西安交大2007研究生数理统计试题

西安交通大学研究生课程考试题（数理统计2007）
附表：
标准正态分布的分布函数值：(1.96)0.9750Φ=
t 分布的上侧分位数： 2χ分布的上侧分位数：
F 分布的上侧分位数：0.025(9 9) 4.03F =，，0.05(2 12) 3.89F =，。

一．
填空题（本题分值为30） (1)
设
1,,n
X X 为i.i.d.，其含义
是 。

(2)
设~(0,1)U N ，若有{}P U c α<= (01)α<<，则c= （用
(0,1)N 分布的上侧分位数符号表示）。

(3)
设11,,,,,n n n m X X X X ++ 为正态总体2(0,)N σ的样本，若要
21
21
~(,)n
i i n m
i
i n X
a
F b c X
=+=+∑∑
则a = ，b = ，c = 。

(4) 写出估计参数最常用的三种方法：
， ， 。

(5)
若参数假设问题0011::H H θθΘΘ∈↔∈的拒绝域为W ，则该检验犯第I 类错误的概率1p = ，犯第II 类错误的概率2p = 。

二．（本题分值为12）已知总体X 的概率密度函数为
1112221
1exp ,(;,) 0, x x f x x θθθθθθθ⎧⎧⎫
-->⎨⎬⎪
=⎨⎩⎭
⎪<⎩，12(,0)θθ-∞<<+∞>
设1,,n X X 是总体X 的样本，求未知参数12,θθ的矩估计。

五．（本题分值为12）
（1）完成下列方差分析表中欠缺的项目：
（3）由上述方差分析表，检验各组均值是否有显著差异(0.05)α=？
（4）已知在因素的每一水平上进行等重复试验，且算得187.2x =，255.4x =，求
12μμ-的95%置信区间
六．（本题分值为6）假设(,)i i x y 满足线性回归关系：
i i i y a bx ε=++， （1,,i n = ）
其中1,,n εε 为i.i.d.且21~(0,)N εσ，1,,n x x 不全相同，试用极大似然法估计参数,a b 。

七．（本题分值为6）设1,,n X X 是取自2(0,)N σ的样本，其中0σ>为未知参数。

（1）问1
1n
i i X n σ==∑是否为σ的无偏估计？（若认为是σ的无偏估计，请给出证明；
若认为不是，对它作适当的修正，给出σ的无偏估计。

） （2）针对（1）的讨论结果，求σ的无偏估计的（有）效率。

八．（本题分值为5）设~(,1)X N μ，其中μ为未知参数，()F x 为X 的分布函数。

又
设常数c 满足等式：()0.975F c =。

先从总体X 抽取一个样本，算得 3.04x =，求c 的极大似然估计值。

九．（本题分值为5）设1,,n X X 为取自总体X 的样本，已知总体X 的分布函数()F x
为连续函数，证明(1)()~(1,)F X n β，其中(1)X 是第一顺序统计量（已知(1,)n β分
布的概率密度为1(1), 01
(;1,) 0, n n x x f x n -⎧-<<=⎨⎩其他
）。

试卷清晰度较差，部分数据可能有误，自己看着参考。

若我看错了，忘见谅！。