2013广东高考文科数学真题
【推荐】2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= ．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a= ．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 ．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD 中，，BC=3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED= ．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值； （2）若，求． 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD=AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ﹣BCF ，其中BC=．（1）证明：DE ∥平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；（3）当AD=时，求三棱锥F ﹣DEG 的体积V F ﹣DEG ．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）．（1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={|2+2=0，∈R}，T={|2﹣2=0，∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程2+2=0的解集，则S={|2+2=0}={0，﹣2}，T为方程2﹣2=0的解集，则T={|2﹣2=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要+1＞0且﹣1≠0，进而可求得的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得＞﹣1且≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（+yi）=3+4i，，y∈R，则复数+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（+yi）=i﹣y=3+4i，，y∈R，∴=4，﹣y=3，即=4，y=﹣3．∴|+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=+1且与圆2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．+y+1=0 C．+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=+1，设l方程为y=﹣+b，即+y+b=0．根据直线l与圆2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=+1，可得直线l的斜率为=﹣1∴设直线l方程为y=﹣+b，即+y﹣b=0∵直线l与圆2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|= 15 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a 1+|a 2|+a 3+|a 4|的值． 【解答】解：∵数列{a n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n =a 1•q n ﹣1=（﹣2）n ﹣1，∴a 1=1，a 2=﹣2，a 3=4，a 4=﹣8，∴则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+2+4+8=15， 故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=a 2﹣ln 在点（1，a ）处的切线平行于轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a ）处的切线平行于轴， ∴2a ﹣1=0，得a=， 故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量，y 满足约束条件，则=+y 的最大值是 5 ．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 由得A （1，4）目标函数=+y 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，=1+4=5．最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即2+y2﹣2=0．化圆的方程为标准式，得（﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED= ．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC 边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =a n+12﹣4n ﹣1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． （1）证明：a 2=；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n ≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n+1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1． （3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离为，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点P （0，y 0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程； （2）先设，，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F （0，c ）（c ＞0）到直线l ：﹣y ﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C 的方程为2=4y ．（2）设，， 由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA ，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：② 联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率， 所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P （0，y 0）为直线l ：﹣y ﹣2=0上的点，所以0﹣y 0﹣2=0，即y 0=0﹣2， 所以直线AB 的方程为0﹣2y ﹣2y 0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得1+2=20，12=4y 0，0=y 0+2， 所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f （）=3﹣2+（∈R ）． （1）当=1时，求函数f （）的单调区间；（2）当＜0时，求函数f （）在[，﹣]上的最小值m 和最大值M ．【分析】（1）当=1时，求出f ′（）=32﹣2+1，判断△即可得到单调区间； （2）解法一：当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当＜0时，对∀∈[，﹣]，f （）﹣f （）及f （）﹣f （﹣）．【解答】解：f ′（）=32﹣2+1 （1）当=1时f ′（）=32﹣2+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（）＞0，f （）在R 上单调递增．（2）当＜0时，f ′（）=32﹣2+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（）≥0，f （）在[，﹣]上单调递增，从而当=时，f （）取得最小值m=f （）=，当=﹣时，f （）取得最大值M=f （﹣）=﹣3﹣3﹣=﹣23﹣． （ii ）当，即时，令f ′（）=32﹣2+1=0解得：，注意到＜2＜1＜0，∴m=min{f （），f （1）}，M=ma{f （﹣），f （2）}，∵，∴f（）的最小值m=f（）=，∵，∴f（）的最大值M=f（﹣）=﹣23﹣．综上所述，当＜0时，f（）的最小值m=f（）=，最大值M=f（﹣）=﹣23﹣解法2：（2）当＜0时，对∀∈[，﹣]，都有f（）﹣f（）=3﹣2+﹣3+3﹣=（2+1）（﹣）≥0，故f（）≥f（）．f（）﹣f（﹣）=3﹣2++3+3+=（+）（2﹣2+22+1）=（+）[（﹣）2+2+1]≤0，故f（）≤f（﹣），而f（）=＜0，f（﹣）=﹣23﹣＞0．=f（）=．所以，f（）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。
广东高考文科数学试题及答案word版
绝密★启用前 试卷类型：A2013年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟留意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准运用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必需保持答题卡的整齐，考试完毕后，将试题及答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式为，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}- 2．函数的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25图 21俯视图侧视图正视图215．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且及圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．20x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++= 8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ． B ． C ． D ．10．设a 是已知的平面对量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图 1是否结束输出s i=i +1i ≤ ni=1, s=1输入n 开始s=s+(i -1)11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ． 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 13．已知变量,x y 满意约束条件，则z x y =+的最大值是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系及参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求． 17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 依据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 及DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中． (1) 证明：DE //平面BCF ；图 3(2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满意21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<． 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的间隔 ．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上挪动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．2013年广东高考文科数学A 卷参考答案二、填空题11. 15 12.12 13.5 14. （θ为参数） 15.三、解答题16. 解：(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为； （2）重量在[80,85)的有个；（3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[)95,100分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的状况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[)95,100中各有1个的事务为A ，则事务A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以. 18. 解：（1）在等边三角形ABC 中，AD AE = ,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ， BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，. 在三棱锥A BCF -中，，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭19. 解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦20. 解：（1）依题意，解得1c =（负根舍去）∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24xy =,即得y '=12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为， 即. ∵， ∴ .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴. ① 同理， . ②综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满意方程 . ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当时，AF BF ⋅获得最小值为9221. 解：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx xkx =-+，其开口向上，对称轴 ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 获得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 获得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=+>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：1233k k x x +-==,留意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理推断，,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像推断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。
2013年全国高考文科数学试题及答案-广东卷
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D . 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 图 1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,c a b ==，选D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【解析】本题对数值要敏感，由AB 3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ，DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．图 4【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013年高考文科数学广东卷-答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}S T =I ，故选A ． 【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素． 【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞U 【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域． 【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模．【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V ==g ggg； 【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算．【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积． 7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =0b >，故b ，所以l 的方程为0x y +=；【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍．【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程． 8.【答案】B【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12ca =，所以2a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=；【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程． 【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断． 【考点】平面向量基本定理． 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =； 【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值． 【考点】线性规划问题的最值求解． 14.【答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=g CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭g g g ，所以CD ；（2）因为3cos 5θ=，3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525⨯-=⎭；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+； （3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 66种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==； 【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典图5中，因为DG BF ∥，//GE FC ，所以平面DGE ∥平面BCF ，所以DE BCF ∥平面； （2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，12BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE ；所以11111113323233F DEG DGE V S FG DG GE FG -====g g g g g g g g g △； 【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--， 所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =g ，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-g； （3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭， 所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识． 【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明．所以2d=，又因为0c>，所以解得1c=，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24x y=；（2）因为抛物线的方程为24x y=，即214y x=，所以12y x'=，设过00(,)P x y点的切线l'与抛物线的切点坐标为21,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l'的斜率210412y mk mx m-==-，解得10m x=+或20m x=；不妨设A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，==>，所以12m m≠；221112441201211()42ABm mk m m xm m-==+=-；所以直线AB的方程为210111()42y m x x m-=-，代入整理得：12y x=；（3）A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，F点坐标为(0,1)，因为0020x y--=；所以10m x x=+=+200m x x==，1202m mx+=，12048m mx=-；因此=||AF BFg22222222121212121212 11111111()1()[()2]1 44164164m m m m m m m m m m m m⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x⎛⎫=-+--+=-+=-+⎪⎝⎭，所以当32x=时，||||AF BFg取最小值92；【提示】由点到直线的距离公式建立关于c的方程，从而确定c并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y的目标函数，从而确定函数的最小值．【考点】点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，抛物线的定义和标准方程，导数的几何意义，直线与抛物线的交点，二次函数的最值以及待定系数法的应用．①当0∆≤时，即0k <时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <时，令()0f x '=，解得x =或x =()0f x '>，解得x <或x ；令()0f x '<，解得x <0k <=<-23kk >=>作()f x 的最值表如下：【提示】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值． 【考点】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值．。
广东高考文科数学试卷(word)版新鲜出炉
广东省高考2013年数学（文科）一、选择题（每题5分，共50分）1. 设集合{}R x x x x S ∈=+=,022，{}R x x x x T ∈=-=,022，则=T S （ ）A. {}0B. {}2,0C. {}0,2-D. {}2,0,2-2. 函数1)1lg(-+=x x y 的定义域是（ ） A ．),1(+∞-B ．),1[+∞-C ．),1()1,1(+∞-D ．),1()1,1[+∞- 3. 若i yi x i 43)(+=+，R y x ∈,，则复数yi x +的模是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知51)25sin(=+απ，那么=αcos （ ） Ａ．52- Ｂ．51- Ｃ．51 Ｄ．52 5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ） Ａ．61 Ｂ．31 Ｃ．32 Ｄ．17．垂直于直线1+=x y 且与圆122=+y x 相切与第一象限的直线方程是（ ） Ａ．02=-+y x Ｂ．01=++y x Ｃ．01=-+y x Ｄ．02=++y x8．设l 为直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）Ａ．若l ∥α,l ∥β,则α∥βＢ．若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β Ｃ．若l ⊥α,l ∥β,则α∥β Ｄ．若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为)0,1(F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ） Ａ．14322=+y x Ｂ．13422=+y x Ｃ．12422=+y x Ｄ．13422=+y x 10．设a 是已知的平面向量且0≠a .关于向量a 的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使c b a +=；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使c b a μλ+=；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使c b a μλ+=；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使c b a μλ+=.上述命题中的向量c b ,和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．4二、填空题（每题5分，共20分） 11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则321a a a a +++ 12．若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则=a ．13．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则y x z +=的最大值是．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则 曲线C 的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3=AB ，3=BC ，AC BE ⊥，垂足为E ，则=ED ．三、解答题16．（本小题满分12分） 已知函数)12cos(2)(π-=x x f ，R x ∈．（1）求)3(πf 的值； （2）若53cos =θ，)2,23(ππθ∈，求)6(πθ-f ．17．（本小题满分12分）（1）根据频数分布表计算苹果的重量在)95,90[的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在)85,80[和)100,95[的苹果中共抽取4个，其中重量在)85,80[的有几个；（3）从（2）中抽出的苹果中，任取2个，求重量在)85,80[和)100,95[中各有1个的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,上的点，AE AD =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC . （1）证明：DE ∥平面BCF ；（2）证明：CF ⊥平面ABF ；；（3）当32=AD 时，求三棱锥DEG F -的体积DEG F V -.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足14421--=+n a S n n ，*∈N n ，且1432,,a a a 构成等比数列.（1）证明：5412+=a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有211...1113221<++++n n a a a a a a .已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点),0(c F )0(>c 到直线:l 02=--y x 的距离为223，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PB PA ,，其中B A ,为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求BF AF ⋅的最小值.设函数x kx x x f +-=23)()(R k ∈．（1）当1=k 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）当0<k 时，求函数)(x f 在区间],[k k -上的最小值m 和最大值M .。
广东高考文科数学试题及答案word版
输入 n
i= 1, s= 1
i ≤n 是
s=s+ ( i -1)
否 输出 s
结束 i=i +1
2
1 正视图
1 侧视图
俯视图
图2
图1
6．某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是
1
A．
6
1
B．
3
2
C．
3
D．1
7．垂直于直线 y x 1且与圆 x2 y2 1相切于第一象限的直线方程是
A． x y 2 0
频数（个）
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 [80,85) 的有几个？
(3) 在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率．
①
2
同理， y0
x2 x0 2
y2. ②
综合①、②得，点 A( x1, y1), B ( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 ∵经过 A( x1, y1), B ( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的，
x
y0
x0 y .
2
∴直线 AB 的方程为 y0 x x0 y ，即 x0 x 2 y 2 y0 0 ； 2
11．设数列 { an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a1 | a2 | a3 | a4 |
．
12．若曲线 y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a
．
广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．222．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（），的定义域是（﹣3i|==53i|==54．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）B++（．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）BV==．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是B±，，解之得±﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣时，可得切点坐标（，﹣，直线方程为9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）B解：由题意设椭圆的方程为，又离心率等于所以椭圆的方程为．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）不一定能用两个单位向量的组合表示出来．和，只需求得其向量差即为所求的向量，使，故，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，，取=，λ都平行于μ成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为使等式成立，故为正数，所以和不一定能用两个单位向量的组合表示出来，成立，故二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．，，故答案为：．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．得选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．，得的参数方程为故答案为15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．AC=2AC EC=CD=AB=EC=+3﹣，．故答案为：四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．直接代入函数解析式求解．﹣）∵，17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．）的频率为18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．，可得．在三棱锥中，由，运算求得结果．中，=19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．）对于利用时，时，满足，且，构成等比数列，∴，）可知，，∴）可得式．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．）先设，）根据抛物线的定义，有，的距离）设，的方程为，的斜率分别为，①：的坐标为，即，的斜率为，整理得的斜率的方程为，整理得，即）根据抛物线的定义，有，=所以当的最小值为21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．，且过（，且过（，即）当，即解得：。
2013年高考广东卷文科数学试题及答案
设函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间；
(2)当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
7．垂直于直线 且与圆 相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .选A.
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
（ii）当 ，即 时，令