椭圆及其标准方程(第二课时)
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32 36
⑵求经 过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2答案
例 1⑵求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ）， 则可设所求椭圆方程为： x2 y2 =1(m＞0)
2.2.1 椭圆及 其标准方程（2）
椭圆的定义 图形
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 x2 a2 b2 1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 y
P(x’,y’),则
P
由题意可得： x' x
y'
2
y
M
x oD
因为 x'2 y'2 4
所以 x2 4 y2 4
即
x2 y2 1 4
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
(B)( 9 ,25) 2
(C)(-16, 9 )∪( 9 ,25) 22
(D) ( 9 ,+∞) 2
若表示椭圆呢? C
例5：已知 F1、F2
是椭圆
x2 100
y2 64
1
的两个焦点，
P是椭圆上任一点。
（1）若
F1PF2
3
,
求 F1PF2
的面积。
（2）求 | PF1 | | PF2 |的最大值。
1.如图，F1，F2
分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2
是面积为 3 的正三角形，
2 3 则 b2 的值是____________.
2.若方程 x2 + y 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实 25 m 16 m
B 数 m 的取值范围是( )
(A)(-16,25)
a2 b2 +c2；a c 0；a b 0
焦点位置的 看分母的大小,焦点在分母
判断
大的那一项对应的坐标轴上.
例1
例 1⑴已知动点 P 到点 F1(0, 2) , F2(0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆,
且焦点是 F1(0, 2) , F2(0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a2 c2 36 4 32 ∴所求的轨迹方程为 x2 y2 1 .
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
例3、如图，在圆 x2 y2 4上任取一点P作x轴
的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为
圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交
点 P 的轨迹方程. x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x 2 y 2 =1.
10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段Leabharlann BaiduBC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
动画演示
本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析
法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤
去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝 试.
通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
例 4:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 分9析 : 把 题 目 条 件 直 接 用
x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
课堂练习:
⑵求经 过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2答案
例 1⑵求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ）， 则可设所求椭圆方程为： x2 y2 =1(m＞0)
2.2.1 椭圆及 其标准方程（2）
椭圆的定义 图形
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 x2 a2 b2 1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 y
P(x’,y’),则
P
由题意可得： x' x
y'
2
y
M
x oD
因为 x'2 y'2 4
所以 x2 4 y2 4
即
x2 y2 1 4
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
(B)( 9 ,25) 2
(C)(-16, 9 )∪( 9 ,25) 22
(D) ( 9 ,+∞) 2
若表示椭圆呢? C
例5：已知 F1、F2
是椭圆
x2 100
y2 64
1
的两个焦点，
P是椭圆上任一点。
（1）若
F1PF2
3
,
求 F1PF2
的面积。
（2）求 | PF1 | | PF2 |的最大值。
1.如图，F1，F2
分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2
是面积为 3 的正三角形，
2 3 则 b2 的值是____________.
2.若方程 x2 + y 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实 25 m 16 m
B 数 m 的取值范围是( )
(A)(-16,25)
a2 b2 +c2；a c 0；a b 0
焦点位置的 看分母的大小,焦点在分母
判断
大的那一项对应的坐标轴上.
例1
例 1⑴已知动点 P 到点 F1(0, 2) , F2(0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆,
且焦点是 F1(0, 2) , F2(0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a2 c2 36 4 32 ∴所求的轨迹方程为 x2 y2 1 .
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
例3、如图，在圆 x2 y2 4上任取一点P作x轴
的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为
圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交
点 P 的轨迹方程. x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x 2 y 2 =1.
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注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段Leabharlann BaiduBC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
动画演示
本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析
法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤
去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝 试.
通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
例 4:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 分9析 : 把 题 目 条 件 直 接 用
x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
课堂练习: