2016高考数学文二轮复习训练：高考全真模拟题1

高考全真模拟题(一)用时：120分钟一、选择题：每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项是符合题意的．1．已知集合A ＝{x |lg (x －2)＜1}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜2x ＜8，则A ∩B等于( )A ．(2,12)B ．(－1,3)C ．(2,3)D ．(－1,12) 答案 C解析 A ＝{x |lg (x －2)＜1}＝{x |2＜x ＜12}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜2x ＜8＝{x |－1＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}故选C.2．已知i 为虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 1＋i ＝( ) A.52 B.52 C.172 D.102 答案 D解析 ∴2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 1＋i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102，故选D. 3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，焦距为4，则m 的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．9 答案 B解析 ∵椭圆焦点在y 轴上， ∴m －2＞10－m ＞0， ∴6＜m ＜10.又∵焦距为4，∴(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝8，符合题意，故选B.4．某几何体的三视图(单位：cm)如下图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A ．2 cm 3 B. 3 cm 3 C ．3 3 cm 3 D ．3 cm 3 答案 B解析 由图知几何体的体积为V ＝13·12(1＋2)·2·3＝ 3. 5．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A. 3B.32 C ．0 D ．－3 答案 A解析 S ＝sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 8π3＋sin 9π3＝ 3. 6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥1y ≥－2，则z ＝x 2＋y 2－1的最大值为( )A ．1B ．2 C.13 D ．2 3 答案 D解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，x2＋y2表示可行域中的点与原点之间距离的平方．在平面区域内的点C 处，x2＋y2取得最大值，易知C(3，－2)，所以(x2＋y2)max＝32＋(－2)2＝13，则(x2＋y2)max＝13，所以z＝x2＋y2－1的最大值为13－1＝23，故选D.7．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋ 3 D．27答案 B解析|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.故选B.8．[2015·陕西质检(一)]某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于()A ．0.12B ．0.012C ．0.18D ．0.018 答案 D解析 依题意，0.054×10＋10x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018，故选D.9．△ABC 中，内角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.332B.932 C ．3 D ．3 3 答案 A解析 由题意可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①cos π3＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12②①②联立可得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选A.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( )A.53B.73C.103D.153 答案 C解析 由题可知直线方程为y ＝－(x －c )，与y ＝ba x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ，S △OFP ＝12×c ×bc a ＋b ＝a 2＋b 28，可得b a ＝13，两边平方得b 2a 2＝19即c 2－a 2a 2＝19，∴c 2a 2＝109，∴c a ＝103，故选C.11．已知三棱锥P －ABC 的各顶点都在以O 为球心的球面上，且P A 、PB 、PC 两两垂直，若P A ＝PB ＝PC ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A.233 B. 3 C ．1 D.33 答案 D解析 由条件知三棱锥P －ABC 可看作正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，且体对角线长为23，球的半径R ＝ 3.设点P 到平面ABC 的距离为h ，因为V P －ABC ＝V A －PBC ，即13h ·S △ABC ＝13P A ·S △PBC ，得h ＝233，所以球心O 到平面ABC 的距离为R －h ＝33，故选D.12．对于曲线C 所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB 对于曲线C 上的任意两个不同点A ，B 恒成立，则称θ为曲线C 相对于O 的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C 相对于O 的“确界角”，已知曲线M ：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋9x 2(x ≤0)1＋x e x －1(x ＞0)，(其中e 为自然对数的底数)，O 为坐标原点，则曲线M 相对于O 的“确界角”为( )A.π3 B .π4 C.2π3 D.3π4 答案 B解析 过O 作两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，当x ≤0时，曲线y ＝1＋9x 2与直线y ＝k 1x 无限接近，即为双曲线的渐近线，故k 1＝－3；当x >0时，y ′＝e x －1＋x e x －1，设切点为(m ，n )，则n ＝k 2m ，n ＝m e m －1＋1, k 2＝e m －1＋m e m －1，即有m 2e m－1＝1，由x 2e x －1＋1(x ＞0)为增函数，且x ＝1成立，故m ＝1，k 2＝2，∴tan θ＝－3－21＋(－3)×2＝1，∴θ＝π4，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．[2015·甘肃兰州诊断]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝45，则sin(π－α)＝________.答案 35解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin(π－α)＝sin α＝1－cos 2α＝35. 14．[2015·江西八校联考]已知实数a ∈ [－2,5]，则a ∈{x ∈R |x 2－2x －3≤0}的概率为________．答案 47解析 x 2－2x －3≤0⇒－1≤x ≤3，故所求概率为P ＝3－(－1)5－(－2)＝47.15．[2014·重庆高考]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)答案 932解析 设小张与小王到校的时刻分别为7：30之后x ，y 分钟，则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y －x ≥5，其中0≤x ≤20,0≤y ≤20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形，随机事件“小张比小王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分．由几何概型的概率公式可知，其概率为 P ＝12×15×1520×20＝932.16．设函数f (x )＝(x －2)2(x ＋b )e x ，若x ＝2是f (x )的一个极大值点，则实数b 的取值范围为________．答案 b ＜－2解析 由条件得，f (x )＝ [x 3＋(b －4)x 2＋(4－4b )x ＋4b ]e x ，则f ′(x )＝[x 3＋(b －1)x 2＋(－4－2b )x ＋4]e x ，易知f ′(2)＝0恒成立，满足题意．记g (x )＝x 3＋(b －1)x 2＋(－4－2b )x ＋4，则g ′(x )＝3x 2＋2(b －1)x ＋(－4－2b )，又x ＝2是f (x )的一个极大值点，∴g ′(2)＜0，∴2b ＋4＜0，解得b ＜－2.三、解答题：本大题共70分，其中17～21题为必考题，22,23,24题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1. 解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n， 即1a n ＋1－1a n＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. 解法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.解法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞1，又∵1＞nn ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞n n ＋1.18．[2015·辽宁五校联考](本小题满分12分)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．(1)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较；(2)在甲、乙两班成绩及格的同学中再随机抽出2名同学的试卷做分析，求抽出的2人恰好都是甲班学生的概率．解(1)从茎叶图可以得到：甲班平均分为89分；乙班平均分为89分．甲班的方差大于乙班的方差．所以甲、乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中、更稳定．(本小问只要学生说出两点以上分析内容即可)(2)由茎叶图可知甲班有4人成绩及格，乙班有5人成绩及格，即共有9人成绩及格，从中随机抽取2人，共有36种取法．恰好都是甲班学生的取法有6种，所以所求概率为P＝636＝16.19．[2015·云南统测(一)](本小题满分12分)如图，在四棱锥C－ABDE中，F为CD的中点，DB⊥平面ABC，BD∥AE，且BD＝2AE.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若AB＝BC＝CA＝BD＝6，求点A到平面ECD的距离．解(1)证明：设CB 的中点为M ，连接AM ，FM .∵F 为CD 的中点， ∴FM 是△BCD 的中位线， ∴FM ∥BD ，且FM ＝12BD . ∵BD ∥AE ，且BD ＝2AE ， ∴AE ∥FM ，且AE ＝FM .∴四边形AEFM 为平行四边形． ∴EF ∥AM .又∵AM ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC . (2)连接AD .∵DB ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABDE ， ∴平面ABDE ⊥平面ABC .∴点C 到平面ABDE 的距离等于点C 到直线AB 的距离． ∴点C 到平面ABDE 的距离等于AC ·sin60°＝3 3. 根据已知得CE ＝AE 2＋AC 2＝35， ED ＝AB 2＋(BD －AE )2＝35， CD ＝CB 2＋BD 2＝6 2. ∴S △ECD ＝12CD ×CE 2－CD 24＝96，S △AED ＝(AE ＋BD )×AB 2－AB ×BD2＝9.设点A 到平面ECD 的距离等于h ，由V A －ECD ＝V C －AED 得13×96h ＝13×9×33，解得h ＝322.∴点A 到平面ECD 的距离等于322.20．[2015·沈阳质监(一)](本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点A ，B 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ＞1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， 椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不合题意．当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0，因为⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以x 1＋x 2＝8k 24k ＋3＝12，所以k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又因为AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →(其中λ＞1)，所以λ＝1－x 1x 2－1＝3＋52.21．[2015·兰州双基过关](本小题满分12分)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴当x ＝1时，f (1)＝2， ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3，∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0.(2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4＜x ＜－1时，h ′(x )＞0； 当－1＜x ＜3时，h ′(x )＜0； 当3＜x ＜4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0，由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得，而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203， 所以m ＋53≤0，即m ≤－53， ∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53.四、请考生在第22,23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，延长DB 交⊙O 于C ，点G 为B D 的中点，连接AG 分别交⊙O 、BD于点E 、F ，连接CE .(1)求证：AG ·EF ＝CE ·GD ； (2)求证：GF AG ＝EF 2CE 2. 证明 (1)连接AB 、AC ， ∵AD 为⊙M 的直径， ∴∠ABD ＝90°， ∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°，∵∠DFG ＝∠CFE ，∴∠ECF ＝∠GDF ， ∵G 为BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GDF ， ∴∠DAG ＝∠ECF ，∠ADG ＝∠CFE ， ∴△CEF ∽△AGD ，∴CE EF ＝AGGD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GDF ，∠G ＝∠G ， ∴△DFG ∽△ADG ， ∴DG 2＝AG ·GF ，由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.23．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2.(1)分别写出C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程；(2)已知M ，N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求|PM |＋|PN |的最大值．解 (1)曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1， 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)解法一：由曲线C 2：x 2＋y 2＝4，可得其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2sin α(α为参数)，所以P 点坐标为(2cos α，2sin α)，由题意可知M (0，3)，N (0，－3)．因此|PM |＋|PN |＝(2cos α)2＋(2sin α－3)2＋(2cos α)2＋(2sin α＋3)2＝7－43sin α＋7＋43sin α， (|PM |＋|PN |)2＝14＋249－48sin 2α.所以当sin α＝0时，(|PM |＋|PN |)2有最大值28. 因此|PM |＋|PN |的最大值为27.解法二：设P 点坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4，由题意可知M (0，3)，N (0，－3)．因此|PM |＋|PN |＝x 2＋(y －3)2＋x 2＋(y ＋3)2＝7－23y ＋7＋23y ，(|PM |＋|PN |)2＝14＋249－12y 2.所以当y ＝0时，(|PM |＋|PN |)2有最大值28， 因此|PM |＋|PN |的最大值为27.24．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)因为函数的定义域为R ，所以|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g (x )的最小值为4，所以m ≤4.(2)由(1)知n ＝4，所以7a ＋4b ＝(7a ＋4b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b 4＝(6a ＋2b ＋a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b 4＝5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b 4≥5＋44＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时，等号成立． 所以7a ＋4b 的最小值为94.。