2012年广东高考理科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），C A=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）（12）xD.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49 B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则A．12 B.1 C. 32D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x³的系数为______。

（用数字作答）11.已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。

12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。

三．解答题。

本大题共6小题，满分80分。

解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。

（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α＋β）的值。

17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。

18.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）、证明：BD⊥平面PAC；（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；19. （本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。

（1）、求a 1的值；（2）、求数列{a n }的通项公式。

（3）、证明：对一切正整数n ，有.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)xy a b a b+=>>的离心率e=32，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分） 设a ＜1，集合（1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。

2012年广东高考理科数学参考答案一、选择题二、填空题 ９.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦； 10. 20； 11. 2n-1； 12. y=2x+1； 13. 16； 14. )1,1(；15.3；三、解答题 16．解：(1)=51,2==ωωπT(2)851317155317854)cos(-=⨯-⨯=+βα17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P Cξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连O E∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC O E ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ P C B E ⊥∴ B E O ∠为二面角B P C A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ B D A C ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴ BO =在PAC ∆中，133O E P A O E O CA C =⇒=⇒=∴ tan 3B O B E O O E∠==∴ 二面角B P C A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- （3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴1113n na -≤∴21123111311111113...1 (13)33213nn na a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴11112n n a a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅………11112n n a a -<⋅累乘得：221112n n a a -⎛⎫<⋅⎪⎝⎭∴212311111111173...1 (52525)52n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<<⎪⎝⎭20.（1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b +=椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =（舍） ∴ 1b = ∴ 椭圆方程为2213xy +=（2）11sin sin 22A OB S O A O B AO B AO B∆=⋅∠=∠当90AOB ∠= ，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l 距离2d ==∴222m n += 又∵2213mn +=解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为,,22222222⎛⎫⎛⎛⎛----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 A O B∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞② 当103a <≤，33330,44a a D ⎛⎛⎫+-++=⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③当0a ≤，4D ⎛⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点。