椭圆及其标准方程(第二课时)
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 y
P(x’,y’),则
P
由题意可得： x' x
y'
2
y
M
x oD
因为 x'2 y'2 4
所以 x2 4 y2 4
即
x2 y2 1 4
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
2.2.1 椭圆及 其标准方程（2）
椭圆的定义 图形
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
F2 M
ox
F1
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 x2 a2 b2 1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x 2 y 2 =1.
10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
32 36
⑵求经 过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2答案
例 1⑵求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为（0，± 5 ）， 则可设所求椭圆方程为： x2 y2 =1(m＞0)
例 4:如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) , 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 分9析 : 把 题 目 条 件 直 接 用
x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
课堂练习:
a2 b2 +c2；a c 0；a b 0
焦点位置的 看分母的大小,焦点在分母
判断
大的那一项对应动点 P 到点 F1(0, 2) , F2(0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程. 解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆,
且焦点是 F1(0, 2) , F2(0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a2 c2 36 4 32 ∴所求的轨迹方程为 x2 y2 1 .
动画演示
本课小结: 求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析
法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤
去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝 试.
通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的 几何条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
1.如图，F1，F2
分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2
是面积为 3 的正三角形，
2 3 则 b2 的值是____________.
2.若方程 x2 + y 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实 25 m 16 m
B 数 m 的取值范围是( )
(A)(-16,25)
(B)( 9 ,25) 2
(C)(-16, 9 )∪( 9 ,25) 22
(D) ( 9 ,+∞) 2
若表示椭圆呢? C
例5：已知 F1、F2
是椭圆
x2 100
y2 64
1
的两个焦点，
P是椭圆上任一点。
（1）若
F1PF2
3
,
求 F1PF2
的面积。
（2）求 | PF1 | | PF2 |的最大值。
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为
圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交
点 P 的轨迹方程. x2 y2 1
分析条件发现:4 3
AP BP 4
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
∵ AB AC BC 16 ,
∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0) 25 16
例3、如图，在圆 x2 y2 4上任取一点P作x轴
的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，
椭圆及其标准方程(第二课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
点 D为垂足.当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点M 的轨迹是什
么？为什么？
| MD | 1 | PD | 2
| MD | k | PD | ( k 0, 且k 1)
y
o
x
例3.如图,设点 A, B 的坐标分别为 ( 5, 0 ) ，( 5, 0 ) ．直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是 4 ，求点M 的轨迹方程．
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a , b , c 的关系
b2 a2 c2
同
点 焦点位置的判断 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上
3.经过椭圆
x2 y2 25 16
1 的右焦点 F2
作垂直于 x
轴的直线
AB，交椭
圆于A ，B 两点，F1 是椭圆的左焦点.
直接法
明确所求曲线上点的几何特征，将其转化为代数表示，列出方 程并化简，最后检验轨迹上的点是否都符合题意，如有不符合题意 的点，应在方程后注明．
课堂小结
1.椭圆的概念 2.椭圆的标准方程 3.求轨迹方程的三种方法：
直接法、相关点法（代入法）、定义法
作业：课本第115页第6题、第9题
谢谢大家
9
解：设点M的坐标为( x , y ),依题意得
直线
AM
的斜率k AM
y x5
直线 BM 的斜率kBM
y x5
y
y
4
kAM
kBM
x5
x5
9
化简,得点M的轨迹方程为 x2 25
y2 100
1
(x
5) ,
ห้องสมุดไป่ตู้
椭圆的标准方程(第二课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
5
，求另一个端点的轨迹方程.
解：依题意得，AC AB
3 4
2
5 2 10
2
故C点的轨迹为以A 4, 2 为圆心，以 10为半径的圆，
P
M
O
D
相关点法：
因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以
x02+y02=4
2
即
4
+ 2 = 1
①
所以点M的轨迹是椭圆.
利用已知方程上的点来表
示所求点，结合已知方程整
理化简得所求轨迹方程，这
种方法叫做相关点法.
x
题型讲解——轨迹方程
1.△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0), AB边上的中
2.动点M x , y 与定点F 4, 0 的距离和M到定直线l：x 的距离是常数 ，求动点
4
5
M的轨迹
解：设d是点M到直线l：x
就是集合
MF
4
P M |
d
5
x 4 y2
2
由此得
25
的距离，根据题意，动点M的轨迹
4
25
x
4
4
，化简得9 x 2 25 y 2 225
5
x2 y2
即
1
25 9
题型讲解——轨迹方程
例4：动圆M与圆C1 : x 1 y 36相内切，与圆C 2 :: x 1 y 2 4相外切，
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
椭圆及其标准方程第二课时
则m的取值范围是 (1,2) ..
7. 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，则 顶点A的轨迹方程_______________.
(A)6 (B)3 (C)3 5
1，则这个椭圆的焦距为（ A ）
(D)6 5
2.F1、F2是定点，且 F1F2 6，动点M 满足 MF1 MF2 10，
则点M的轨迹是（ A）
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
3.已知椭圆 x2 y2 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
为3，则P到另一焦点的距离为（ D）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则：
焦点在分母大的那个轴上。
x2 (1)已知椭圆的方程为：25
y2 16
1
，则
a=___5__，b=___4____，c=____3___，焦点坐标
为：__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
(2,0), 并且经过点( 5 , 3).求它的标准方程 22
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0).
4、已知△ ABC的顶点B,C在椭圆 x2/3+y2=1 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外 一个焦点在BC边上，则△ ABC的周长是（ ）
A 2 3 B 6 C 4 3 D 12
人教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程(第二课时)公开课教学课件 (共21张PPT)
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 仍然成立.
【说明】由本题可知，△AF1B的周长为4a， △AF1F2,△BF1F2的周长等于2a+2c.
y A
.
F1
O
. F
2
x
B
当堂检测： 1.两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点
P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程
解：设 M(x，y)，P(x0，y0)，则 y0 x x 0 ，y . 2 ∵ P(x0，y0) 在圆 x2 + y2 = 4 上， ∴ x02 + y02 = 4
2 x y2 1 . x2 +4 y2 = 4 即 4
y
.P .M
O
D
x
将 x0 x ，y0 2 y 代入
得
∴
点M的轨迹是一个椭圆 .
(2) a b 0 ； (3) a c 0 .
y
F1
o
F2
M
x
（4）椭圆方程的鉴别：
形如 mx ny 1 的式子要表示椭圆，
2 2
当且仅当 m 0, n 0, 且 m n ;
（5）椭圆焦点位置的判断：标准方程中,x2, y2谁的分母大，
则焦点在其对应的坐标轴上.
变式：已知圆x 2 y 2 9, 从这个圆上任意一点P向x轴作 垂线段PP ' ,点M 在PP ' 上，并且PM 2MP ', 求点M的轨迹。
y P
M
o P’ x
x 2 y 1 9
2
例3 如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 -4/9 点M的轨迹方程。 y
3.1.1椭圆及其标准方程(第二课时)课件(人教版)
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
新课讲授：
例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，
它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为
3m，求这个椭圆的标准方程．
上一点
P
与椭圆两焦点
F1，F2
连线的夹角为直
角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知||PPFF11||＋ 2＋|P|PFF22|＝|2＝141，00， 由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196， ∴2|PF1||PF2|＝96， ∴|PF1||PF2|＝48．]
学以致用：
1.焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P(6,0)的椭圆的标准方程是 ________．
3x62 ＋3y22 ＝1 [由已知得2c＝4，a＝6， 所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32， 所以椭圆的标准方程为3x2 ＋ y2 ＝1 49 24
)2
a2
(
3 2
)2
b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10, b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1 10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为
由椭圆的定义知，
2a ( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
3 10 1 10
椭圆及其标准方程第二课时(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
3.1.2 椭圆及其标准方程第2课时教学设计（一）教学内容椭圆及其标准方程(二）教学目标1.通过知识的教学，使学生能熟练掌握椭圆的标准方程，焦点、焦距等概念以及a、b、c之间的关系，发展解析几何中代数运算素养.2.通过求点的轨迹方程,能使学生体验曲线与方程之间的一一对应关系，进一步体会坐标法和数形结合的思想.（三）教学重点及难点重点：求椭圆的标准方程.难点：轨迹方程的求法.（四）教学过程设计（主体内容）用问题分解教学目标1.课题导入问题1：上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的？追问1：椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？参数a、b、c的关系是怎样的？追问2：现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？师生活动：学生作答，老师适时补充，教师板书,明确求椭圆的标准方程不需要用坐标法，可用待定系数法确定a,b即可.设计意图：目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及a，b，c各量的关系，熟悉焦距.为下一步求椭圆的标准方程做好铺垫.2.例题教学例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，-10)，P到与它较近的一个焦点的距离为2.(3)椭圆经过点（1，32)，（2)师生活动：通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想,体会椭圆标准方程的常规方法待定系数法，便于掌握本节的重点.设计意图：巩固椭圆及其标准方程.问题2：动点的轨迹和轨迹方程有何区别？例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。
当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.师生活动：(1)轨迹是指图形，轨迹方程是指方程.明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点M的坐标(x，y)所满足的条件，因此必须先搞清楚点M所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法，即通过建立点M与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解. (3)明确椭圆与圆的联系，椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后，圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3 如图4，设点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是4 -9，求点M 的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；(2)教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价；（4）此题反过来，就是椭圆的一条性质.课堂练习：教科书第109页练习第3，4题.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.师生活动：学生运用椭圆的概念与椭圆的标准方程解决第3题，运用求曲线的方程的方法解决第4题，教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.问题3：什么是椭圆的焦点三角形？焦点三角形又蕴含哪些知识呢？定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆的焦点三角形.例4 椭圆22143x y+=，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．师生活动：教师在黑板上画出示意图，引导学生可联想解三角形的知识，由学生说出解决方案.（时间允许的话）从此题可推出一般结论：（1）.（2）当P 点在椭圆与y 轴的交点时，焦点三角形面积最大为bc.设计意图：例题的难度不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考独立分析解决问题的能力，通过练习，提醒学生在解决问题时，要根据题目的条件，灵活选用相关知识进行求解.3.课堂小结：问题4：回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论作个梳理吗？师生活动：先由学生对椭圆的标准方程和轨迹方程求法作梳理，教师进行补充.设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.(五）目标检测设计1.课堂检测（1）.求符合下列条件的椭圆的标准方程：①经过点P(-，(1，；②a=2b0).设计意图：考查学生对椭圆的标准方程及a ，b ，c 之间的关系的理解与掌握水平，（2）.已知△ABC 的周长为6，顶点A ，B 的坐标分别为(0，1)，(0，-1)，则点C 的轨过方程为( ) (A)221x 2)43x y +=≠±（ (B)2212)34x y +=≠±（y (C)221x 0)43x y +=≠（ (D)2210)34x y +=≠（y设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.（3）.已知点A(-1.0)，B 是圆F ：229(1)x y +=-（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 师生活动：学生先独立完成，后相互交流，教师视学生错误情况进行点评、校正.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程，考查学生求轨迹方程的掌握情况.2.课后作业教科书习题3.1第2，6，10题.（六）教学反思 点的纵坐标）是（P b S PF F 0021y .cy 2tan 2==∆θ。
人教高中数学选修椭圆及其标准方程第二课时公开课教学讲课文档
M
o
x
F2
（4）椭圆方程的鉴别：
形如 mx2 ny2 的1 式子要表示椭圆，
当且仅当 m 0, n 0, 且 m n ;
（5）椭圆焦点位置的判断： 标准方程中,x2, y2谁的分母大， 则焦点在其对应的坐标轴上.
第八页，共21页。
第九页，共21页。
建立适当的坐标系，用有序实数对
上任意一点M的坐标.
是(-5,0)，所以直线AM的斜率
y (x 5);
A
k AM x 5
y
k 同理，直线BM的斜率
(x 5); BM x 5
o
Bx
“杂点”
由已知有
y y 4 (x 5)
可不要 忘了哟
x5 x5
化简，得点M的轨迹方程为
9
x2
y2
1(x 5).
25 100
9
变式训练：
设点A、B的坐标分别为(-1，0)，(1，0).直线 AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线 BM的斜率的商是2，求点M的轨迹方程
x=-3（y≠0）
第十四页，共21页。
第十五页，共21页。
例4. 求与圆(x+3)2+y2=4外切，且与圆 (x-
3)2+y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程．
y
P M
解：设动圆的圆心为M(x, y)，半径
为r，它与已知圆O1、O2切于Q、 P 两点,则：
MO1 r 2， MO2 10 r
课堂小结：
1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程的求法：
定义和待定系数法
3、轨迹方程的方法：相关点、直接法、
定义法
第十九页，共21页。
课后作业
椭圆及其方程第二课时
教材分析本节课是“椭圆及其标准方程”是高中《数学》必修2.1.1第2节的内容。
承接上一节椭圆的定义与标准方程，学生已经理解椭圆的定义与标准方程，但在运用上经验不足。
本节在对前面所学的内容的巩固的基础上通过求动点轨迹进一步研究椭圆，在学定义法以后介绍了求轨迹方程的另二种方法：转移法，直接法。
也为进一步研究双曲线、抛物线提供了一些探求模式。
.教学目标知识技能1．掌用代入法求动点轨迹方程，及其运用环境。
2．掌握用直接法求动点轨迹过程，及其运用环境。
3．培养学生运用运动的观点去解决数学的有关问题。
过程和方法通过引导学生动点轨迹性质的探究，寻找出解决问题的方法，并利用对现代化的媒体技术展示结果。
情感,态度与价值观通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题的能力，进一步增强学生数型结合的思想。
以及通过师生双边活动，初步培养学生运用知识，加强理论联系实际的能力，探索精神与扎实严谨的科学作风.。
教学重点掌握用代入法，直接法求动点轨迹过程，及其运用环境。
以及它们的综合运用。
教学难点理解代入法，直接法求动点轨迹的运用环境，掌握几何关系坐标化的过程。
学情分析本节课的学生已经对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但从对求轨迹方程的方法上，学生思维上会存在障碍。
教学过程流程教师活动学生活动设计意图知识回顾教师利用多媒体演示的同时对学生的回答作作必要的补充、纠正作业中的错误。
【定义】平面内与两定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆。
两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距。
椭圆的标准方程为：（注意焦点位置）焦点在x轴上：22221(0)x ya ba b+=>>焦点在y轴上：22221(0)y xa ba b+=>>其中222a b c=+教师引导学生时要注意提醒学生当题目没有交代清楚焦点位置所在时一定要分情况讨论。
学生练习：学生集体回答让学生对所学的知识的进一步巩固并为下面内容作铺垫。
《椭圆及其标准方程》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《椭圆及其标准方程》第2课时教学设计1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程；2．掌握焦点、焦距、焦点位置与方程的关系；会求满足一定条件的椭圆的标准方程．求符合一定条件的椭圆的标准方程．复习巩固（老师通过幻灯片出示题目，安排学生动手加以解决） 1．填空（1）椭圆的定义是_________________________________________________________ ________________________________________________________________________． 数学语言是______________________________________________________________ ________________________________________________________________________． （2）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是________________________________________ ________________________________________________________________________． （3）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________________________________ ________________________________________________________________________． （4）椭圆的三个特征量是______，它们之间的关系是____________________________ ________________________________________________________________________． 2．已知椭圆方程为x 220＋y 211＝1，那么它的焦距是（ ）A ．6B ．3C ．331D ．31 3．a ＝6，c ＝1，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是________________． 答案：2．A 3．y 236＋x 235＝1学生活动：独立思考解决以上问题．设计意图：此组题目编排的目的是使学生熟悉椭圆的定义及标准方程以及椭圆方程中a ，b ，c 各量的关系，熟悉焦距．典型示例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）．（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，－10），P 到与它较近的一个焦点的距离等于2．（3）椭圆经过点（1，32），（－3，32）．通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想． 教师活动：将已有的知识更加明朗化；通过学生讨论与反思，体会椭圆标准方程的常规求法，便于掌握本节的重点，突破难点．解：（1）由题意a ＝2，b ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1．（2）由题意a ＝10，a －c ＝2． ∴c ＝8．又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝6．∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1． （3）设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1． ∵椭圆经过点（1，32），（－3，32），∴⎩⎨⎧a ＋94b ＝1，3a ＋34b ＝1.解得a ＝14，b ＝13．∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1．说明：（1）标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标或纵坐标的绝对值实际即为a 与b 的值．（2）后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近．（3）要熟悉待定系数法求曲线的方程，学生在设方程方面需要给予引导． 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程．巩固练习（1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），且经过点（5，0）的椭圆方程为__________； （2）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26的椭圆的标准方程为______________．答案：（1）x 225＋y 216＝1（2）y 2169＋x 2144＝12已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．分析：引导学生做出草图，点M 为主动点，P 是从动点．可用代入法求从动点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为（x ，y ），M 点的坐标为（x 0，y 0）．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 29＝1．∵M 是线段PP ′的中点，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1得x 236＋y 236＝1．即x 2＋y 2＝36． ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36．点评：由[例2]看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆；将椭圆按照某个方向均匀地拉长（压缩），可以得到圆（也可以得到椭圆）．3P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．分析：从已知我们不难知道|PF 1|＋|PF 2|，还可以知道|F 1F 2|以及∠F 1PF 2，据此我们利用余弦定理可求出|PF 1|与|PF 2|的积，有了这个积，又知道∠F 1PF 2的大小，由公式S ＝12absinC即可求出△PF 1F 2的面积．答案：1633从此题可得出一般结论：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22．4△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－49，求顶点A 的轨迹方程．解析：设顶点A 的坐标为（x ，y ）．按题意得y －6x ·y ＋6x ＝－49．∴顶点A 的轨迹方程为x 281＋y 236＝1（y ≠±6）．点评：求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件．教师活动：规范解题步骤，明确用定义法求标准方程的要领，培养学生应用数学语言的能力．设计意图：增强学生解题过程的规范化和解题的通性通法．变练演编1．一个椭圆过M （－2，3） ， N （1，23）两点，求该椭圆的标准方程． 2．求过点A （0，－2）且与椭圆x 28＋y 29＝1共焦点的椭圆的标准方程．1．提示：引导利用椭圆标准方程的统一形式mx 2＋ny 2＝1（m >0，n >0，m ≠n ）解题． 2．分析：由已知的椭圆方程可知，椭圆的焦点为（0，－1），（0，1），所以c ＝1． 又因为椭圆过点（0，－2），所以a ＝2．故所求方程为y 24＋x 23＝1．达标检测1．已知椭圆过点P （35，－4）和点Q （－45，3），则此椭圆的标准方程是（ ）A ．y 225＋x 2＝1 B ．x 225＋y 2＝1C ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）．∵椭圆过P 、Q 两点，∴⎩⎨⎧925a 2＋16b2＝1，1625a 2＋9b 2＝1.解得a 2＝1，b 2＝25，∴x 2＋y 225＝1为所求． 答案：A2．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1（a ＞5），它的两个焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．441 解析：∵a ＞5，∴椭圆的焦点在x 轴上．∴a 2－25＝42，a ＝41． 由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝441． 答案：D3．已知曲线C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1，则曲线C 是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上或焦点在y 轴上的椭圆D ．可能不是椭圆解析：当a 2＝b 2时，曲线C 为圆． 答案：D4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′中点M 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．可能是圆也可能是椭圆D ．以上都有可能解析：设M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），则x 20＋y 20＝4，x 0＝x ，y 0＝2y ，把x 0＝x ，y 0＝2y 代入x 20＋y 20＝4得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1．∴点M 的轨迹是一个椭圆． 答案：B课堂小结（让学生主动盘点收获，教师补充．主要围绕：1． 利用椭圆的定义和标准方程解题；2． 待定系数法．）布置作业 教材本节练习3，4． 补充练习1．方程x 2m ＋y 2m 2－2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 满足________．2．椭圆x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝1，θ∈（π4，π2）的焦点坐标是____________．3．椭圆的两个焦点F 1，F 2都在y 轴上，且它们到原点的距离都是2，CD 是过F 2的弦，且△CDF 1的周长为12，则此椭圆的方程为____________．答案：1．（2，2） 2．（0，±sin 2θ－cos 2θ）3．x 25＋y 29＝1本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，体现“教师为主导，学生为主体”的现代教学思想．设计主要是让学生掌握椭圆的标准方程，理解椭圆方程中各量a ，b ，c 以及它们的关系a 2－c 2＝b 2，能求椭圆的焦点，会求满足一定条件的椭圆的标准方程，设计让学生站在方程的角度认清椭圆两种标准方程形式上的特征，将学生的思维提升到了一个新的高度．为实现此目标，通过两组题目，循序渐进地实现教学目标．课后可以分层次布置作业，帮助学生巩固所学知识；课后探索更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间．在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点．自始至终很好地调动学生的积极性，挖掘他们的内在潜能，提高学生的综合素质．。