函数隐性零点的处理技巧

.函数隐性零点的处理技巧

大招总结

导数用来处理函数综合性问题，最终都会归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计是导数综合应用中最核心的问题。导函数的零点，根据其数值计算上的差异可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称为“隐零点”。

此讲通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法：隐零点的虚设和代换。一般步骤如下：

①确定零点的存在范围。确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图像特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题确定，因此必要时尽可能缩小其范围。

②根据零点的意义进行代数式的替换，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指数、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键。

③结合前两步，确定目标式的范围。

隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗度陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现。

典型例题

的最大值。

求时，＞为整数，且当）若（的单调区间；

）求（：设函数例k x x f k x x k a x f ax e x f x ,01)()-(0,12)(12--)(1≥++′==.2)(),

3,2(1)(,2,0)().()∞,0()(0)(),(0)(),0().

2,1(,)∞,0()()∞,0(2--)(0)2(0)1()∞,0(2--)(11,)1-()2--()(,1-1)()0(1

-101)1-)(-(0,

1)1-)(-(1)()-(,12)∞,(ln )ln ∞-()(0-)()∞,(ln ∈0-)()ln ∞-(∈02--)(0-)(,0≤,

-)(2--)(1000000000020的最大值为，故整数＜由于①式等价于所以可得又由上的最小值为在所以；

＞时，；当＜时，当则有此零点为上存在唯一的零点，设在故上存在唯一的零点，

在所以，

＞，＜而上单调递增，

在时，函数）知，当由（则令①，＞＜

等价于＞时，＞故当所以，）由于（上单调递增。单调递减，在，在所以，；

＞时，当；＜时，，，则当＞若上单调递增。

在，所以函数＞则若，的定义域是）函数（解：k x g k x x g x e x g x g x g x g x x x g x x x x x g x e x h h h x e x h a e x e e x g x e x x g x x e x k x e k x x x e k x x x f k x a a a x f a e x f a x a e x f a x a R ax e x f a e x f a a e x f R ax e x f x x x x x x x x x x x x x x x x ∈+=+==′+′+∞∈′∈∈+′+=+===′++=++++++=++′=+=′+=′==′=′=

.2ln 2)(0)2()()1(.

ln -)(22a

a a x f a x f e a x a e x f x +≥==时，＞求证：当的单调区间；

时，当：设函数例时，＞故当所以由于最小值为取得最小值，时，单调递增，所以当单调递减，在在故，＞时，，当＜时，当上的唯一零点为在导函数存在唯一的零点，可设时，导函数＞故当，＜，＜时，且＜＜满足假设存在，＞递增，又在递增递增，时，因为＞当没有零点，

恒成立，故＞时，当的定义域为证明：递增；在递增，故递增，的定义域为时，解：

a a a x f a a a a a a ax x a x f x a e x f x f x x x x x f x f x x x f x x x x f x f a

b f b a b b a f x f x a y e y a x f x f a x

a e x f x a e x f x f x e y e y x e e x f x e e x f e a x x x x x x x 2ln 2)(0,2ln 22ln 22)(,0-2),()()∞,(),0()(0)(),(0)(),0(,)∞,0()()(00)(4

12ln 00)()∞,0()(,-20)(0)(0.-2)(),∞,0(ln -)()2()∞,0()(-2,-2)(),0(ln -)()1(0000200000002222220+≥+≥++===+′+∞∈′∈+′′′′+′∴==′′≤=′+=+===′∴+∞==.2-)(,)1,0()(1-3)-,0()(2)(,01,)(ln )(3002

＜求证：上的极值点为在，设函数）若（的取值范围；上单调递增，求实数在）若函数（的极值；求函数）若（为常数。其中：已知函数例x f x x f a a a x f x f a a a x x x f ==+=，可得可得）递增，）递减，在（，在（时，函数＜即＞当，矛盾不成立；时，函数递减，可得＜＜当递减，时，函数＜＜递增，时，函数＞当的导数为上恒成立，由在即上恒成立，在，只需＜＜时，，又＜上单调递增，则在要使函数且＞的定义域为）函数（，无极小值；单调递减，故单调递增，在则＜时，＞；当＞时，＜＜当则令）（解：

极大值e a e e e e y a e

e y e a e a a a e

e a y e

x y e x x y x x x y a x x x a a x x

a a x a a x a a x f a x x x a x f a x x x x f e

e f x f e e x f x f e x x f e x e x x f x

x x f x x x f 2-2-1-)1ln(2-1101-1-001-1-101,

ln 21-ln 2)-,0(-ln 2)-,0(0ln 2-10)-,0(0)-,0()(,)(ln 2-1)(}.-0{)(21)()()∞,(),0()(.

0)(0)(0,,0)(,,ln -1)(),∞,0(ln )(132≤=≥≥≤+=′=≤≤++∈++=′≠==+′′==′=′+=