导与练普通班2017届高三数学一轮复习第七篇不等式第1节不等关系与不等式基丛点练理
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式 理-人教版高三全册数学试题
第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式 理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >0⇒ac >bc注意c 的符号⎭⎪⎬⎪⎫a >b c <0⇒ac <bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若a b>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ×) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.(√) (6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b 答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立， 即1a －b >1a不成立．2．(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.故选D.4．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________． 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析 由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴－a 2<a 2<－a .5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 (1)B (2)B解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1 ＝a 1(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 答案 (1)B (2)a <b 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0， ∴A ≥B .(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有() A ．①② B．②③ C．①④ D．③④ 答案 (1)A(2)C解析 (1)由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②③ B．①②④ C ．①③④ D．②③④ 答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值X 围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值X 围是________，3x ＋2y 的取值X 围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将例4条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值X 围． 解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0， 故x －y 的取值X 围为(－4,0)．2．若将例4条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值X 围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值X 围为(－32，232)．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． (2)求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值X 围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B．①② C ．②③ D．①②③ 答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．7．利用不等式变形求X 围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值X 围是________． 错解展示解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12， 又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③ ②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0， 又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12， ∴f (－2)的取值X 围是[3,12]． 答案 [3,12] 现场纠错 解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝a －b ，f1＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]，b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得 在求式子的X 围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致X 围扩大.1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d 答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．(2016·某某模拟)若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值X 围是( )A ．9≤c ≤18 B．15<c <30 C ．9≤c ≤30 D．9<c <30 答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a2，∴9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇏ (a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值X 围是() A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6)C ．(0，π) D．(－π6，π)答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.6．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b 成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( )A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b 2<a答案 C 解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立．9．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＝b >c解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ，又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c ，故a ＝b >c .12．设a >b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c 2，y ＝b 2＋c ＋a 2，z ＝c 2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x .*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一X 全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
新课标高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件文
C．ab>a>ab2
D．ab>ab2>a
解：由于每个式子中都有 a，故先比较 1，b，b2 的大小．因为－1<b<0，所以 b<b2<1.又因为 a<0，所 以 ab>ab2>a.故选 D.
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1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等 式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在 运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注 意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和 “充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后 者一般是解不等式的理论基础．
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4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意： “同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变 形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的 方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系， 再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
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点 拨： 作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配 方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符 号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
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已知 a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的
是( )
A．a>ab>ab2
B．ab2>ab>a
则另一边长为302－x m，即15－2x m，
0＜x≤18，
0＜x≤18，
根据题意知x15－2x≥108. 故填x15－x2≥108.
高考数学大一轮总复习 第七章 第1讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式 理
所以1－1 a＞1＋a,1＋a≥2 a，
等号成立时
a＝1
故等号不能成立， 精品课件
所以 1＋a＞2 a， 所以 B 中结论正确，排除 B； 2(a2＋b2＋ab＋1)－2(a＋b)＝(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1) ＋(a2＋2ab＋b2)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(a＋b)2≥0， 若取等号，则 a－1＝0，b－1＝0，a＋b＝0 同时成立， 显然不成立，所以等号取不到， 所以 a2＋b2＋ab＋1＞a＋b，D 中结论对，故排除 D. 答案：C
系为( A )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不能确定
精品课件
解析：因为 x＞1，所以 M－N＝x3＋2x＋1－(x＋1)2＝x2(x －1)＞0，即 M＞N，故选 A.
精品课件
3. 下列命题中，为真命题的是( C )
A．a，b∈R，且 a>b，则 ac2>bc2 B．a，b∈R，且 ab≠0，则ab＋ba≥2 C．a，b∈R，且 a>|b|，则 an>bn(n∈N*) D．若 a>b，c>d，则ac>bd
精品课件
第1讲 不等关系与不等式的性质、 基本不等式
精品课件
b，c∈R，且 a＞b，则( D )
A．ac＞bc
B.1a＜1b
C．a2＞b2
D．a3＞b3
精品课件
解析：对于 A，B，C 可举出反例，对于 D 利用不等式 的基本性质即可判断出．
精品课件
2. 已知 x＞1，则 M＝x3＋2x＋1 与 N＝(x＋1)2 的大小关
精品课件
【思路点拨】对选项 A 可利用余弦函数在(0，π2)上的 单调性，选项 B 可利用基本不等式的性质，不等式作差比 较，最终得到答案．
高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第一节 不等关系与不等式课件 理
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b ⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
[小题纠偏] 1．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；②|a|＋b>0；③a
第七章 不等式
第一节 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔ a>b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a<b .
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c > b＋c； a>b，c>d⇒a＋c > b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；
(5)可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a>b>0⇒n a > n b(n∈N，n≥2)．
[小题体验] 1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；
－1a>b－1b；④ln a2>ln b2中，正确的序号是______．
解①<a1法 显 因中析b④ 可，二 然 为：，中 得即a：|法因，ab＋①因 l所|1＋ 2n因为一因>b正为 以bab＝为：a为22＝＝＋>④确l－ 1a由0n1<blb，错 ；n－1 误0－＝2<01b，＝a，0．1<2lybn，)a0＝－＝2故(b，＝－根>l112可n0可l<，1据n，0)x取2知此，4＝在所y>ab＝时所00其＝以<，，x①以a定－2<a在正 ②0＋义11.，(错 确b－域b误 ；<∞上＝0；，，为－0增2a1).b上函>为数0，减，故函有数，a＋1 b ②故因中②所 由为，错以 以因误上aln综－为；分b上1a2b析＝><所ln，a－述<a知102，－， ，①②－故所③1④1④以正＝错错－确0误，误b．>，．－①a>③0，正则确－．b>|a|，即|a|＋b<0， ③b中－，1b＝因答－为案2b－<：a－①<102③，＝又－1a32<，1b<所0以，③所正以确a－；1a>b－1b，故③正确；
高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件
4.(2013浙江文,10,5分)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:
a∧b=
a, a b, a
b, b,
a∨b=
b, a a, a
b, b.
若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则 ( )
A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2
C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2
答案
A
当x∈[0,1]时,若f(x)>0,则满足
f f
(0) b 0, (1) a b
0,
所以a+2b>0,故充分性成立;取a=4,b=-1,
则a+2b>0,但不满足f(x)>0在区间[0,1]上恒成立,故必要性不成立,故选A.
2.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,2)若a,b为实数,则“3a<3b”是“a<b+1”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得 0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3, 由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①, 由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②, 由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3, 即6<c≤9,故选C.
高考数学 (浙江专用)
第七章 不等式
§7.1 不等关系与不等式
【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与一元二次不等式课件 文 北师大版
������ > ,则 a>b ������
1 ������ 1 ������
关闭
当 c=0 时,可知 A 不正确;当 c<0 时,可知 B 不正确;由 a3>b3 且 ab<0 知 a>0 且 b<0, 1 1 关闭 所以 > 成立,C 正确;当 a<0 且 b<0 时,可知 D 不正确.
������ ������
关闭
解析
答案
-18考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混
考点2不等式的性质及应用 例2(1)(2015广东汕头模拟)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的 大小关系是( ) A.a2>a>-a2>-a B.a2>-a>a>-a2 C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a
-4-
1.两个实数比较大小的方法
������-������ > 0⇔������ > (1)作差法 ������-������ = 0⇔������ = ������-������ < 0⇔������ < (2)作商法
������ ������ ������ ������ ������ ������
关闭
D 解析 答案
-22考点1 考点2 考点3 考点4 知识方法 易错易混
(2)(2015西宁二模)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(
)
A.若 a>b,则 ac 2>bc 2
������ B.若 ������ 1 C.若 a >b 且 ab<0,则 > ������ 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < ������
高三数学总复习导与练 第七篇第一节配套课件（教师用） 理
2．实数比较大小的常用方法 (1)作差法：a，b∈R a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b. (2)作商法：a，b∈R＋ ab＞1⇔a＞b； ab＝1⇔a＝b； ab＜1⇔a＜b.
作商法的适用范围较小，且限制条件较多，因而用的较少，一般问题可以 利用作差法比较大小．
(3)分母(分子)有理化 形如： a＋1－ a与 a－ a－1比较大小． (4)根据不等式的基本性质或常用结论进行比较． (5)利用函数的单调性比较大小．
解：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，则
40x＋90y≤1000，
x≥5， y≥6， x，y∈N*，
4x＋9y≤100，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式时，应注意关键性的文字语言 与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等．
解：(1)因未知 c 的正负或是否为零，无法确定 ac 与 bc 的大小，所以是假命题． (2)因为 c2≥0，所以只有 c≠0 时才正确．c＝0 时，ac2＝bc2，所以是假命题． (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2，命题是真命题．
(4)由 a<b<0⇒1a>1b，命题是真命题．
根据不等式的性质求范围时，一定要彻底利用不等式的性质进行变形求解，如不等 式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负，同向不等式只能相加，不能相 减等．同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性．
通过f(－1)，f(1)求f(－2)的范围时，不能把a，b的范围单独求出来，这样容易扩大范 围，必须用整体思想来处理．
第1节 不等关系与不等式
2017届高三理科数学一轮复习课件：第七篇 第1节 不等关系与不等式
a 1
b 1
a 1 b 1
=m2
a
a
1
b
b
1
=m2·
ab 1 ba 1 a 1b 1
=m2·
a
ba
1b
1
,
当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,m2>0,
又 a>b>1,
所以 f(a)<f(b),
即 f(a)≤f(b).故选 C.
第二十三页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
配方等方法把差变成积或者完全平方的形式.当两个式子都含有开方运算时,可以 先乘方再作差. (2)作商法
一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. 作商比较大小时,要注意分母的符号避免得出错误结论. (3)特值法 对于选择题可以用特值法比较大小.
第二十五页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
ab
ab
ab
因为 a<0,b<0,所以 a+b<0,ab>0,
若 a=b,则 p-q=0,此时 p=q,
若 a≠b,则 p-q<0,此时 p<q,
综上 p≤q.故选 B.
答案:(1)B
第二十六页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
(2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为
.
解析: (2) a = 1816 = ( 18 )16 1 =( 9 )16( 1 )16=( 9 )16,
第十一页，编辑于星期六：一点 十八分。
数学
3.(2015 保定校级期末)若 P= a 2 + a 5 ,Q= a 3 + a 4 (a≥0),则 P,Q 的大小关系为( C ) (A)P>Q (B)P=Q (C)P<Q (D)由 a 的取值确定
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式 文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1不等关系与不等式 文1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b⇔a <b (ab ≠0)．( × )(3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x.因此⑤不恒成立．由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab1＋a 1＋b>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为____________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 (1)c ≥b >a (2)c <b <a解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________． 答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列关系式中一定成立的是________． ①ab >ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2④ac (a －c )>0 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________． 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确．方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为__________．答案①②③解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立．思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是________．①1a－b>1b②a2<ab③|b||a|<|b|＋1|a|＋1④a n>b n(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②a c<b c；③log b(a－c)>log a(b－c)．其中所有正确结论的序号是________．答案(1)③(2)①②③解析(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确；③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立． (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，∴c a >cb，知①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分， 当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b⇒1a >1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________． 答案xyz >xy >zx >yz解析 取特殊值法，由x >y >z >1， 可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2.故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________． 答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B . 3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是________． ①1a －b >1a ②1a >1b③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件． 答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是____________． 答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是__________． 答案 M >N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋ b ＋c 2，y ＝b 2＋ c ＋a 2，z ＝c 2＋ a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 2 2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝ v 1＋v 2 24v 1v 2≥ 2v 1v 2 24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________． ①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c ，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b .答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a－(1＋a 2) ＝－a a 2＋a ＋1 1＋a＝－a [ a ＋12 2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a a 2－a －1 1－a ＝a [ a －122－54]1－a . ∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
高考数学一轮复习第七章不等式第1节不等关系与不等式科市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
)
(3)同向不等式具有可加和可乘性．(
)
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(4)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.(
)
(5)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
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2．若 a<0，ay>0 且 x＋y>0，则 x 与 y 之间的不等关系是
(
)
A．x＝y
具体步骤是：作差——变形——判断 当 ab≤0 时不成立．
(与 0 比较)． 3．判断不等式是否成立，一般可利用
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(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则： ①ba<ba＋ ＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． ②ab>ab＋ ＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
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1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)若ab>1，则 a>b.(
)
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(
∴ac的取值范围为(0,2)，故选 B.
[答案] B
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2．(2016·保定统测)已知 2≤x≤3,6≤y≤9，则32xy的取值 范围是________．
[解析] ∵2≤x≤3，∴6≤3x≤9， 又∵6≤y≤9，∴12≤2y≤18，∴118≤21y≤112. ∴13≤32xy≤34. [答案] 13，34
)
A．(1，＋∞)
B．(0,2)
C．(1,3)
D．(0,3)
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[解析] 由已知及三角形三边关系得
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第七篇不等式(必修5)
第1节不等关系与不等式
基础对点练(时间:30分钟)
1.已知a>b,c>d,且c,b不为0,那么下列不等式成立的是( D )
(A)ab>bc (B)ac>bd
(C)a-c>b-d (D)a+c>b+d
解析:由同向不等式的可加性知选D.
2.(2015漳州二模)如果a>b,则下列各式正确的是( D )
(A)a·lg x>b·lg x(x>0) (B)ax2>bx2
(C)a2>b2 (D)a·2x>b·2x
解析:两边相乘的数lg x不一定恒为正,选项A错误;不等式两边都乘以x2,它可能为0,选项B错误;若a=-1,b=-2,不等式a2>b2不成立,选项C错误.选项D正确.
3.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( B )
(A) -,(B) -,0
(C) 0,(D) -,0
解析:因为角α,β满足-<α<β<π,
所以-π<-β<,α-β<0,
所以-<α-β<0.
4.若a<b<0,则以下结论正确的是( C )
(A)a2<ab<b2(B)a2<b2<ab
(C)a2>ab>b2(D)a2>b2>ab
解析:法一由a<b<0得
即
所以a2>ab>b2.
故选C.
法二由a<b<0得a-b<0,
则a2-ab=a(a-b)>0,
即a2>ab,ab-b2=b(a-b) >0,即ab>b2,
因此a2>ab>b2.
故选C.
5.设a>1,且m=log a(a2+1),n=log a(a-1),p=log a (2a),则m,n,p的大小关系为( B )
(A)n>m>p (B)m>p>n>
(C)m>n>p (D)p>m>n
解析:令a=2,则m=log25>2,n=log21=0,p=log24=2.
6.(2015广州二模)已知a>b>0,则下列不等关系中正确的是( D )
(A)sin a>sin b (B)log2 a<log2 b
(C)< (D)()a<()b
解析:A错误,比如取a=π,b=;B错误,由函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增可得log2a>log2 b;C错误,由函数y==在[0,+∞)上单调递增可得>;D正确,由函数y=()x在R上单调
递减可得()a<()b.故选D.
7.(2014高考浙江卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( C )
(A)c≤3 (B)3<c≤6 (C)6<c≤9 (D)c>9
解析:由题目条件可知,
整理得
解得a=6,b=11.
所以f(-1)=c-6.
所以0<c-6≤3.
所以6<c≤9.
故选C.
8.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面1.2元的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买2套,则买票面 1.2元的x套与买票面2元的y套应满足的条件为.
解析:票面1.2元的每套1.2×5=6元,票面2元的每套2×4=8元,则由题意可得,x,y应满足的条件如下:
即
答案:
9.(2015南昌校级月考)若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系
是.
解析:因为a≥0,所以P2-Q2=(+)2-(+)2=2-2<0.
答案:P<Q
10.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为
.
解析:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),
则解得
因为-<(a+b)<,
-2<-(a-b)<-1,
所以-<(a+b) -(a-b)<,
即-<2a+3b<.
答案: (-,)
能力提升练(时间:15分钟)
11.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( A )
(A)a+>b+ (B)>
(C)a->b- (D)>
解析:因为a>b>0,所以0<<,
所以a+>b+.
12.已知<<0,给出下列不等式:
①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中,正确的不等式是( C )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
解析:因为<<0,所以b<a<0.
①因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,所以<成立,故①正确;
②因为b<a<0,所以-b>-a>0,则-b>|a|,即|a|+b<0.故②错误;
③因为b<a<0,且<<0,所以a->b-,故③正确;
④因为b<a<0,所以b2>a2,所以ln b2>ln a2.故④错误.
故正确的是①③.
13.对于实数a,b,c,d有下列命题:
①若a>b,则ac<bc;
②若ac2>bc2,则a>b;
③若a>b,c>d,则a-c>b-d;
④若c>a>b>0,则>;
⑤若a>b,>,则a>0,b<0.
其中真命题是(把真命题的序号写在横线上).
解析:若c≥0,则①不成立;
由ac2>bc2知c2≠0,则c2>0,a>b,②正确;
如5>4,3>1,而5-3<4-1,故③不正确;
由c>a>b>0,得0<c-a<c-b,
所以>,
所以>,④正确;
由>,得-=>0,
因a>b,所以b-a<0,
所以ab<0,
所以a>0,b<0,⑤正确.
答案:②④⑤
14.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
解:设该单位职工有n人去参观学习(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元.则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.所以y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x(1-).当n=5时,y1=y2;当n>5
时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费同等优惠;当单位去的人数多于5人时,甲车队收费更优惠;当单位去的人数少于5人时,乙车队收费更优惠.
精彩5分钟
1.(2016西城区一模)已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( A ) (A)2枝玫瑰的价格高(B)3枝康乃馨的价格高
(C)价格相同 (D)不确定
解题关键:先列出不等关系,再利用整体法求解出目标与已知范围的关系,进而比较得结果. 解析:设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别为x,y元,
由题意可得化为
设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)
=(2m-n)x+(m-n)y,
令
解得m=5,n=8,
所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8-5×8=0,
因此2x>3y,
所以2枝玫瑰的价格高.
2.(2015临沂校级月考)设a>b>0,m=,n=-,则m,n的大小关系是m n.(选
“>”“<”或“=”)
解题关键:两个非负数比较大小,可以先平方,再比较两个数平方的
大小.
解析:因为a>b>0,所以>,>0,
所以m2-n2=a-b-(a+b-2)=2-2b>2-2b=0,
所以m2>n2,又m>0,n>0,
所以m>n.
答案:>。