2013年高考真题——文科数学(广东卷A)解析版(1) Word版含答案
2013年高考文科数学广东卷word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：A解析：∵S ＝{－2,0}，T ＝{0,2}，∴S ∩T ＝{0}． 2．(2013广东，文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( )． A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：∵i(x ＋y i)＝－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x ＋y i ＝4－3i.∴|x ＋y i| 5. 4．(2013广东，文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )． A ．25- B ．15- C ．15 D ．25答案：C解析：∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4；i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＝0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m＝0.1=，解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m =.8．(2013广东，文8)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案：B解析：如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，对于A ，设l 为AA 1，平面B 1BCC 1，平面DCC 1D 1为α，β. A 1A ∥平面B 1BCC 1，A 1A ∥平面DCC 1D 1， 而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1＝C 1C ；对于C ，设l 为A 1A ，平面ABCD 为α，平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD ， A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1＝DC ；对于D ，设平面A 1ABB 1为α，平面ABCD 为β，直线D 1C 1为l ，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，D 1C 1∥平面A 1ABB 1，而D 1C 1∥平面ABCD ． 故A ，C ，D 都是错误的．而对于B ，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )． A ．22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y += 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知，c ＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝1 2.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z max＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB ，BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋32－2×2×3×cos 30°＝34＋9－23＝214.∴ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝3162=.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，① 4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)， 即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k -≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增． 从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k -＞0，即k ＜ 令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：13k x =，23k x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}． ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0，∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。
2013年高考真题——文科数学(广东卷A)解析 Word版含答案
图2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V S h =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg (1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D . 4．已知51sin ()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15- C ．15D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin ()sin (2+)sin co s 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是图 1A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+yxB ．13422=+yxC ．12422=+yxD ．13422=+yx【解析】基础题，1,2,c a b === D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量c ，使=+ a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y a x ya a x==-=-=∴=13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是 ．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1co s sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在矩形A B C D中，A B =3B C =，B E A C ⊥，垂足为E ，则E D = ．【解析】本题对数值要敏感，由A B =3B C =，可知60B A C ∠=从而302A E C A D =∠=，2D E ==【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）图 3已知函数()s ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33co s ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)s s 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33co s ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1s co s co s sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭． 【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450；（2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个；（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A )62P ==.图 4【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形A B C 中，,D E 分别是,A B A C 边上的点，A D A E =，F 是B C 的中点，A F 与D E 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A B C F -，其中2B C =．(1) 证明：D E //平面B C F ； (2) 证明：C F ⊥平面A B F ； (3) 当23A D =时，求三棱锥F D E G -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形A B C 中，A D A E =A D A E D BE C∴=,在折叠后的三棱锥A B C F -中也成立，//D E B C ∴ ,D E ⊄ 平面B C F ，B C ⊂平面B C F ，//D E ∴平面B C F ；（2）在等边三角形A B C 中，F 是B C 的中点，所以A F B C ⊥①，12B FC F ==.在三棱锥A B C F -中，2B C =，222B C B F C F C F B F ∴=+∴⊥②B FC F F C F A B F ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//G E C F ，结合（2）可得G E D F G⊥平面.111111132323323324F D E G E D F G V V D G F G G F --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,P A P B ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求A F B F ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==1c =（负根舍去）∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x .∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①同理， 20202y x x y -=. ②综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x x y -=002.∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线A B 的方程为y x x y -=002，即00220x x y y --=；（3）由抛物线的定义可知121,1A F y B F y =+=+， 所以()()121212111A F B F y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221A F B F y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，A FB F ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分） 设函数x kxx x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0fx ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3k x = ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0fx ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M fk k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=+->，即k <()'23210fx xkx =-+=解得：1233k k x x +-==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223k x x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12m in ,,m ax ,m f k f x Mf k f x ∴==-()()()()32211111110fx fk x kx x k x kx -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m fk k ==,()()()()()232322222222=[1]0fx fk x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++< ()fx ∴的最大值()32M fk k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=-- 解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()fx fk ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3m ax ()()2f x f k k k =-=--，m in ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013年高考文科数学广东卷-答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}S T =I ，故选A ． 【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素． 【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞U 【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域． 【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；【提示】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模．【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积111112323V ==g ggg； 【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算．【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积． 7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =0b >，故b ，所以l 的方程为0x y +=；【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍．【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程． 8.【答案】B【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12ca =，所以2a b ===，故椭圆标准方程为22143x y +=；【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程． 【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断． 【考点】平面向量基本定理． 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =； 【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值． 【考点】线性规划问题的最值求解． 14.【答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =，3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=g CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭g g g ，所以CD ；（2）因为3cos 5θ=，3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525⨯-=⎭；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+； （3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 66种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c 种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()62P A ==； 【提示】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典图5中，因为DG BF ∥，//GE FC ，所以平面DGE ∥平面BCF ，所以DE BCF ∥平面； （2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，12BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE ；所以11111113323233F DEG DGE V S FG DG GE FG -====g g g g g g g g g △； 【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--， 所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =g ，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-g； （3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭， 所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 【提示】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识． 【考点】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明．所以2d=，又因为0c>，所以解得1c=，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C的方程为24x y=；（2）因为抛物线的方程为24x y=，即214y x=，所以12y x'=，设过00(,)P x y点的切线l'与抛物线的切点坐标为21,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l'的斜率210412y mk mx m-==-，解得10m x=+或20m x=；不妨设A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，==>，所以12m m≠；221112441201211()42ABm mk m m xm m-==+=-；所以直线AB的方程为210111()42y m x x m-=-，代入整理得：12y x=；（3）A点坐标为2111,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，B点坐标为2221,4m m⎛⎫⎪⎝⎭，F点坐标为(0,1)，因为0020x y--=；所以10m x x=+=+200m x x==，1202m mx+=，12048m mx=-；因此=||AF BFg22222222121212121212 11111111()1()[()2]1 44164164m m m m m m m m m m m m⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x⎛⎫=-+--+=-+=-+⎪⎝⎭，所以当32x=时，||||AF BFg取最小值92；【提示】由点到直线的距离公式建立关于c的方程，从而确定c并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y的目标函数，从而确定函数的最小值．【考点】点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，抛物线的定义和标准方程，导数的几何意义，直线与抛物线的交点，二次函数的最值以及待定系数法的应用．①当0∆≤时，即0k <时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <时，令()0f x '=，解得x =或x =()0f x '>，解得x <或x ；令()0f x '<，解得x <0k <=<-23kk >=>作()f x 的最值表如下：【提示】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值． 【考点】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值．。
2013年广东高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ，2{|20,}T x x x x =-=∈R ，则S T = ( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素. 【参考答案】A【试题解析】集合S ={0，2-}，T ={0，2}，故S T ={0}，故选A. 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【测量目标】函数的定义域和集合的交集运算.【考查方式】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域. 【参考答案】C【试题解析】要使函数有意义，需1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得11x x >-≠且，（步骤1）故函数的定义域为1,11+∞ （-）（，），故选C. （步骤2）3．若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【测量目标】复数的四则运算及复数的模.【考查方式】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模. 【参考答案】D【试题解析】方法一：因为i(i)34i x y +=+，所以()()()34i i 34i i ==43i i i i x y +-++=--，（步骤1）故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法二：因为i(i)34i x y +=+，所以+i=3+4i y x -，所以4x =，3y =-，（步骤1） 故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法三：因为i(i)34i x y +=+，所以(i)i(+i)=(i)(34i)=43i x y --⋅+-，（步骤1）即i=43i x y +-，故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）4．已知5π1sin()25α+=，那么cos α= ( ) A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【测量目标】诱导公式.【考查方式】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化. 【参考答案】C【试题解析】因为5πππ1sin()sin(2π+)sin()2225ααα+=+=+=，故1cos =5α，故选C. 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 ( )A ．1B ．2C ．4D ．7【测量目标】程序框图和流程图.【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】C【试题解析】根据初始化条件，顺序执行程序就可以得到结果. 第一次执行循环：12s i ==，(23…成立)；（步骤1）第二次执行循环：23s i ==，(33…成立)；（步骤2）第三次执行循环：44s i ==，(43…不成立)，结束循环，故输出4s =，故选C. （步骤3）6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()A ．16 B ．13 C ．23D ．1 第5题图第6题图【测量目标】平面图形的三视图的和棱锥的体积.【考查方式】由三视图还原出直观图，根据“长对正，高对齐，宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算. 【参考答案】B【试题解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，（步骤1） 故其体积为111112323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B. （步骤2） 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ( ) A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【测量目标】直线与圆的位置关系、直线的方程.【考查方式】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍. 【参考答案】A【试题解析】与直线1y x =+垂直的直线方程可设为0x y b ++=，（步骤1） 由0x y b ++=与圆221x y +=相切，可得22||111b =+，得2b =±.（步骤2）由于两者相切于第一象限，则可知2b =-，故直线方程为20x y +-=，故选A. （步骤3）8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是. ( )A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ 【测量目标】空间中直线、平面之间的位置关系.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系. 【参考答案】B【试题解析】选项A ，若l α∥，l β∥，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l l αβαβ⊥⊥，，则∥，故正确；选项C ，若l l αβαβ⊥⊥，∥，则，故错误；选项D ，若,l αβα⊥∥，则l 与β的位置关系有三种可能：l l l βββ⊥⊂，∥，，故错误.故选B. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 () 第6题图A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【测量目标】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质.【考查方式】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程. 【参考答案】D【试题解析】右焦点为(1,0)F 说明有两层含义：椭圆的焦点在x 轴上和1c =.又离心率为12c a =，故2a =，222413b a c =-=-=，（步骤1） 故椭圆的方程为13422=+y x .（步骤2）10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【测量目标】平面向量基本定理.【考查方式】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断. 【参考答案】C【试题解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ，即=+a b c ，故正确.对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误. 因此选C二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________ 【测量目标】等比数列的通项与性质.【考查方式】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和. 【参考答案】15【试题解析】由首项和公比写出等比数列的前四项，然后代入1234||||a a a a +++求值. 也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.方法一：1234||||a a a a +++=()()()231|12||12||12|15+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为1234||||a a a a +++=1234||||||||a a a a +++，数列{||}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-.12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =________ ． 【测量目标】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义【考查方式】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数. 【参考答案】12【试题解析】计算出函数2ln y ax x =-在点(1,)a 处的导数，利用导数的几何意义求a 的值. 因为12y ax x'=-，所以1|2 1.x y a ='=-（步骤1） 因为曲线在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故210a -=，12a =.（步骤2） 13．已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）第13题图14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________ ．【测量目标】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化.【考查方式】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程.【参考答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【试题解析】先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程. 2cos ρθ=化为普通方程为22222x x y x y +=+，即22(1)1x y -+=，（步骤1）则其参数方程为1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩，（α为参数），即cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）（步骤2）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________ ．【测量目标】正弦定理和余弦定理在几何中的应用.【考查方式】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度. 【参考答案】212【试题解析】由题意可求AE 的长及BAC ∠，故可把DE 放在AED △或ECD △中，利用余弦定理求解.也可以从E 点出发作辅助线，将DE 放在直角三角形中求解.方法一：因为3AB =，3BC =，所以223(3)23AC =+=，3tan 33BAC ∠==，所以π3BAC ∠=.（步骤1）在Rt BAE △中，π3cos 32AE AB ==，则3332322CE =-=. （步骤2）第15题图在ECD △中，2222cos DE CE CD CE CD ECD=+-⋅∠223333121()(3)232224=+-⨯⨯⨯=，故212DE =.（步骤3） 方法二：如图，作EM AB ⊥交AB 于点M ，作EN AD ⊥交AD 于点N .（步骤1） 因为3AB =，3BC =, 所以3tan 33BAC ∠==，则π3BAC ∠=，（步骤2）π3cos 32AE AB ==，π313cos 3224NE AM AE ===⨯=, π333sin 3224AN ME AE ===⨯=，39344ND =-=. （步骤3） 在Rt DNE △中，22DE NE ND =+223921()()442=+=，（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数π()2cos(),12f x x x =-∈R ． (1) 求π()3f 的值； (2) 若33πcos ,(,2π)52θθ=∈，求π()6f θ-． 【测量目标】正弦函数和余弦函数的图象与性质..【考查方式】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值. 【试题解析】(1)因为π()2cos()12f x x =-，所以ππππ2()2cos()2cos 21331242f =-==⨯= (2)因为3π(,2π)2θ∈，3cos 5θ=，所以22234sin 1cos 1()55θθ=--=--=-. （步骤1） 所以π()6f θ-=ππ26θ--π24θ=-=222(cos sin )22θθ⨯+=cos sin θθ+=341555-=-. （步骤2）17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：第15题图分组（重量） [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【测量目标】频数分布表、频率、分层抽样、古典概型等概念的理解和相关运算.【考查方式】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型.【试题解析】（1）根据频数分布表，苹果重量在[90,95)范围内的频数为20，因为样本容量为50，故所求频率为200.450=. （2）重量在[80,85)和[95,100)范围内的苹果频数之比为5:151:3=，又1414⨯=，故重量在[80,85)内的苹果个数为1.（3）从苹果重量在[80,85)范围内抽出的苹果记为a ，从[95,100)范围内抽出的苹果记为1,2,3，则任取两个苹果的所有情况为{,1}a ，{,2}a ，{,3}a {1,2}，{1,3}，{2,3}，共六个结果，（步骤1）记事件{A =重量在[80,85)和[95,100)中各有一个苹果}，其包含的基本事件个数为3，故31()62P A ==. （步骤2）18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF △沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF -，其中22BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【测量目标】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质、平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法. 【考查方式】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积.第18题图【试题解析】（1）证法一：在折叠后的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以AD AEAB AC=, 所以DE BC ∥. （步骤1）因为DE ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .（步骤2） 证法二：在折叠前的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以A D A EA B A C=, 所以D E B C ∥，即,D G B F E G C F ∥∥.（步骤1）在折叠后的图形中，仍有,DG BF EG CF ∥∥. 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . （步骤2）又,DG EG G DG =⊂ 平面DEG ,EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF . （步骤3） 又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .（步骤4）（2）证明：在折叠前的图形中，因为ABC △为等边三角形，BF CF =， 所以AF BC ⊥，则在折叠后的图形中，,.AF BF AF CF ⊥⊥（步骤1）又12,22BF CF BC ===，所以222BC BF CF =+, 所以BF CF ⊥. （步骤2） 又BF AF F = ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .（步骤3） (3) 解：由（1）可知GE CF ∥，结合（2）可得GE ⊥平面DFG .（步骤1）1132F DEG E DFG V V DG FG GF --∴==⋅⋅⋅⋅1111313()323323324=⋅⋅⋅⋅⋅=（步骤2）19．（本小题满分14分）设各项均为正数的 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【测量目标】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明.【考查方式】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识. 【试题解析】解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，（步骤1）21045n a a a >∴=+ （步骤2）（2）当2n …时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,（步骤1）102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n …时，{}n a 是公差2d =的等差数列. （步骤2）2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,（步骤3）由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=（步骤4）21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. 为正等差数列∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（步骤5）（3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ （步骤1） 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111.2212n ⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦（步骤2）-20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【测量目标】点到直线的距离公式、直线的点斜式方程、抛物线的定义和标准方程、导数的几何意义、直线与抛物线的交点、二次函数的最值以及待定系数法的应用.【考查方式】由点到直线的距离公式建立关于c 的方程，从而确定c 并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y 的目标函数，从而确定函数的最小值.【试题解析】（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去）（步骤1） ∴抛物线C 的方程为24x y =.（步骤2）（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . （步骤1）∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. （步骤2） ∵21141x y =， ∴112y x xy -= . （步骤3） ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①，同理 20202y x xy -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. （步骤4） ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（步骤5）（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ （步骤1）联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=（步骤2）0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2()+22y y y ++ （步骤3）∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92 （步骤4）21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()2321f x x kx '=-+【测量目标】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值.【考查方式】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值.【试题解析】(1)当1k =时()2321,f x x x '=-+（步骤1）41280∆=-=-<()0f x '∴>,()f x 在R 上单调递增.（步骤2）（2）当0k <时，()2321f x x kx '=-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（步骤1） 第21题图（i ）当()()2412433k k k ∆=-=+-…，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在[],k k -上单调递增，（步骤2）从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（步骤3）（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()23210f x x kx '=-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,（步骤4）(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,（步骤5）()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--（步骤6）综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（步骤7）解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-…，故()()f x f k …（步骤1）32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++…故()()f x f k -…（步骤2）而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==（步骤3）（1）解法3：因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；（步骤1） ○1当0∆…时，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；（步骤2）○2当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；（步骤2）令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；（步骤3）令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；（步骤4）因为223033k k k k k +-+<=<-，2232333k k k k k k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭k -()f x ' +- 0+()f xk极大值极小值32k k --则23min (),3k k m f k f ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭，23max (),3k k M f k f ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤5）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3222(26)3927k k k k ----+=； 3223222(26)1832(26)318()32727k k k kk k k k k k f f k ⎛⎫----+-------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->，所以23min (),()3k k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤6）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3222(26)3927k k k k -+--+=；2322332(26)395427()327k k k k k k k k f f k ⎛⎫---+--+++--= ⎪ ⎪⎝⎭32322352(26)3652(26)33650420272727k k k k k k k k k k +-++--++=<=<；所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤7） 综上所述，所以m k =，32M k k =--.（步骤8）。
2013广东高考数学(文科)真题及详细答案
2013广东高考数学（文科）真题及详细答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}{}22|20,,|20,S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = （ ）A. {}0B. {}0,2C. {}2,0-D. {}2,0,2-【答案】A ；【解析】由题意知{}0,2S =-，{}0,2T =，故{}0S T = ；2. 函数()lg 11x y x +=-的定义域是（ ）A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. ()()1,11,-+∞D. [)()1,11,-+∞【答案】C ；【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞ ；3. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D ；【解析】因为()34i x yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模224(3)5=+-=；4. 已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α=（ ） A. 25- B. 15- C.15D.25【答案】C ； 【解析】51sin sin ()co s ()co s()co s 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； 5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 7【答案】D ；【解析】1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=；4i =时，4(41)7s =+-=；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ）A.16B. 13C. 23D. 1【答案】B ；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7. 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第Ⅰ象限的直线方程是（ ）A. 20x y +-= B. 10x y ++= C. 10x y +-= D. 20x y ++=【答案】A ；【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离12b -==，所以2b =±，又因为相切与第一象限，所以0b >，故2b =，所以l 的方程为20x y +-=；8. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//,//l l αβ，则//αβB. 若,l l αβ⊥⊥，则//αβC. 若,//l l αβ⊥，则αβ//D. 若,l αβα⊥//，则l β⊥【答案】B ； 【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错；9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A.22134xy+= B.22143xy+= C.22142xy+= D.22143xy+=【答案】D ；【解析】由焦点可知()1,0F 可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a==，所以222,213a b ==-=，故椭圆标准方程为22143xy+=；10. 设a 是已知的平面向量且0a ≠ ，关于向量a的分解，有如下四个命题：① 给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；② 给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③ 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；④ 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c λμ=+.上述命题中的向量b ，c 和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D ；【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D 均正确；二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题）11. 设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=____________； 【答案】15；【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++124815=+++=；12. 若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，则a =_____________；【答案】12；【解析】因为2ln y ax x =-，所以12y a x x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是_____________；【答案】5；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4)--，代入可知z 的最大值为145z =+=；（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为___________________； 【答案】22(1)1x y -+=；【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos 2x ρθθθ===+① ，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②；①可变形得：cos 21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由22sin 2cos 21θθ+=得：22(1)1x y -+=；15. （几何证明选讲选做题）如图3，在矩形A B C D 中，3A B =，3B C =，B E A C ⊥，垂足为E ，则E D =___________； 【答案】212；【解析】因为在矩形A B C D 中，3A B =，3B C =，B E AC ⊥，所以030B C A ∠=，所以03co s 3032C E C B =⋅=；在CDE 中，因为60E C D ∠=，由余弦定理得：()22222033331212co s 603232224D EC E CD CE C D ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，所以212C D =；三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()2co s ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1） 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2） 若3co s 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案与解析】 （1）22co s 2co s21331242f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为3co s 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以234sin 155θ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭；2co s 2co s 2co s co s sin sin 6612333f ππππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭314332462525210⎛⎫-=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；17. （本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [)80,85[)85,90[)90,95[)95,100频数（个）5102015（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[)90,95的频率；（2） 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，其中重量在[)80,85的有几个？（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在[)90,95的频率200.450==；（2）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个，则重量在[)80,85的个数541 515=⨯=+；（3）设在[)80,85中抽取的一个苹果为x，在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c6种情况，其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31()62P A==；18.（本小题满分14分）如图4，在边长为1的等边三角形A B C中，,D E分别是,A B A C上的点，A D A E=，F是B C的中点，A F与D E交于点G. 将A B F∆沿A F折起，得到如图5所示的三棱锥A B C F-，其中22B C=.（1）证明：D E B C F//平面；（2）证明：C F A B F⊥平面；（3）当23A D=时，求三棱锥F D E G-的体积F D E GV-.图4 图5（1）证明：在图4中，因为A B C是等边三角形，且A D A E=，所以A D A EA B A C=，//D E B C；在图5中，因为//D G B F，//G E F C，所以平面D G E//平面B C F，所以D E B C F//平面；（2）证明：在图4中，因为因为A B C是等边三角形，且F是B C的中点，所以A F B C⊥；在图5中，因为在B F C 中，12,22B F FC B C ===，所以222B F FC B C +=，B FC F ⊥，又因为A F C F ⊥，所以C F A B F ⊥平面；（3）因为,A F C F A F B F ⊥⊥，所以A F ⊥平面B C F ，又因为平面D G E //平面B C F ，所以A F ⊥平面D G E ；所以11111113333232336324F D EG D G E V S F G D G G E F G -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ； 19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1441,n n S a n n N +=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列；（1） 证明：2145a a =+；（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.（1）证明：因为2*1441,n n S a n n N +=--∈，令1n =，则212441S a =--，即22145a a =+，所以2145a a =+；（2）当2n ≥时，()()221144441411n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--，所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+；因为2514,,a a a 构成等比数列，所以22145a a a ⋅=，即2222(24)(6)a a a +=+，解得23a =，因为2145a a =+，所以11a =， 212a a =+ ，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-⋅=-；（3）因为111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-+--+，所以12231111111111111()()()21323522121n n a a a a a a n n ++++=-+-+⋅⋅⋅+--+111111111112133521212121212n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.20. （本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,P A P B ，其中,A B 为切点.（1） 求抛物线C 的方程；（2） 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线A B 的方程； （3） 当点P 在直线l 上移动时，求A F B F ⋅的最小值. 【答案与解析】（1）因为抛物线焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322所以23222c d --==，又因为0c >，所以解得1c =，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以抛物线C 的方程为24x y =；（2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过()00,P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21(,)4m m ，所以直线l '的斜率2001142y mk m x m-==-，解得210004m x x y =+-或220004m x x y =--；不妨设A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，因为2004x y -2200004(2)48x x x x =--=-+ 20(2)40x =-+>，所以12m m ≠；221212012111144()42A B m m k m m x m m -==+=-；所以直线A B 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111(,)4m m ，B 点坐标为2221(,)4m m ，F 点坐标为()0,1，因为0020x y --=；所以221000004(2)4m x x y x x =+-=+-+，222000004(2)4m x x y x x =--=--+，1202m m x +=，12048m m x =-；因此A FB F ⋅=2222222222112212111*********m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅+-=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222212121212121211111111()1()2144164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=+++=++-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()22220000001139(48)22(48)12692()16422x x x x x x ⎡⎤=-+--+=-+=-+⎣⎦，所以当032x =时，A F B F ⋅取最小值92；21. 设函数()()32f x x kx x k R =-+∈.（1） 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2） 当0k <时，求函数在[,]k k -上的最小值m 和最大值M . 【答案与解析】（1） 因为()32f x x kx x =-+，所以2()321f x x k x '=-+；当1k =时，2212()3213()033f x x x x =-+=-+>，所以()fx 在R 上单调递增；（2） 因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；① 当0∆≤时，即30k -≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；② 当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；因为223033k k k kk +-+<=<-，2232333k k k kk k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭k -()f x '+-+()f xk极大值极小值32k k--。
广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．222．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（），的定义域是（﹣3i|==53i|==54．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）B++（．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）BV==．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是B±，，解之得±﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣时，可得切点坐标（，﹣，直线方程为9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）B解：由题意设椭圆的方程为，又离心率等于所以椭圆的方程为．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）不一定能用两个单位向量的组合表示出来．和，只需求得其向量差即为所求的向量，使，故，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，，取=，λ都平行于μ成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为使等式成立，故为正数，所以和不一定能用两个单位向量的组合表示出来，成立，故二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．，，故答案为：．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．得选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．，得的参数方程为故答案为15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．AC=2AC EC=CD=AB=EC=+3﹣，．故答案为：四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．直接代入函数解析式求解．﹣）∵，17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．）的频率为18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．，可得．在三棱锥中，由，运算求得结果．中，=19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．）对于利用时，时，满足，且，构成等比数列，∴，）可知，，∴）可得式．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．）先设，）根据抛物线的定义，有，的距离）设，的方程为，的斜率分别为，①：的坐标为，即，的斜率为，整理得的斜率的方程为，整理得，即）根据抛物线的定义，有，=所以当的最小值为21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．，且过（，且过（，即）当，即解得：。
2013年高考广东卷文科数学试题及答案
设函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间；
(2)当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 ．
【解析】：
(1)当 时
, 在 上单调递增.
（2）当 时， ，其开口向上，对称轴 ，且过
（i）当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
从而当 时， 取得最小值 ,
当 时， 取得最大值 .
7．垂直于直线 且与圆 相切于第Ⅰ象限的直线方程是
A． B．
C． D．
【解析】直接法可设所求的直线方程为： ，再利用圆心到直线的距离等于 ，求得 .选A.
8．设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【解析】借助长方体判断，可知B正确..
分组（重量）
频数（个）
5
10
20
15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，其中重量在 的有几个？
(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 和 中各有1个的概率．
【解析】（1）苹果的重量在 的频率为 ；
（2）重量在 的有 个；
【解析】：考查三角函数诱导公式， ，选C.
5．执行如图1所示的程序框图，若输入 的值为3，则输出 的值是
A．1 B．2 C．4 D．7
【解析】根据程序框图，s=1+0+1+2=4.选C.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A． B． C． D．
【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则 ，选B.
（ii）当 ，即 时，令
2013年高考文科数学广东卷及答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ,2{|20,}T x x x x =-=∈R ,则ST =( ) A .{0} B .{0,2}C .{2,0}-D .{2,0,2}-2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( ) A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞D .[1,1)(1,)-+∞3.若i(+i)=3+4i x y ,,x y ∈R ,则复数+i x y 的模是( ) A .2 B .3C .4D .54.已知5π1sin()25α+=,那么cos α=( ) A .25-B .15-C .15D .255.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ) A .1B .2C .4D .76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A .16B .13C .23D .17.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A.0x y +- B .10x y ++= C .10x y +-=D.0x y +=8.设l 为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若l α∥,l β∥,则αβ∥B .若l α⊥,l β⊥,则αβ∥C .若l α⊥,l β∥,则αβ∥D .若αβ⊥,l α∥,则l β⊥9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于12,则C 的方程是 ( )A .22134x y +=B.2214x += 姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）C .22142x y +=D .22143x y +=10.设a 是已知的平面向量且0≠a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11-13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= . 12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .13.已知变量x ,y 满足约束条件30111,x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤≤，≥则z x y =+的最大值是 .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD 中,AB =,3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π())12f x x =-,x ∈R .（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）若3cos 5θ=,3π(,2π)2θ∈,求π()6f θ-.17.（本小题满分13分）（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个；（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.18.（本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF △沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A B C F -,其中BC =（Ⅰ）证明：DE ∥平面BCF ； （Ⅱ）证明：CF ⊥平面ABF ；（Ⅲ）当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a ,5a ,14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明：2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点(0,)(0)F c c >到直线l ：20x y --=的距离为数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）设P 为直线l 上的点,过P 点作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时,求||||AF BF 的最小值.21.（本小题满分14分）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R . （Ⅰ）当1k =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当k ＜0时,求函数()f x 在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}ST =，故选A ． 【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素． 【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域． 【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；6.【答案】B【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V ==； 【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算． 【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积． 7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1=，所以b =0b >，【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12c a =，所以2a b ===，22143x y +=； 【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程． 【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数和不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断． 【考点】平面向量基本定理． 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++【解析】因为2ln y ax x =-，所以2y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值． 【考点】线性规划问题的最值求解．14.【答案】，（为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②； ①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由2222(1)1x y -+=【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭，所以CD =； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525210⨯-⨯=⎭； 【提示】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等λμcos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩α数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+； （3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b，(,)a c ，(,)b c 6种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()P A ==；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，122BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE；所以11111113333232336324F D EGDGE V S FG DG GE FG -====△； 【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积．【考点】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质，平面图形的折叠问题和三棱锥（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--， 所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+； 因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =，即2222(24)(6)a aa +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-；（3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭， 所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112133521212121212n n n nn ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有11112a a a a a a +++<．以抛物线C 的方程为24x y =； （2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过00(,)P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率2104012y m k m x m -==-，解得10m x =或20m x =；不妨设A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭0，所以12m m ≠；221112441201211()42AB m m k m m x m m -==+=-； 所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 点坐标为(0,1)，因为0020x y --=；所以100m x x =，200m x x ==1202m m x +=， 12048m m x =-；因此=22222222221122121111|||11114444AF BF m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222222212121212121211111111()1()[()2]44164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x ⎛⎫=-+--+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当03x =时，||||AF BF 取最小值9；①当0∆≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <()0f x '=，解得x ==或。
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图 2
俯视图
侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科A 卷）解析
从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能力吧，数学出基础题就好——感恩广东今年数学出题老师——湛江-农垦-小徐注(QQ:808068)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
锥体的体积公式：13
V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．ks5u 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S
T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}-
【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！
2．函数lg(1)()1
x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)
(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！
3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .
4．已知51sin()25
πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25 【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭
，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是
A ．1
B ．2
C ．4
D ．7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.
6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是
A ．16
B ．13
C ．23
D ．1 图 1。