜1,所以,函数y＝是增函数,x＞0,所以y＞－1,即a＞－1,所以a的取值范围是(－1,＋∞).故选：D.【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2 .【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况,和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝ 2 .【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则＝0,故＝( )•()＝()•()＝－＋－＝4＋0－0－＝2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24π.【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O－ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O－ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.【解答】解：如图,正四棱锥O－ABCD的体积V＝sh＝(×)×OH＝,∴OH＝,在直角三角形OAH中,OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π.【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y＝cos[2(x－)＋φ]的图象,即y＝cos(2x＋φ－π)的图象.结合题意得函数y＝sin(2x＋)＝的图象与y ＝cos(2x＋φ－π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.【解答】解：函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x＋φ－π),而函数y＝sin(2x＋)＝,由函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,得2x＋φ－π＝,解得：φ＝.符合－π≤φ＜π.故答案为.【点评】本题给出函数y＝cos(2x＋φ)的图象平移,求参数φ的值.着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1＋25d)＝0,解出d即可得到通项公式an；(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,∴,化为d(2a1＋25d)＝0,∵d≠0,∴2×25＋25d＝0,解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.∴Sn ＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝＝－3n2＋28n.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.【分析】(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得的值,再根据三棱锥C－A1DE的体积为••CD,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)证明：连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.∵直棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)∵AA1＝AC＝CB＝2,AB＝2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1,∴CD＝＝.∵A1D＝＝,同理,利用勾股定理求得 DE＝,A1E＝3.再由勾股定理可得＋DE2＝,∴A1D⊥DE.∴＝＝,∴＝••CD＝1.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.【解答】解：(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T＝500X－300(130－X)＝800X－39000,当X∈[130,150]时,T＝500×130＝65000,∴T＝.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程；(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.【解答】解：(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝－y2＋r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝－x2＋r2,由两式整理得x2＋3＝y2＋2,整理得y2－x2＝1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线(Ⅱ)由P点到直线y＝x的距离为得,＝,即|x－y|＝1,即x＝y＋1或y＝x＋1,分别代入y2－x2＝1解得P(0,－1)或P(0,1)若P(0,－1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3；若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y－1)2＋x2＝3；综上,圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3或(y－1)2＋x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质,解题的关键是理解圆的几何特征,将几何特征转化为方程21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值；(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)＝x2e－x,∴f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2),令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝2,令f′(x)＞0,可解得0＜x＜2；令f′(x)＜0,可解得x＜0或x＞2,故函数在区间(－∞,0)与(2,＋∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.∴x＝0是极小值点,x＝2极大值点,又f(0)＝0,f(2)＝.故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(Ⅱ)设切点为(),则切线方程为y－＝(x－x),令y＝0,解得x＝＝,∵曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数,∴(＜0,∴x0＜0或x＞2,令,则＝.①当x0＜0时,0,即f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,0)上单调递增,∴f(x)＜f(0)＝0；②当x0＞2时,令f′(x)＝0,解得.当时,f′(x0)＞0,函数f(x)单调递增；当时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.故当时,函数f(x)取得极小值,也即最小值,且＝.综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是(－∞,0)∪.【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A,及BC•AE＝DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD＝∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE＝∠DBC,进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB＝BE,可得CE＝DC,利用切割线定理可得DC2＝DB•DA,CA2＝CB2＋BA2,都用DB表示即可.【解答】(1)证明：∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB＝∠A,∵BC•AE＝DC•AF,∴.∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD＝∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE＝∠DBC,∴∠CFE＝∠AFE＝90°.∴∠CBA＝90°,∴CA是△ABC外接圆的直径；(2)连接CE,∵∠CBE＝90°,∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB＝BE,得CE＝DC,又BC2＝DB•BA＝2DB2,∴CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB•DA＝3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝.【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出；(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα＋cos2α,sinα＋sin2α).M 的轨迹的参数方程为为参数,0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d ＝(0＜α＜2π).当α＝π时,d＝0,故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意,由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,利用基本不等式可得3(ab＋bc＋ca)≤1,从而得证；(Ⅱ)利用基本不等式可证得：＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,三式累加即可证得结论.【解答】证明：(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,由题设得(a＋b＋c)2＝1,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,所以3(ab＋bc＋ca)≤1,即ab＋bc＋ca ≤.(Ⅱ)因为＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c),即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【点评】本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论证能力,属于中档题.第21页，共21页。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N =I （ ） （A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以M N I {2,1,0}=--，选C. 2、21i=+（ ） （A ）22 （B ）2 （C ）2 （D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以221i =+，选C.3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）232+ （B ）31+ （C ）232- （D ）31- 【答案】B【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得22c =。
2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(II)(数学文)Word版含答案7.doc
2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷(II)(数学文)Word版含答案7绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）2、（）（A）（B）（C）（D）3、设满足约束条件，则的最小值是（）（A）（B）（C）（D）4、的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）（A）（B）（C）（D）5、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）（A）（B）（C）（D）6、已知，则（）（A）（B）（C）（D）7、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（）（A）（B）（C）（D）8、设，，，则（）（A）（B）（C）（D）9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)10、设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。
若，则的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或11、已知函数，下列结论中错误的是（）（A），（B）函数的图象是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则12、若存在正数使成立，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学-全国二卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}2.|21+i |=( ) A.2√2 B.2C.√2D.13.设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-34.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1C.2√3-2D.√3-15.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A.√36 B.13C.12D.√336.已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A.16 B.13C.1D.27.执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+12+13+14 B.1+12+13×2+14×3×2 C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×28.设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )10.设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)11.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=012.若存在正数x 使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)D.(-1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 . 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 15.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3√22,底面边长为√3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A1DE的体积.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2√2,在y轴上截得线段长为2√3. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;,求圆P的方程.(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为√2221.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分10分) 选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1.证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤1; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.C 由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.2.C |21+i |=|2(1-i )2|=|1-i|=√2.选C.3.B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.4.B 由正弦定理b sinB =csinC及已知条件得c=2√2.又sin A=sin(B+C)=12×√22+√32×√22=√2+√64,从而S △ABC =12bcsin A=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.故选B.5.D 在Rt△PF 2F 1中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|=√3.所以e=2c 2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=√33.故选D.6.A cos 2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1-sin2α2=16.选A.评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用. 7.B 由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4;T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5>4,故输出S.选B. 8.D∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log 3√3<log 32<log 33,log 51<log 52<log 5√5,log 23>log 22,∴12<a<1,0<b<12,c>1,∴c>a>b.故选D.9.A 在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx 平面为投影面所得的正视图为A.评析 本题考查了三视图和直观图,考查了空间想象能力.把几何体补成正方体是求解的关键.10.C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1垂直准线于A 1,BB 1垂直准线于B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC ||AB |=|BC |4t =12,∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.11.C 由三次函数的值域为R 知, f(x)=0必有解,A 项正确;因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可由曲线y=x 3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B 项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f '(x)必有2个零点,设为x 1,x 2(x 1<x 2),则有f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),所以f(x)在(-∞,x 1)上递增,在(x 1,x 2)上递减,在(x 2,+∞)上递增,则x 2为极小值点,所以C 项错误,D 项正确.选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数的单调性和极值.掌握基本初等函数的图象和性质是解题关键.12.D 由2x(x-a)<1得a>x-12x ,令f(x)=x-12x ,即a>f(x)有解,则a>f(x)min ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键. 二、填空题 13.答案 0.2解析 任取两个不同的数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为210=0.2.14.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2). 从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2. 评析 本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算. 15.答案 24π解析 设底面中心为E,则|AE|=12|AC|=√62,∵体积V=13×|AB|2×|O E|=|OE|=3√22,∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以|OA|为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.评析 本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.计算错误是失分的主要原因. 16.答案 56π解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f (x -π2)=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x+φ-π)=sin [(2x +φ-π)+π2]=sin (2x +φ-π2)的图象,因为其与y=sin (2x +π3)的图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π.三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d.由题意得,a 112=a 1a 13,即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d). 于是d(2a 1+25d)=0.又a 1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故a n =-2n+27.(Ⅱ)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.由(Ⅰ)知a 3n-2=-6n+31,故{a 3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而 S n =n2(a 1+a 3n-2) =n2(-6n+56) =-3n 2+28n.18.解析 (Ⅰ)证明:连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD, 所以BC 1∥平面A 1CD.(Ⅱ)因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AA 1⊥CD.由于AC=CB,D 为AB 的中点,所以CD⊥AB. 又AA 1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB 1A 1. 由AA 1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A 1D=√6,DE=√3,A 1E=3,故A 1D 2+DE 2=A 1E 2,即DE⊥A 1D.所以V C -A 1DE =13×12×√6×√3×√2=1.评析 本题考查了三棱柱的性质,考查了直线与平面平行的判定和体积的计算,考查了空间想象能力和运算求解能力.正确地选择方法和规范化解题至关重要.19.解析 (Ⅰ)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000, 100≤X <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 000元的概率的估计值为0.7.20.解析 (Ⅰ)设P(x,y),圆P 的半径为r.由题设得y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.从而y 2+2=x 2+3.故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(Ⅱ)设P(x 0,y 0),由已知得00√2=√22. 又P 在双曲线y 2-x 2=1上,从而得{|x 0-y 0|=1,y 02-x 02=1.由{x 0-y 0=1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=-1.此时,圆P 的半径r=√3. 由{x 0-y 0=-1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=1.此时,圆P 的半径r=√3. 故圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=-e -x x(x-2).①当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时, f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e -2.(Ⅱ)设切点为(t, f(t)),则l 的方程为y=f '(t)(x-t)+f(t).所以l 在x 轴上的截距为m(t)=t-f (t )f '(t )=t+t t -2=t-2+2t -2+3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x (x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2√2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞).综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞).评析 本题考查了导数的应用,均值定理求最值,考查了综合解题的能力,正确地求导是解题的关键.22.解析 (Ⅰ)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DC EA ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. 23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2c os α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.证明(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,故a 2b +b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b2c+c2a≥a+b+c.所以a 2b +b2c+c2a≥1.。
2013高考全国卷2文科数学试卷及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 } （2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2（D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013高考数学新课标2 文科
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ） A.{2,1,0,1}-- B.{3,2,1,0}--- C.{2,1,0}-- D.{3,2,1}--- 答案:C解题思路：因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以M N {2,1,0}=--.2.21i=+（ ）A.21 答案:C 解题思路：22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i=+3.设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）A.7-B.6-C.5-D.3- 答案:B解题思路：由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-.4.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A.21C.21 答案：B解题思路：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为7231s i n s i()1232222ππ=+=+，所以1231s n 2()312222b c A =⨯+=+. 5.设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠= ，则C 的离心率为（ ）13 C.12答案：D解题思路：因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以212tan 30,33PF c c PF ===。