椭圆焦点三角形的性质

椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点．
1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,．
2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=．
3.
[]22221,b c b PF PF -∈⋅，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．
类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．
特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：a
b L 2
2= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 2
1PF F PF PF S ∠⋅⋅=． ⅱ．p y c b b S =⋅=+⋅=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6.
22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. P
F F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练
1．已知椭圆()()22
1:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ∆中B
C A sin sin sin +的值为 ．
2．已知21,F F 为椭圆22
1:12516x y C +=的两个焦点，
过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．
3．如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++= ．
4．已知椭圆
()0122
22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F ₁（-c ，0）
、F ₂(c,0)，且椭圆上存在一点P 使得∠F ₁PF ₂ =90°，则椭圆离心率e 的取值范围是： ．
5．若P 是椭圆164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 分别是其左右焦点，且︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积=S ，点P 的坐标为 ．
6．已知椭圆1:222
=+y a
x C （a ＞1）的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为 ．
7．已知椭圆14
:22
=+y x C 的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为 ．
8．已知椭圆22
194
x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．
9．已知椭圆22
1164
x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∆为直角三角形时，12F MF ∆的面积=S ．若将第9题椭圆方程变为22
12516
x y +=，则12F MF ∆的面积=S ． 10．已知椭圆22
1259
x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，且1260PF F ∠= ，则12F PF ∆的面积=S ．
11．已知椭圆22
1259
x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，直线1PF 的斜率为73，则12F PF ∆的面积=S ．。