同步北师大高中数学必修二培优新方案模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－23B ．0 C. 3 D ．2 3解析：选B 易知k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.2．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12 解析：选D 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12. 3．在空间直角坐标系中，点B 是点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A ．14B ．13C ．2 3D ．11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13. 4．已知直线nx －y ＝n －1和直线ny －x ＝2n 的交点在第二象限，则实数n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，知当n ＝1时，两直线平行，当n ＝－1 时，两直线重合，故n ≠±1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －y ＝n －1，ny －x ＝2n ，得x ＝n n －1，y ＝2n －1n －1.∴n n －1＜0且2n －1n －1＞0，解得0＜n ＜12. 5．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析：选B设P(x，y)，则由题意可得：2(x－2)2＋y2＝(x－8)2＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R＝3，圆锥半径R＝3，高为4，所以V组合体＝V半球＋V圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由三视图得到空间几何体的直观图如图所示，则PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，PA ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB ，△PAD ，△PBC ，共3个．9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533 解析：选C 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S -ABD 和C -ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DBC ＝∠DAC ＝45°，所以在△BDC 中，BD ＝4－x ，所以x ＝4－x ，解得x ＝2，所以AD ＝BD ＝2，所以△ABD 为正三角形．所以V ＝13S △ABD ×4＝433. 10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a 3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)， ∴直线l 的方程为y －4＝－a 3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0，又直线l 与圆相切，∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125. 11．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )所作的圆的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 将圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.∵圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，∴直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心，将x ＝－1，y ＝2代入直线方程得－2a ＋2b ＋6＝0，即a ＝b ＋3.∵点(a ，b )与圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2，∴由点(a ，b )向圆C 所作切线长l ＝d 2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2(b ＋1)2＋16≥4，当且仅当b ＝－1时切线长最小，最小值为4.12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4解析：选C 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A -BCD ，最长的棱为AD ＝(42)2＋22＝6，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知平面α，β和直线m ，若α∥β，则满足下列条件中的________(填序号)能使m ⊥β成立．①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α.解析：m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β.答案：②14．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0， 得a ＝±1.答案：±115．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ，故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)． 又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)，所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.816．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)， 如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.18．(12分)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确. 19．(12分)如图所示，在棱锥A -BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．求证：(1)DM ∥平面APC ；(2)平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴DM ∥AP .又∵DM 平面APC ，AP 平面APC ，∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，∴DM ⊥PB .又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB .又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC .∵BC 平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC .又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a ＞0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在， 说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，半径r ＝22a . 由题意得⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需圆E 的半径2a 2＝52， 解得a ＝10，此时， 圆E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF ⊥平面BEG .解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.22．(12分)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H (0,3)，半径r ＝12＋32＝10，圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝(10)2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，∴直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上， 所以⎩⎨⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2， 因为关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎡⎦⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2. 又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对任意的m ∈[0,1]成立，即r 2＜325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，4105.。
同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测二十一 圆的标准方程 含解析
课时跟踪检测（二十一）圆的标准方程一、基本能力达标1．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()A．4x－y＝0B．4x＋y＝0C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y ＝－4x，即4x＋y＝0.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.3．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：选D y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．4．已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52解析：选A由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为(4－2)2＋(0＋3)2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.5．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于()A．13 B．7C．－13 D．以上答案都不对解析：选B 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7.6．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为________．解析：由(a －1)2＋(a ＋2)2＜2a 2得a ＜－52. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－52 7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (0,1)的圆的方程为________．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－1)2＝25，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝20.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝208．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝19．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)∵PQ 中点为⎝⎛⎭⎫12，12，且k PQ ＝－1，∴圆心所在的直线方程为y －12＝x －12，即x －y ＝0. (2)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1，则{ (1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(b －1)2＝1，解得{ a ＝0，b ＝0或{a ＝1，b ＝1. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的标准方程．解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为点M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， 所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.二、综合能力提升1．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则△ABC 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5解析：选C 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，所以圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.2．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，知|PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B.3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.4．圆心在直线2x －y ＝3上，且与两坐标轴相切的圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1D ．不存在解析：选C 设圆心为C (a ，b )，则|a |＝|b |，∵圆心在2x －y ＝3上，∴当a ＝b 时，代入得a ＝b ＝3，圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9.当a ＝－b 时，同理得a ＝1，b ＝－1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.5．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由{ x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝(2－0)2＋(4－0)2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝206．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋m －4)2＝1，当m 变化时，圆C 上的点到原点的最短距离是________．解析：由题意可得，圆C 的圆心坐标为(2,4－m )，半径为1，圆C 上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d ＝22＋(4－m )2－1的最小值，当m ＝4时，d 最小，d min ＝1.答案：17．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB 的中点(0,1)，半径r ＝12|AB |＝10. 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3， 即线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 由{ x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得{x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝r 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，r 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.探究应用题8．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x 的最大值和最小值． (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求(x －2)2＋(y －3)2 的取值范围．解：(1)法一：如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x 最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x 的最大值为 3.类似地容易求得y x 的最小值为－ 3.法二：令y x ＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3，联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3，即y x 的最大值、最小值分别为3，－ 3.(2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12. 所以(x －2)2＋(y －3)2的取值范围是 ⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12.。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修2习题：第二章模块综合检测(A) Word版含答案
模块综合检测(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24π cm 2，12π cm 3B ．15π cm 2，12π cm 3C ．24π cm 2，36π cm 3D ．以上都不正确解析：选A.由三视图可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为3，母线长为5，所以高为h ＝ 52－32＝4，所以S 表＝πr 2＋πrl ＝π(32＋3×5)＝24π，V ＝13πr 2h ＝13π×32×4＝12π，故选A.2．已知点A (1，2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则线段BC 的长为( )A ．2 2B ．4C ．2 5D ．27解析：选B ．点A 关于平面xOy 对称的点C (1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B (1，－2，1)，则|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.3．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：选C.由于直线l 1∥l 2，所以－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，即(k －3)(k －5)＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，符合条件．4．在正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，A ′A ＝2，则AC ′与BC 所成角的余弦值为( ) A.55 B ．56 C.66D ．306解析：选C.由题意知，∠AC ′B ′即为AC ′与BC 所成的角，连接AB ′，在Rt △AC ′B ′中，AC ′＝6，B ′C ′＝1， 故cos ∠AC ′B ′＝66. 5．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线的方程是( ) A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0解析：选B ．设所求直线方程为3x －4y ＋c ＝0，由题意可得|c －（－1）|32＋42＝2，即|c ＋1|＝10，解得c ＝9或c ＝－11.即所求直线方程为3x －4y ＋9＝0或3x －4y －11＝0.6．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．3 D ．1或3解析：选D ．当三条两两相交的直线共面时，只有一个，当三条直线两两相交且不共面时，可以确定三个平面．7．过点(2，1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在直线的方程是( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0解析：选A.由题意知所求直线应过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，即过点(1，－2)，由直线方程的两点式可得，所求直线方程为3x －y －5＝0.8．已知不同的直线m ，n 和不同的平面α，β给出下列命题： ①⎭⎬⎫α∥βmα⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎬⎫mαnβ⇒m ，n 异面；④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β.其中假命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D ．命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n β；命题③不正确，假如m ，n中有一条是α，β的交线，则m ，n 共面；命题④不正确，m 与β的关系不确定．9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C.令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.10．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截后剩余的凸多面体的体积为( )A.23 B ．76C.45D ．56解析：选D ．共截去8个小三棱锥，且这8个小三棱锥完全一样，每个小三棱锥都有三条长度为12且相互垂直的棱，故每个小三棱锥的体积为V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×12×12×12＝148，故剩余的多面体体积为1－8×148＝56. 11．若点A (2，1)，B (－1，5)到直线l 的距离均为52，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．很多条解析：选B ．全部到点A 距离为52的直线都是以A 为圆心，半径为52的圆的切线；同理，全部到B 的距离为52的直线都是以B 为圆心，半径为52的圆的切线，因此所求直线l 是圆A 和圆B 的公切线． 又由于|AB |＝5＝52＋52，故两圆外切，公切线有3条．12．如图①，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a L 水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .假如将容器倒置，水面也恰好过点P (如图②)．有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P ；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P ； ④若往容器内再注入a L 水，则容器恰好能装满． 其中真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：选D ．易知所盛水的体积为容器容积的一半，故④正确，于是①错误；水平放置时由容器外形的对称性知水面经过点P ，故②正确；③的错误可这样推出：将图①中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点P 将露出水面．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．经过点P (2，－3)作圆x 2＋y 2＝20的弦AB ，且使|AB |＝8，则弦AB 所在的直线方程为________． 解析：如图，由于|AB |＝8，所以|OC |＝20－16＝2.设AB 所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，圆心O 到AB 的距离为|－2k －3|k 2＋（－1）2＝2，解得k ＝－512.此时，AB 所在的直线方程为5x ＋12y ＋26＝0.当AB 所在的直线方程为x ＝2时，也符合题意．所以，所求弦AB 所在直线的方程是5x ＋12y ＋26＝0或x ＝2. 答案：5x ＋12y ＋26＝0或x ＝214．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：三点共线，则k AB ＝k AC ， 即22－a＝2－b 2.整理知2a ＋2b ＝ab .同除以ab ， 有2a ＋2b＝1， 所以1a ＋1b ＝12.答案：1215．三棱锥P -ABC 的两侧面P AB 、PBC 都是边长为2的正三角形，AC ＝3，则二面角A -PB -C 的大小为________．解析：如图所示，取PB 的中点M ，连接MA 、MC ，由于P AB 、PBC 都是边长为2的正三角形，所以PB ⊥MA ，PB ⊥MC ，且MA ＝MC ＝3，所以∠AMC 即为二面角A -PB -C 的平面角．又AC ＝3，所以△MAC 为正三角形，∠AMC ＝60°.答案：60°16．已知直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋2)y ＋2a ＋2＝0(a ∈R )，有下列三个结论： ①若a ＝－2，则直线l 与x 轴平行；②当a ＝1时，l 与两坐标轴围成三角形的面积为89；③l 经过定点⎝⎛⎭⎫－23，－23. 其中正确的结论是________(填上你认为正确的全部序号)．解析：对于①，若a ＝－2，则直线l 的方程为x ＝－23，与x 轴垂直，故①不正确；对于②，当a ＝1时，则直线l 的方程为3x ＋3y ＋4＝0，与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－43，0，⎝⎛⎭⎫0，－43，所以三角形面积为12×43×43＝89，故②正确；对于③，直线方程可化为a (2x ＋y ＋2)＋x ＋2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝－23故直线l 经过定点⎝⎛⎭⎫－23，－23，③正确． 答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1的弦长为22的圆的方程．解：设圆的半径为r ，由条件可知圆心C 到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|2＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为22，所以半弦长为 2.所以r 2＝2＋2＝4，r ＝2.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 18．(本小题满分12分)球面上三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．解：由于AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形． 所以△ABC 的外接圆的半径为15， 即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离d ＝12R ，所以R 2－⎝⎛⎭⎫12R 2＝152，解得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π.19. (本小题满分12分)如图，四周体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，E ，F 分别为AD ，AC 的中点，BC ⊥CD ．求证：(1)EF ∥平面BCD ；(2)平面BDC ⊥平面ACD ． 证明：(1)⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AE ＝ED AF ＝FC ⇒EF ∥DCE F 平面BCD DC平面BCD⇒EF ∥平面BCD ． (2)⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面BCD BC 平面BCD ⇒⎭⎬⎫BC ⊥ADBC ⊥CD AD ∩CD ＝D ⇒BC ⊥平面ACD ，又BC平面BDC ，所以平面BDC ⊥平面ACD ．20．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，其中m <5. (1)若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且|MN |＝455，求m 的值； (2)在(1)条件下，是否存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l 的距离为55，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．解：(1)圆的方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，圆心C (1，2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1，2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15.由于|MN |＝45，则12|MN |＝25，有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2， 所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫252， 得m ＝4.(2)假设存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l 的距离为55，由于圆心C (1，2)，半径r ＝1，则圆心C (1，2)到直线l ：x －2y ＋c ＝0的距离为d ＝|1－2×2＋c |12＋22＝|c －3|5<⎪⎪⎪⎪1－15，解得4－5<c <2＋ 5.21．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D -ABC 的体积．解：(1)证明：在题图1中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连接DO ， 则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， DO平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ， 所以DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ， 所以BC ⊥平面ACD ．(2)由(1)可知，BC 为三棱锥B -ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2. 所以V D ABC ＝V B ACD ＝13S △ACD ·BC＝13×2×22＝423. 22．(本小题满分12分)已知以点P 为圆心的圆过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程；(3)设点Q 在圆P 上，摸索究使△QAB 的面积为8的点Q 共有几个？并证明你的结论．解：(1)由于A (－1，0)和B (3，4)，所以k AB ＝1.由题意知AB 与CD 垂直，故k CD ·k AB ＝－1，所以k CD ＝－1.又由题意知，直线CD 经过线段AB 的中点(1，2)，所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.(2)由题意知，线段CD 的长为圆P 的直径，设圆P 的半径为R ，则2R ＝410，所以R ＝210.设圆P 的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，（a ＋1）2＋b 2＝40.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40，或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.(3)由于|AB |＝42，S △QAB ＝8，所以点Q 到直线AB 的距离为2 2.设圆心P 到直线AB 的距离为d ，则d 2＝R 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝(210)2－(22)2＝32，所以圆心P 到直线AB 的距离为d ＝4 2.又圆P 的半径R ＝210，而210－42<22， 所以，圆P 上共有2个点Q 使△QAB 的面积为8.。
同步北师大高中数学必修二培优新方案阶段质量检测一 立体几何初步 含解析
阶段质量检测（一）立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：选B由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B.2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为()A．1B．2C. 2 D．2 2解析：选D∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝ 2.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2 2.故选D.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，mα，nβ，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，mα，n β，则α∥β或α与β相交；易知C 正确；对于D ，若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n 在平面α内．故选C.4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行D ．异面或相交解析：选D 如图所示，a ，b 是异面直线，AB ，AC 都与a ，b 相交，AB ，AC 相交；AB ，DE 都与a ，b 相交，AB ，DE 异面．5．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥α解析：选C 如图，l 可以垂直m ，且l 平行α.6．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( ) A ．平行 B ．异面C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 分直尺所在直线在地平面内，直尺所在直线和地面垂直，直尺所在直线和地面相交三种情况讨论．7．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在可能a 与b 异面或相交．③④错在a 可能在α内． 8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm3 B.13 cm 3 C.16cm 3 D.112cm 3 解析：选C 根据三视图可知原几何体是三棱锥， V ＝13Sh ＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)．9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372解析：选C 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋6×2×2＋8×2×2＝152，又由于两个长方体的表面积重叠一部分，所以该几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360，故选C.10．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列三个说法： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若α∥β，l α，则l ∥β；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中正确的说法个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.932解析：选A 如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R . ∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎫32R 2＝3π4R 2. 又S 球＝4πR 2， ∴S 截面S 球＝3π4R 24πR 2＝316. 12.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，AB ＝BC ＝CA ＝CF ＝2，AA 1＝3，则下列说法正确的是( )A ．设平面ADF 与平面BEC 1的交线为l ，则直线EC 1与l 相交B ．在棱A 1C 1上存在点N ，使得三棱锥N -ADF 的体积为37C ．设点M 在BB 1上，当BM ＝1时，平面CAM ⊥平面ADFD ．在棱A 1B 1上存在点P ，使得C 1P ⊥AF解析：选C 连接CE 交AD 于点O ，则O 为△ABC 的重心，连接OF .由已知得OF ∥EC 1，则EC 1∥l ，故A 错；若在A 1C 1上存在点N ，则V N -ADF ＝V D -AFN ，当N 与C 1重合时，V D -AFN 取最小值为36，故B 错；当BM ＝1时，可证得△CBM ≌△FCD ，则∠BCM ＋∠CDF ＝90°，即CM ⊥DF .又∵AD ⊥平面CBB 1C 1，CM 平面CBB 1C 1，∴AD ⊥CM .∵DF ∩AD ＝D ，∴CM ⊥平面ADF .∵CM 平面CAM ，∴平面CAM ⊥平面ADF ，故C 正确；过C 1作C 1G ∥FA 交AA 1于点G .若在A 1B 1上存在点P ，使得C 1P ⊥AF ，则C 1P ⊥C 1G .又∵C 1P ⊥GA 1，C 1G ∩GA 1＝G ，∴C 1P ⊥平面A 1C 1G .∵A 1C 1平面A 1GC 1，∴C 1P ⊥A 1C 1，矛盾，故D 错．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为______cm 2.解析：圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2)．答案：16π14．如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AD 的位置关系是________．解析：由平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ， 知MN ⊥平面ABCD . ∴MN ⊥AD . 答案：垂直15．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝2 2x.又AM＋MN＋NF＝1，即22x＋x＋22x＝1.解得x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.答案：262－116．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，又AC平面AEC，故AC⊥BD，故①正确；②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝22a.由①知∠AEC是直二面角A-BD-C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确；③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，故③不正确；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)．(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的； (2)求该几何体的表面积和体积．解：(1)从三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切．(2)易得圆锥的母线长为32＋12＝10，则表面积S ＝S 圆锥侧＋S 长方体－S 圆锥底＝π×1×10＋2(2×3＋1×3＋1×2)－π×12＝(10－1)π＋22，体积V ＝2×3×1＋13×π×12×3＝6＋π，故所求几何体的表面积是(10－1)π＋22(m 2)， 体积是6＋π(m 3)．18．(12分)已知圆柱OO 1的底面半径为2，高为4.(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长； (2)若平行于轴OO 1的截面ABCD 将底面圆周截去四分之一，求截面面积；(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求V Ⅰ∶V Ⅱ(体积之比)．解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长41＋π2.(2)连接OA ，OB ，∵截面ABCD 将底面圆周截去14，∴∠AOB ＝90°，∵OA ＝OB ＝2，∴AB ＝22， 而截面ABCD 是矩形且AD ＝4， ∴S 截面ABCD ＝22×4＝8 2. (3)依题知V 圆柱＝Sh ＝16π， 三棱柱AOB -DO 1C 的体积是8， 则V Ⅰ＋8＝14V 圆柱＝4π，∴V Ⅰ＝4π－8，而V Ⅱ＝V 圆柱－V Ⅰ＝12π＋8， 于是V Ⅰ∶V Ⅱ＝π－23π＋2.19．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E -ABC 的体积V .解：(1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ， ∴EF ∥AD .又∵AD 平面PAD ，EF 平面PAD ，∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G . 则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E -ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13. 20．(12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解：(1)证明：连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C 綊A 1D ，故ME 綊ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED .又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.21．(12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG平面EFG，FG平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE＝AE.∴BE⊥平面D1AE.又D1A平面D1AE，∴BE⊥D1A.22．(12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E -ABC 的体积．解：(1)取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，EN ，EM ，则直线MN 即为所求． 取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH 平面ABC ，∴AH ⊥平面BCD ，同理，可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH .∵EN 平面ABC ，AH 平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC .∵MN 平面ABC ，BC 平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN 平面EMN ，EN 平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC .又EF 平面EMN ，∴EF ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，NG ＝12DH ， 由(1)可知，EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等．又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC.又DH＝3，∴NG＝32.又AC＝AB＝3，BC＝2，∴AH＝22，∴S△ABC＝12·BC·AH＝22，∴V E-ABC＝V N-ABC＝13·S△ABC ·NG＝63.。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。
2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第二册
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3πC.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝34×π×12×4＝3π. 答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.答案：C5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．答案：D6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A(1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y|＋1.答案：x 2＝2|y|＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P(2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B(－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC ∩面ABCD＝BC，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ， ∴OB ＝a 2，OC ＝32a.(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ， 即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a.即E 到平面PBC 的距离为34a.(12分)17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1， 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d. 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.(14分)。
同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测九 平面与平面垂直的判定 含解析
课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定一、基本能力达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面BCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，AM＝MD＝22a.∴AD＝22a×2＝a.答案：a8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC 上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC，则BC＝BD2＋DC2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：19.如图，在圆锥VO中，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点．已知AB＝2，VA＝2.求证：平面VAC⊥平面VOD.证明：连接BC，由圆锥的性质，知VO⊥平面ABC，∴VO⊥AC.又D是AC的中点，∴OD∥BC.又AB是底面圆的一条直径，∴AC⊥BC，∴AC⊥OD.又VO∩OD＝O，VO平面VOD，OD平面VOD，∴AC⊥平面VOD.又AC平面VAC，∴平面VAC⊥平面VOD.10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝2，2可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.二、综合能力提升1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．4．如图，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN 折起至△B′MN位置，使二面角B′-MN-B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为()A.25 B.45 C.35 D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 5.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA ∩AE ＝A ，得AB ⊥平面PAE ，因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAE ，②正确；延长BC ，EA ，两者相交，因此BC 与平面PAE 相交，③不正确；由于PA ⊥平面ABC ，所以∠PDA 就是直线PD 与平面ABC 所成的角，由PA ＝2AB ，AD ＝2AB ，得PA ＝AD ，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OBβ，OC β，且OB ∩OC＝O ，根据线面垂直的判定定理，可得OA ⊥β，又OA α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.如图，在四面体P -ABC 中，△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，PA ＝3，D 为PA 的中点，求二面角D -BC -A 的大小．解：取BC 的中点E ，连接EA ，ED ，EP .∵△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，∴BC ⊥AE ，BC ⊥PE ，又AE ∩PE ＝E ，AE 平面PAE ，PE 平面PAE ， ∴BC ⊥平面PAE .而DE 平面PAE ，所以BC ⊥DE ， ∴∠AED 即为二面角D -BC -A 的平面角． 又由条件，知AE ＝PE ＝32AB ＝3，AD ＝12PA ＝32， ∴DE ⊥PA ，∴sin ∠AED ＝AD AE ＝32，显然∠AED 为锐角，∴∠AED ＝60°，即二面角D -BC -A 的大小为60°. 探究应用题8．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合检测(B)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合检测（B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R, 则这个几何体的体积是（）A. -Tt R3B. 2兀R3C.兀R3D. -Tt R33 3 32.已知水平放置的^ ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B' O' = C' O3=1, A O=手，那么△ ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形3.已知直线m、n与平面a、3 ,给出下列三个语句：①若m // a , n // a ,则m // n; ②若m // a , n, a ,则n± m;③若m± a , m//3,则a，3.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知两点A（—1,3）, B（3,1）,当C在坐标轴上，若/ ACB= 90° ,则这样的点C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.三视图如图所示的几何体的全面积是（）A. 2+ 2B. 1+ 2C. 2+ 3D. 1+ 36.已知圆心为(2, — 3), 一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是(A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x-2)2+(y+3)2=21C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=527.如右图，在正四棱柱ABCD- ABC1D1中，E、F分别是AB i、BG的中点，则以下结论中不成立的是( )A. EF与BB i垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A i C i异面8.过圆x2+y2=4上的一点（1,3）的圆的切线方程是（）A. x+S y-4=0B. \l"3x — y= 0C. x+M=0D. x-黄y—4=09.若x、y 满足x2 + y2—2x+4y—20=0,则x2+y2的最小值是（）A.器-5B. 5-V5C. 30— 10 5D.无法确定10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴者B相切，则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-7)2=13B.(x—2)2+(y—1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=13 2 2D.x—2 +(y—1) = 111.设r>0,两圆(x—1)2+(y+3)2=r2与x2+y2= 16 可能( )A.相离B.相交C.内切或内含或相交D,外切或外离12. 一个三棱锥S— ABC的三条侧棱SA、SR SC两两互相垂直，且长度分别为1,水, 3,已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 16 兀B. 32 兀C. 36 兀D. 64 兀二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知11：2x+my+1 = 0与12：y=3x- 1,若两直线平行，则m的值为14.如图所示，已知ABL平面BCD, BC± CD,则图中互相垂直的平面有15.已知直线5x+ 12y+a= 0与圆x2 —2x+y2= 0相切，则a的值为.16.过点P(1,/)的直线l将圆C: (x—2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)已知△ ABC中，/ ACB= 90° ,SAL平面ABC, AD± SC.求证：AD,平面SBC.AC 边上的高线 BH 所在直线方程为 x- 2y —5= 0,求⑴顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.19. (12分)已知点P(0,5)及圆 得的线段长为4、/3,求l 的方程.18. (12分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0, C: x2+y2+4x-12y + 24=0,若直线l 过点P 且被圆C 截20.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S=2TT rl,其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R, 高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？.(12分)如图，长方体ABO ABC1D1中，AB= AD= 1, AA1=2,点P为DDi的中点. 求证：(1)直线BD1//平面PAC;(2)平面BDDi,平面PAC;(3)直线PB，平面PAC.22.(12 分)已知方程x2 + y2—2x—4y+m= 0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x+ 2y—4= 0相交于M、N两点，且OM，ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.模块综合检测(B)答案1. D [由三视图知该几何体为半径为R的球，知V= 47t R3.] 32. A3. C [①中m与n可能相交，也可能异面，・•.①错误.]4. C [由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点.以AB为直径的方程是(x+1)(x-3) + (y-3)(y-1)=0,令x= 0,解得y= 0 或4;令y = 0,解得x= 0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0), (0,4), (2,0).]5. A [由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示.故全面积S= 2+ 2J2.]6. C [该圆过原点.]7. D [连接AB, .. E是AB i 中点，・•. EC A1B,，EF是△A i BC i 的中位线，EF// AiO,故D不成立.]8. A [过圆x2+y2= r2上一点(x o, y0)的切线方程为x o x+ y o y=r2.]9. C [配方得(x—1)2+(y+2)2 = 25,圆心坐标为(1, —2),半径r = 5,所以"27了的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即 5 —、/5,故可求x2+y2的最小值为30—10\/5.]10.B [设圆心为(a, b),由题意知b=r=1,」|4a-3| p - -1.= ^2—又. a>0,…a= 2,，圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2= 1.]11.C [由于点(1, —3)在圆x2+y2=16内，所以内切或内含或相交. ]12.A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4.，球半径为2, S球=4TI R2=16兀.]13.14. 平面 ABD ，平面 BCD,平面 ABC ，平面BCD,平面 ABC ，平面 ACD.15. 8 或—1816.解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为17. 证明 •. /ACB= 90° , .BC±AC. 又SAL 平面ABC, BC 平面ABC, • .SAL BC,又 SAP AC=A, 「•BC ，平面 SAC. . AD 平面 SAC, BC± AD.又 SC AD, SCn BC= C, SC 平面 SBC, BC 平面 SBC, ADJ 面 SBC.18 .解(1)由题意，得直线 AC 的方程为 2x+ y — 11 = 0.得点C 的坐标为（4,3）.、“m+ 5(2)设 B(m, n), M ,n+ 1于是有 m + 5 — 2— — 5=0,即 2m —n —1 = 0 与 m —2n — 5= 0 联立, 解得B 点坐标为(—1, — 3), 于是有 I BC ： 6x-5y-9= 0.19 .解解析I5M + 12X0+a| .52+ 1221,解得a= 8或—18.2x — y — 5= 02x+ y- 11 = 0n+ 1 2r 因为R= H-x所以r= R一—•x.H如图所示，|AB|= 4木,设D是线段AB 的中点，则CD± AB,，|AD|= 25，|AC|= 4. 在Rt^ACD中，可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：v— 5=kx,即kx—y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：| 216^ 5| = 2,得k = 3,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.,'k + 1 4又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0.，所求直线l的方程为x=0或3x—4y+20=0.20.解（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（如图所示）.设所求圆柱的底面半径为r,它的侧面积S圆柱侧=2 71rx.所以S 圆柱侧= 2 兀Rx—(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值.H这时圆柱的高x= 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.21.证明(1)设ACn BD= O,连接PO,在4 3口口中，•••P、O分别是DD1、BD的中点，PO// BD1,又PO 平面PAC, BD1 /平面PAC,・・・直线BD1//平面PAC.(2)长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB=AD= 1,「•底面ABCD是正方形，AC± BD.又DDL平面ABCD, AC 平面ABCD,AC± DD i,又BDA DDi= D, BD 平面BDDi,DDi 平面BDDi, •. AC,平面BDDi,. AC 平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi.(3)「PC2=2, PB2=3, B i C2=5,・•.PC2+ PB2=B i C2, APB i C是直角三角形，PB i^PC.同理PB iX PA,又PAn PC= P, PA 平面PAC,PC 平面PAC, •,・直线PBi,平面PAC.22.解(i)(x—i)2+(y —2)2=5—m, .. m<5.(2)设M(x i, y i), N(x2, y2),则xi=4 — 2yi, x2=4 — 2y2,则x i*= i6—8(y i+y2) + 4y i y2.OMXON, x i x2+ y i y2= 0.&知识就是力量&•• i6 — 8(y i+y?) + 5y[y2= 0 ①x= 4— 2yx2+ y2— 2x— 4y+ m= 0得5y2— 16y+ m + 8 = 016 8+myi + y2 = —, yiy2=-.5 5,.、一8代入①得，m=-.5(3)以MN为直径的圆的方程为(x— x i)(x — X2)+ (y — y i)(y — y2)= 0即x2+ y2—(x i + x2)x— (y i+ y2)y= 0「•所求圆的方程为x2+ y2—_x——y=0.5 5。
北师大高中数学必修二综合质量检测1 含解析
综合质量检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[解析] 由直线方程可知，直线的斜率k ＝－33，由tan α＝－33，且0≤α<π可得α＝5π6.[答案] D2．直线l 1∥l 2，在l 1上取3个点，在l 2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( )A ．5B ．4C ．9D ．1[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．[答案] D3．直线l 1：y ＝kx ＋b 和直线l 2：x k ＋yb ＝1(k ≠0，b ≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为( )[解析] 在D 中，k >0，b >0，且两直线都过点(0，b )，适合l 1，l 2的方程．[答案] D4．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135[解析] 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝3234，则这个棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.[答案] A5．已知α、β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 ( )A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α， 又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为l β，所以l ∥β，即①③⇒②； 因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n ， 又因为l ⊥α，所以n ⊥α又因为n β，所以α⊥β，即①②⇒③. [答案] A6．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．2 5D.655[解析] 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.[答案] D7．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.[答案] C8．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3B.38πR 3C.525πR 3D.58πR 3[解析] 依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为R 2，高为32R ，所以圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22×32R ＝324πR 3.[答案] A9．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是 ( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 [解析]解⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37即直线l 1、l 2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.[答案] C10．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A.5－5 B ．5－ 5 C ．30－10 5D ．无法确定[解析] 设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上一点．配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.所以x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，所以要使x2＋y2最小，则线段PO最短．如图，当点P，O，C 在同一直线上时，|PO|min＝|PC|－|OC|＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x2＋y2)min＝30－10 5.[答案] C11．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为()A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26π[解析] 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π. [答案] C12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 因为y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎨⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.[答案] B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为平面ABC 外一点，且P A ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的位置关系是________．[解析] ∵P A ＝PB ＝PC ，∴P 在△ABC 所在平面上的射影必落在△ABC 的外心上．又外心在BC 上，设为O ，则PO ⊥平面ABC .又PO平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .[答案] 垂直14．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. [答案] 2＋π215．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[解析] 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，b －1a －2＝－1，|a －b －1|2＝r解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0，r ＝2所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.[答案] (x －3)2＋y 2＝216．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．[解析] 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联系①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)． [答案] (2,4)三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个直角梯形的上底、下底、高的比为1∶2∶3，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．[解] 如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为x 、2x 、3x (x >0)，则母线长l ＝(2x －x )2＋(3x )2＝2x ，∴S 上底面＝πx 2，S 下底面＝π(2x )2＝4πx 2，S 侧＝π(x ＋2x )·2x ＝6πx 2， ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为1∶4∶6. 18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，且l 1与l 2互相垂直； (2)直线l 1与l 2平行，且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，① 即a 2－a －b ＝0. 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，即a b ＝1－a ，b ＝a 1－a.∴l 1和l 2的方程可分别表示为(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0和(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0.∵坐标原点到l 1和l 2的距离相等， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4(a －1)a ≠a 1－a ，4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23.因此⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.19．(本小题满分12分)如下图所示，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ⊥平面ABC ，且AE ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ，且BD ＝CD ，BD ⊥CD .(1)求证：AE ∥平面BCD ； (2)求证：平面BDE ⊥平面CDE .[证明] (1)取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2.所以DM ＝1，DM ⊥BC ，AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM ，又因为AE 平面BCD ，DM平面BCD ，所以AE ∥平面BCD .(2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE ∥AM .由(1)已证AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD平面BCD ，所以DE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .20．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线x －y ＋22＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，33的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程．[解] (1)由题意知，圆心到直线x －y ＋22＝0的距离 d ＝2212＋(－1)2＝2＝r ，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率不存在，直线l 为x ＝1，此时直线l截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线为y－33＝k(x－1)，即3kx－3y＋3－3k＝0，由题意知，圆心到直线l的距离为d＝|3－3k|9k2＋9＝1，所以k＝－33，则直线l为x＋3y－2＝0.所以所求的直线l的方程为x＝1或x＋3y－2＝0.21．(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD 中，P A⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC 上一动点．(1)求证：BD⊥FG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．[解](1)证明：∵P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD、AC交于点E，∴P A ⊥BD ， 又∵AC ⊥BD ， P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC ， ∵FG平面P AC ，∴BD ⊥FG .(2)当G 为EC 的中点，即AG ＝34AC 时，FG ∥平面PBD ，理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE 而FG平面PBD ，PE平面PBD ，故FG ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4，设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105， |PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
高中数学 模块综合测评(A)(含解析)北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
模块综合测评(A )(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x 3－y3＝1的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°A [由x 3－y 3＝1，得该直线的斜率k ＝33，故倾斜角为30°.]2．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3 D.11B [点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的投影为B (0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13.]3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )B [设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧y ′－bx ′－a×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.]4．已知M ，N 分别是正方体AC 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，如图是过M ，N ，A 和D ，N ，C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )B [由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.]5．若{(x ，y )|ax ＋2y －1＝0}∩{(x ，y )|x ＋(a －1)y ＋1＝0}＝∅，则a 等于( ) A.32B ．2C ．－1D ．2或－1 B [依题意，两直线平行．由a (a －1)－2×1＝0，得a 2－a －2＝0，a ＝2或－1.又当a ＝－1时，两直线重合，故选B.]6．已知m 是平面α的一条斜线，点A ∉α，l 为过点A 的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A ．l ∥m ，l ⊥αB ．l ⊥m ，l ⊥αC ．l ⊥m ，l ∥αD ．l ∥m ，l ∥αC [如图，l 可以垂直m ，且l 平行α.]7．已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则直线BD 与AC ( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定A [过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，连接BO ，CO 并延长分别交CD ，BD 于F ，E 两点，连接DO .因为AB ⊥CD ，AO ⊥CD ，所以CD ⊥平面AOB ，所以BO ⊥CD ， 同理DO ⊥BC ，所以O 为△BCD 的垂心，所以CO ⊥BD ， 所以BD ⊥AC .故选A.]8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( ) A ．4 B.433C. 6D ．2A [由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的， ∴底面积S ＝6×12×2×3＝63，∴体积V ＝13Sh ＝12，∴h ＝36S ＝3663＝23，在直角三角形SOB 中， 侧棱长为SB ＝OB 2＋h 2＝4＋12＝4.故选A.]9．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )A ．(0°，30°]B ．(0°，60°]C ．[0°，30°]D ．[0°，60°]D [如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值X 围是[0°，60°]．选D.]10．若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0A [设圆心为C ，其坐标为(1,0)．则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)， 即x －y －3＝0，故选A.]11．过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x ＋4y －7＝0B ．3x －4y ＋25＝0C ．3x －4y ＋4＝0D ．3x －4y ＝0C [先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝⎛⎭⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.]12.若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值X 围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，43B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]D [曲线y ＝－1－(x －2)2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．3[设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.]14．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______．1[如图，由条件，易判断EH 綊FG 綊12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF 綊GH 綊12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.]15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．254[由题意知，点A 在圆上，切线斜率为－1k OA ＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254.]16．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直于底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．①CC 1与B 1E 是异面直线； ②AC ⊥平面ABB 1A 1；③AE 与B 1C 1是异面直线，且AE ⊥B 1C 1； ④A 1C 1∥平面AB 1E .③[①中，直线CC 1与B 1E 都在平面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直； ③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．[解]设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.18．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．[解]由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意． 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程．19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，且P A ⊥AC ，P A ＝3，BC ＝4，DF ＝52.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .[证明] (1)∵在三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，∴DE ∥P A . ∵DE平面DEF ，P A平面DEF ，∴直线P A ∥平面DEF .(2)∵DE ∥P A ，P A ⊥AC ，P A ＝3，∴DE ⊥AC ，且DE ＝12P A ＝32.∵E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BC ＝4，∴EF ＝12BC ＝2.∵DF ＝52，∴DE 2＋EF 2＝DF 2，∴DE ⊥EF .又EF ∩AC ＝E ，EF ，AC 平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC .∵DE平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC .20．(本小题满分12分)已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．[解] (1)设圆A 的半径为r ，因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，所以r ＝|－1＋4＋7|5＝25，所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)设Q 是MN 的中点，所以AQ ⊥MN ，所以|AQ |2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2＝r 2，又因为|MN |＝219，r ＝25，所以|AQ |＝20－19＝1.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2，此时有|AQ |＝|－2－(－1)|＝1，即x ＝－2符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，所以|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，所以此时直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所得，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[证明] (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.22．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|P A|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．[解](1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16.当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，∴|QM|最小＝4.。