2003年高考数学试题(广东)及答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学

一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．暂缺 2． 已知==

-∈x x x 2tan ,54

cos ),0,2

(则π

（ ）

A ．

24

7 B ．－247 C ．7

24

D ．－7

24

3．圆锥曲线的准线方程是θ

θ

ρ2

cos sin 8=

（ ）

A ．2cos -=θρ

B ．2cos =θρ

C ．2sin -=θρ

D ．2sin =θρ

4．等差数列}{n a 中，已知33,4,3

1

521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）

A ．48

B ．49

C ．50

D ．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）

A ．3

B ．

2

6

C ．

3

6 D ．

3

3 5．设函数???

??>≤-=-0,0,12)(,21x x

x x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是

（ ）

A ．（－1，1）

B ．（－1，+∞）

C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）

D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）

7．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）

A ．21+

B ．12-

C ．2

D ．2

8．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:2

2=+->=-+-的弦长为32时，则

a =

（ ）

A ．2

B ．22-

C ．12-

D ．12+

9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A ．2

2R π

B ．2

49R π

C ．2

3

8R π

D ．2

2

3r π 10．函数=∈=-)(]2

3,

2[,sin )(1x f x x x f 的反函数π

π

（ ）

A ．]1,1[,arcsin -∈-x x

B ．]1,1[,arcsin -∈--x x π

C ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π

D ．]1,1[,arcsin -∈-x x π

11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB

夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射

角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<

（ ）

A ．（

3

1

，1） B ．）3

2

,31(

C ．)2

1,52(

D ．)3

2,52(

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A ．3π

B ．4π

C ．π33

D ．6π

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13．不等式x x x <-24的解集是

14．9)12(2

x x -展开式中9

x 的系数是

15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2，

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可 以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂 直，则

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，

要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可

供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.

（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离. 18．（本小题满分12分）

已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .

19．（本小题满分12分）已知c>0，设P ：函数x

c y =在R 上单调递减Q ：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如

果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)10

2

arccos

(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）

已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA

上移动，且

DA

DG

CD CF BC BE =

=，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分14分）

设n a 为常数，且)(2311

N n a a n n n ∈-=+-

（1）证明对任意n n n n n n

n a a n 2)1(]2)1(3[5

1,11?-+?-+=

≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求n a 的取值范围.

2003年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学试题参考答案

一、选择题：

1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.C

9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：

13．]4,2( 14． 2

21

-

15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S △BCD 三、解答题：

（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，

∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=2

1D 1D 又EC=

2

1

CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1?面DBD 1，

∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （II ）解：连结ED 1，有DBE D DBD E V V --=11

由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，

则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.

2

2,2=

===∴EF ED BE BD

2

3)2(2321,2222121=??==??=

∴??DBC DBD S S 3322

3

22

2=?

=∴d

故点D 1到平面BDE 的距离为

3

3

2. 18． 解：设)60sin 60cos r r z

+=，则复数.2

r

z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设

.

12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2

222-=--=-==-++-=+-∴--=---?=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即

19．

20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.

在时刻：（1）台风中心P （y x ,

）的坐标为???

???

??+?-=?-?=.22201027300,22

20102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)

(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有

.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)2

2201027300()2220102300(t t ?+?-+?-?

2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.

按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设

)10(≤≤==k DA

DC

CD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①

直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k

a ②

从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222

=-+ay y x a

整理得1

)(21222=-+a a y x 当2

1

2

=

a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当2

1

2

≠

a

时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当2

12

<

a

时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2

当212

>

a

时，点P 到椭圆两个焦点（0，)2

1,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .

22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.

（1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5

1

01a a k k k k k ---+=- 那么0111

2)1(]2)1(3[52

323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=

.2)1(]2)1(3[5

101111

a k k k k k ++++-+-+=

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 证法二：如果设),3(23111-----=n n n n

a a a 用1123---=n n n a a 代入，可解出5

1

=

a . 所以??

??

??-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即.2)1(5

2)1(301a a n n n n n n -+-+=-

（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011

111a a a n n n n n n n -----?-+?-+?=-

)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()2

3

()15()1(201N n a n n ∈<----……①

（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)2

3

()15()1(--<--k k a

即为 .5

1

)23(51320+<-k a ……②

②式对k=1，2，…都成立，有 .3

151)23(5110

=+?<-a

（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为

.)2

3

()15()1(22012--<--k k a

即为

.51

)23(51220+?->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有

.051)23(512120=+?->-?a 综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3

100<

故a 0的取值范围为).3

1

,0(

解法二：如果1->n n

a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a

.06012>=-a a a 因此 .3100<

1

00<

.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----??-+?-+?=-

（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----??-?+?=-

>023********=??-?+?---n n n

（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----??+?-?=-

>.0233211≥?-?--n n 故a 0的取值范围为).3

1,0(