椭圆焦点三角形面积
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2,2,22122212212222121PF PF PF PF F F cb a a PF PFc F F ⇒ )cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=b c a PF PF ） )2tan()2(cos 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+=+⨯==∆附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin sin )sin(++=e ．证明如下：)sin(2sin sin 2)sin[(sin sin )sin[()](sin[sin sin 212121212121γβγβγβγβγβγβπγβ+=+⇒+=+++=+-==∆ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 由等比定理得：中，由正弦定理得：在故γβγβsin sin )sin(++==a c e二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆．2、推导过程：如图所示设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c F F ，，⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ） 12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF附：设γβ=∠=∠P F F P F F 1221,,则离心率γβγβsin -sin )sin(+=e ．证明如下：γβγβγβγβγβγβγβγβπγβsin -sin )sin()sin(2sin -sin 2)sin(sin -sin -)sin()](sin[sin sin 212121212121+==+=⇒+=+=+-==∆a c e ca F F PF PF F F F F PF PF P F F 故由等比定理得：中，由正弦定理得：在。
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。
椭圆焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F . .2tan 221θb S PF F =∴∆ 同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 例 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan 221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！。
椭圆焦点三角形的面积
综上所述，点 P 到 x 轴的距离 9 或 9
45
课堂总结
椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
S△PF1F2
b2
tan
2
S△PF1F2 c y0 .（ y0 为 P 点的纵坐标）
作业：
椭圆的焦点三角形练习（二）
谢 谢！
椭圆焦点三角形的面积：
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点， F1PF2 ，则焦点三角形的面积为
S△PF1F2
b2
tan
2
证明：
记 | PF1 | m, | PF2 | n
m
n
在 F1PF2 中，由余弦定理有：
m2 n2 2mn cos | F1F2 |2 4c2
|
1 2
,求
F1PF2 的面积。
PF1 . PF2 | PF1 | . | PF2
|
cos
1 2
60
,
tan
2
tan 30
3 3
SPF1F2
b2
tan
2
3
3
例 3：已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别是
25 9
F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直
角三角形的三个顶点，求点 P 到 x 轴的距离。
椭圆的焦点三角形
(第二课时）
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
椭圆焦点三角形面积
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式指的是一种计算三角形面积的
公式，其中三角形的顶点分别为椭圆双曲线的两个焦点和一点，椭圆双曲线是二次曲线的一种，具有两个焦点和两个顶点。
该公式可以通过将三角形分解成三个小三角形，并利用椭圆双曲线的性质来求解。
具体公式如下：
设三角形顶点为 A、B、C，椭圆双曲线的两个焦点为 F、F，椭
圆双曲线的半轴长为 a、b，则有：
S △ABC = 2ab × sin ( ∠FAF ) × sin ( ∠FBF ) × sin ( ∠FCF )
其中，S △ABC 表示三角形 ABC 的面积，∠FAF、∠FBF、∠FCF 分别表示三角形 ABC 的三个内角所对应的椭圆双曲线焦点的角度。
通过上述公式，可以较为准确地计算椭圆双曲线焦点三角形的面积。
- 1 -。
焦点三角形面积公式
椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：cos 2212221r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F .同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ F 2解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ 故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B.779 C. 49D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D. 金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D.242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D.2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34D ．325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程.6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程. 答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ，Θ 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A.3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ，Θ 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF θ. 故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又Θ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. Θ 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又Θ3522=-==a b a ac e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-==120,21cos 2121θθ.3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又Θ3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ； 当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ； 但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。
椭圆焦点三角形面积推导
椭圆焦点三角形面积推导
椭圆焦点三角形面积推导，是一种利用椭圆焦点定理和已知条件进行求解的方法。
椭圆焦点定理是一种有关椭圆的数学定理，它指出，任意的椭圆都有两个焦点，而且所有的抛物线都是由这两个焦点定义的。
三角形是一种最常见的多边形，它有三个角和三条边，它也是最基本的平面图形，可以应用到很多方面。
因此，椭圆焦点三角形面积推导就是通过利用椭圆焦点定理和已知条件，求解椭圆上任意三点组成的三角形的面积。
首先，我们要明确椭圆上三点的位置。
椭圆上任意三点A、B、C构成的三角形，如果将AB作为斜边，AC、BC作为射线，那么可以知道，AB的中点D，也就是AB的顶点，在椭圆的中心O上，因此，我们就可以确定三点A、B、C 的位置了。
其次，我们需要计算椭圆焦点三角形的长度。
因为我们已经知道三点的位置，计算三点之间的距离也不难。
我们可以使用勾股定理来计算，即三角形的三条边长a、b、c 分别等于√(x1-x2)²+(y1-y2)²，其中x1、x2分别为两点的横坐标，y1、y2分别为两点的纵坐标。
最后，利用海伦公式，就可以求出椭圆焦点三角形的面积。
海伦公式是一种用于求三角形面积的公式，它指出，若三角形的三条边分别为a、b、c，则三角形的面积
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2。
因此，只要将椭圆焦点三角形的三条边长代入，即可求出该三角形的面积。
总之，椭圆焦点三角形面积推导的方法是：首先，确定椭圆上任意三点的位置；其次，计算椭圆焦点三角形的三条边长；最后，利用海伦公式，即可求出椭圆焦点三角形的面积。
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椭圆焦点三角形面积公式的应用
多年来，椭圆、双曲线相关的焦点∆21F PF
,(为曲线上的任意一点P 21F F 与为曲线的焦点）中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是
高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势.现列举部分典型试题说明其应用类型.
定理 在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，
θ=∠21PF F ，则2
tan
2
21θ
b S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得
.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
同理可证，在椭圆122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
典题妙解
例1 若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF ==
点P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22
212
22
1c r r r r =-+θ
配方，得：.1443)(212
21=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 解法二：在椭圆
1641002
2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .3
3
6430tan 642
tan
221=
︒==∴∆θ
b S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，2
1
||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33
B. 32
C.
3 D.
3
3
解：设θ=∠21PF F ，则2
1
|
|||cos 2121=
⋅=
PF PF PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92
tan
221=︒==∴∆θ
b S PF F
故选答案A.
例3（04湖北）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）
A.
59 B. 779 C. 49 D. 4
9
或
7
7
9
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4
9
2=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92
tan
221=︒==∆θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =⋅⋅=
∆ 97=∴h ，.7
7
9=
h 故答案选D. 金指点睛
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
4．已知椭圆12
22=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，
则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1
B ．
3
1 C ．
3
4 D ．
3
2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为
3
5
，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21
|
|||212
1-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为3
3
4±=x ，求椭圆的标准方程.
参考答案
1. 解：24,902
21=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan
221=︒==∆θ
b S PF F .
故答案选D.
2. 解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2
tan
221===∆θ
θ
b S PF F ，∴
︒=︒=90,452
θθ
，021=⋅PF PF .
故答案选A. 3. 解：3,1,2=
==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan
2
tan
221θ
θ
==∆b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，
∴2120cos cos ||||2
2
121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ. 故答案选D.
4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3
330tan 2
tan
2
21=
︒==∆θ
b S PF F ， 又 ||||4
3sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=
∆θ， ∴
33||||4321=⋅PF PF ，从而3
4
||||21=⋅PF PF . 故答案选C.
5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2
tan
22221==︒==∆b b b S PF F θ
，
又 3
5
22=-=
=a b a a
c e ， ∴95122=-a b ，即95
2012=-a
.
解得：452=a .
∴所求椭圆的标准方程为
1204522=+y x 或120
452
2=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=
120,21
|
|||cos 212
1θθPF PF PF PF .
3360tan 2
tan
22221==︒==∆b b b S PF F θ
，∴1=b .
又 3342=c a ，即3
3
333411222+==+=+=+c c c c c b c .
∴3=c 或33=c .当3=c 时，22
2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为
1422=+y x ； 当33=c 时，3
322
2=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13
422=+y x ；
但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为14
22
=+y x .。