2013年高考文科数学全国卷1及答案

数学试卷 第1页（共18页）
数学试卷 第2页（共18页）
数学试卷 第3页（共18页）
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科
数学
使用地区：河南、山西、河北
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{1,2,3,4}A =,2
{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )
A .{1,4}
B .{2,3}
C .{9,16}
D .{1,2} 2.
2
12i
(1i)+=-
( )
A .1
1i 2--
B .1
1i 2-+
C .11i 2+
D .11i 2
-
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )
A .
12
B .13
C .
14
D .
16
4.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )
A .14y x =±
B .13y x =±
C .1
2
y x =±
D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x
<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是
( )
A .p q ∧
B .p q ⌝∧
C .p q ∧⌝
D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为2
3
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则
( )
A .21n n S a =-
B .32n n S a =-
C .43n n S a =-
D .32n n S a =-
7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输 出的s 属于
( )
A .[3,4]-
B .[5,2]-
C .[4,3]-
D .[2,5]-
8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则
POF △的面积为
( )
A .2
B .22
C .23
D .4
9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为
( )
10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,
6c =,则b =
( )
A .10
B .9
C .8
D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
( )
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+
12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩
≤，
＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是
( )
A .(,0]-∞
B .(,1]-∞
C .[2,1]-
D .[2,0]-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.
14.设x ,y 满足约束条件13,
10,x x y ⎧⎨--⎩
≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.
15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.
16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2121
1
{
}n n a a -+的前n 项和.
--------在
--------------------此--------------------卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效--------
--------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第4页（共18页）
数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）
18.（本小题满分12分）
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6
0.5
1.8
0.6
2.1
1.1
2.5
1.2
2.7
0.5
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？
A 药
B 药
0. 1. 2.
3.
19.（本小题满分12分）
如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1
AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数2
()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为
44y x =+.
（Ⅰ）求a ,b 的值；
（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.
21.（本小题满分12分）
已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22
(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N
内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .
数学试卷 第7页（共18页）
数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科
数学答案解析
第Ⅰ卷
当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除当0a ≤时，若0x ＞，则()f x ≥由2
,
2,
y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．
第Ⅱ卷
0=b c ，a 1112⨯⨯
＝a b 1(0[)]t t ＝
＋－＝b c a b b ，即1()t t ＋－a b b 11
2
0t t ＋－＝；∴2t ＝． 【答案】3
【解析】画出可行域如图所示。

画出直线20x y －＝，并平移，当直线经过点 15.【答案】9
π2
【解析】如图，。