广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试卷及答案
2021年广东省韶关市高考数学综合测试试卷(一模)(解析版)
2021年广东省韶关市高考数学综合测试试卷（一模）一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题p：x2﹣x﹣2＜0是命题q：0＜x＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ+μ，则λ﹣μ的值是（）A．1B．C．D．4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t）＝101+25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（）A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（）A．B．C．D．6．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则a9＝（）A．﹣10B．10C．﹣45D．457．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分8．已知函数f（x）＝ln（e x+1）﹣x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b二、多项选择题（共4小题）.9．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c（c＞0），若∠F1PF2是直角，则（）A．|OP|＝c（O为原点）B．C．△F1PF2的内切圆半径r＝a﹣cD．|PF1|max＝a+c10．如图所示，点P是函数f（x）＝（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，且＝0，则（）A．B．ω＝1C．D．11．设a，b为正数，若直线ax﹣by+1＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截得弦长为4，则（）A．a+b＝1B．2a+b＝1C．D．12．如图三棱锥P﹣ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，则（）A．球心到平面PBC的距离是B．球心到平面ABC的距离是C．球的表面积是D．球的体积是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝（结果用区间或集合表示）．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，a6+a7＝1，则S12＝，若a7＜0，则使得不等式S n＜0成立的最小整数n＝．15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有种（结果用具体数字表示）．16．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝e x存在公切线，则a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①cos C+（cos A﹣sin A）cos B＝0，②cos2B﹣3cos（A+C）＝1，③b cos C+c sin B ＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c＝1，_____，求角B 的值和b的最小值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面CDP，已知PA＝3，PD＝4．（1）若E为PD中点，求证：PB∥平面ACE；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝﹣n2+kn（k∈N*），且S n的最大值为25．（1）求k的值及通项公式a n；（2）求数列{n•2}的前n项和T n．20．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ~N（μ，196），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）．①求μ的值；②若P（ξ＞2a﹣5）＝P（ξ＜a+3），求a的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，若过焦点的直线与C相交于P，Q两点，所得弦长|PQ|的最小值为4．（1）求抛物线C的方程；（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，证明：存在定点N，使得|MN|为定值．22．已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）若x∈（1，+∞）时，方程ae ax﹣2f（x）＝0有两个不等实数根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：+＞1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．已知复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为＝，所以数z在复平面内对应的点为，在第四象限．故选：D．2．命题p：x2﹣x﹣2＜0是命题q：0＜x＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：由x2﹣x﹣2＜0得（x+1）（x﹣2）＜0,得﹣1＜x＜2，∵（0,1）⊊（﹣1,2），∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝λ+μ，则λ﹣μ的值是（）A．1B．C．D．解：＝，所以，所以＝＝＝＝，若＝λ+μ，则，μ＝，λ﹣μ＝．故选：C．4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p（t）＝101+25sin（160πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则下列说法正确的是（）A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值解：p（t）＝101+25sin（160πt），∵﹣1≤sin（160πt）≤1，∴p（t）∈[76，126]，即为收缩压为126，舒张压为76，∵120∈[78，126]，读数120/80mmHg为标准值，∴收缩压高于标准值、舒张压低于标准值，即选项C符合，故选：C．5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（）A．B．C．D．解：假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．设该射手每次射击的命中率为p,∵在两次射击中至多命中一次的概率是，∴1﹣p2＝,解得p＝．∴该射手每次射击的命中率为．故选：C．6．已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则a9＝（）A．﹣10B．10C．﹣45D．45解：（1+x）10＝[﹣1+(2+x)]10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则a9＝•(﹣1)＝﹣10，故选：A．7．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积S＝，则动点P的轨迹是（）A．圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分解：，则，即P到AC1的距离为，则P在空间中的轨迹为一个圆柱面，而由题意P的轨迹是该圆柱被一平面斜截得到的图形，则P的轨迹为椭圆的一部分．故选：D．8．已知函数f（x）＝ln（e x+1）﹣x，若，b＝f（log56），c＝f（log64），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解：因为f（x）＝ln（e x+1）﹣x，所以f（﹣x）＝ln（e﹣x+1）+x＝ln（e x+1）﹣x+＝ln（e x+1）﹣x＝f（x），所以f（x）为偶函数，因为＝，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，因为＝f（log45），b＝f（log56），c＝f（log64），且因为lg4+lg6＞2，故lg4•lg6＜＝＜（）2＝（lg5）2，log45﹣log56＝＝＞0，所以log45＞log56＞1＞log64，则a＞b＞c．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得2分．请把正确选项在答题卡中的相对位置涂黑．9．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，焦距为2c（c＞0），若∠F1PF2是直角，则（）A．|OP|＝c（O为原点）B．C．△F1PF2的内切圆半径r＝a﹣cD．|PF1|max＝a+c解：设|PF1|＝m,|PF2|＝n,|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝90°,所以在直角三角形PF1F2中有m2+n2＝4c2....①,由椭圆的定义可得m+n＝2a....②,联立①②解得mn＝2b2,所以三角形PF1F2的面积为S＝,故B正确；因为OP是斜边F1F2的中线，所以|OP|＝＝c,故A正确；设三角形PF1F2的内切圆半径为r，则S＝b2,所以r＝＝＝a﹣c,故C正确；P为椭圆上的一点，当点P为椭圆的右顶点时，|PF1|max＝a+c,但是此时∠F1PF2≠90°,所以点P不可能为椭圆的右顶点，故D错误，故选：ABC．10．如图所示，点P是函数f（x）＝（x∈R，ω＞0）图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，且＝0，则（）A．B．ω＝1C．D．解：∵,∴,∴△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN,∵,∴MN＝π,∴f(x)的周期为2π，且ω＞0，∴ω＝1，又,∴,．故选：BC．11．设a，b为正数，若直线ax﹣by+1＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截得弦长为4，则（）A．a+b＝1B．2a+b＝1C．D．解：由x2+y2+4x﹣2y+1＝0，得(x+2)2+(y﹣1)2＝4，可得圆心坐标为C（﹣2，1），半径为2，∵直线ax﹣by+1＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截得弦长为4，∴直线过圆心，则﹣2a﹣b+1＝0，即2a+b＝1，又a，b为正数，∴1＝2a+b，可得ab，当且仅当a＝，b＝时取等号．又＝，当且仅当，即a＝b＝时取等号．故选：BCD．12．如图三棱锥P﹣ABC，平面PBC⊥平面ABC，已知△PBC是等腰三角形，△ABC是等腰直角三角形，若AB＝BC＝2，PB＝PC＝，球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，则（）A．球心到平面PBC的距离是B．球心到平面ABC的距离是C．球的表面积是D．球的体积是解：如图，由AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，∴AB⊥平面PBC，取AC中点G，则G为三角形ABC的外心，取BC的中点D，连接GD，则GD∥AB，可得GD⊥平面PBC，设△PBC的外心为H，三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，连接OG，OH，则OH⊥平面PBC，OG⊥底面ABC，可得四边形OGDH为矩形，则O到平面PBC的距离等于OH＝GD＝AB＝1，故A错误；在△PBC中，由余弦定理可得cos∠BPC＝，则sin，设三角形PBC外接圆的半径为r，可得r＝，又PD＝，∴O到底面ABC的距离为2﹣，故B正确；则三棱锥外接球的半径R＝，则球的表面积是S＝4＝，故C正确；球的体积为V＝＝，故D错误．故选：BC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝[1,2)（结果用区间或集合表示）．解：∵A＝{x|x＜2},B＝{x|1≤x≤3},∴A∩B＝[1,2)．故答案为：[1,2)．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，a6+a7＝1，则S12＝6，若a7＜0，则使得不等式S n＜0成立的最小整数n＝13．解：根据题意，{a n}为等差数列，若a6+a7＝1，则S12＝＝＝6，若a7＜0，则S13＝＝13a7＜0，则使得不等式S n＜0成立的最小整数n＝13，故答案为：6，13．15．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有16种（结果用具体数字表示）．解：根据题意，产品①不在A机构测试，则产品①必须在B机构或者C机构测试，若产品①在B机构检测，有C41C33＝4种情况，若产品①在C机构检测，有C42A22＝12种情况，则一共有4+12＝16种情况，故答案为：16．16．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．解：由y＝ax2（a＞0），得y′＝2ax，由y＝e x，得y′＝e x，曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，e x2），则2ax1＝e x2＝，可得2x2＝x1+2，∴a＝，记f（x）＝，则f′（x）＝，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x＝2时，f（x）min＝．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①cos C+（cos A﹣sin A）cos B＝0，②cos2B﹣3cos（A+C）＝1，③b cos C+c sin B ＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c＝1，_____，求角B 的值和b的最小值．解：选择条件①cos C+（cos A﹣sin A）cos B＝0，可得﹣cos（A+B）+cos A cos B﹣sin A cos B＝0，即﹣cos A cos B+sin A sin B+cos A cos B﹣sin A cos B＝0，即sin A sin B﹣sin A cos B＝0，因为sin A≠0，所以sin B﹣cos B＝0，所以tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝，由余弦定理b²＝a²+c²﹣2ac cos B＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac，因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b²＝1﹣3ac≥1﹣＝,所以b≥，即b的最小值为．选择条件②cos2B﹣3cos（A+C）＝1，可得2cos²B﹣1+3cos B＝1，即2cos²B+3cos B﹣2＝0，解得cos B＝或cos B＝﹣2（舍），因为B∈（0，π），所以B＝，由余弦定理b²＝a²+c²﹣2ac cos B＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac，因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b²＝1﹣3ac≥1﹣＝,所以b≥，即b的最小值为．选择条件③b cos C+c sin B＝a，由正弦定理可得sin B cos C+sin C sin B＝sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C sin B＝cos B sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝，由余弦定理b²＝a²+c²﹣2ac cos B＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac，因为ac≤＝，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以b²＝1﹣3ac≥1﹣＝,所以b≥，即b的最小值为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面CDP，已知PA＝3，PD＝4．（1）若E为PD中点，求证：PB∥平面ACE；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：设AC交BD于O，因为ABCD为正方形，所以O为BD中点，连接OE，因为E为PD中点，所以PB∥OE，因为OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．（2）解：因为PA⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以CD⊥PA，又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，过P作PF⊥AD于F，连接BF，又因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥BF，所以∠PBF为直线PB与平面ABCD所成的角，其正弦值为＝＝＝．直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝﹣n2+kn（k∈N*），且S n的最大值为25．（1）求k的值及通项公式a n；（2）求数列{n•2}的前n项和T n．解：（1）S n＝﹣n2+kn＝﹣(n﹣)2+,当k为偶数时，可得n＝时,S n的最大值为,则＝25,解得k＝10成立；若k为奇数，则n＝或时,S n的最大值为﹣()2+k•＝25,该方程无整数解．所以S n＝﹣n2+10n,可得a1＝S1＝9,当n≥2时,a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣n2+10n+(n﹣1)2﹣10(n﹣1)＝11﹣2n,上式对n＝1也成立，故a n＝11﹣2n,n∈N*；（2）n•2＝n•2﹣2n＝,则T n＝+++...+,T n＝+++...+,两式相减可得T n＝++...+﹣＝﹣,化为T n＝﹣．20．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ~N（μ，196），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）．①求μ的值；②若P（ξ＞2a﹣5）＝P（ξ＜a+3），求a的值；（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．【解答】解（1）①由题意得＝60.5，∴μ＝60.5．∵②若P（ξ＞2a﹣5）＝P（ξ＜a+3），则2a﹣5+a+3＝2×60.5，解得a＝41．（2）由题意知P（ξ＜μ)＝P(ξ≥μ)＝，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，P（X＝20）＝×＝，P（X＝40）＝××＝，P（X＝50）＝×＝，P（X＝70）＝××+××＝，P（X＝100）＝××＝，∴X的分布列为：X20405070100P∴E（X）＝20×+40×+50×+70×+100×＝．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，若过焦点的直线与C相交于P，Q两点，所得弦长|PQ|的最小值为4．（1）求抛物线C的方程；（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，证明：存在定点N，使得|MN|为定值．解：（1）设直线PQ的方程为x＝my+,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得y2﹣2pmy+p2＝0,所以y1+y2＝2pm,y1y2＝p2,x1+x2＝my1++my2+＝m(y1+y2)+p＝2pm2+p所以|PQ|＝|PF|+|FQ|＝x1++x2+＝x1+x2+p＝2pm2+2p＝2p(1+m2),当m＝0时，|PQ|min＝2p＝4,解得p＝2,所以抛物线的方程为y2＝4x．(2)设直线AB的方程为x＝ty+s,A(x3,y3),B(x4,y4),因为OA⊥OB，则•＝0，即x3x4+y3y4＝0,又x3＝,x4＝,所以•+y1y2＝0,解得y3y4＝﹣16,联立,得y2﹣4ty﹣4m＝0,所以y3y4＝﹣4m＝﹣16,m＝4,则直线AB的方程为x＝ty+4,所以直线过定点(4,0),记作K点，当K点与M点不重合时，△OMK为直角三角形，∠OMK＝90°，|OK|＝4，当N为OK的中点时，|MN|＝|OK|＝2，当点K与点M重合，N为OK中点时，|MN|＝2，所以存在点N(2,0),使得|MN|为定值2．22．已知函数f（x）＝xlnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）若x∈（1，+∞）时，方程ae ax﹣2f（x）＝0有两个不等实数根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：+＞1．解：（1）f（x）＝xlnx，定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，得0＜x＜，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当x∈（1，+∞）时，ae ax﹣2f（x）＝0，等价于ae ax＝2xlnx，即axe ax＝x²lnx²，即e ax lne ax＝x²lnx²，即f（e ax）＝f（x²），因为x∈（1，+∞）时，lnx＞0，所以a＞0，所以e ax＞1，x²＞1，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以e ax＝x²，两边同时取对数可得ax＝2lnx，a＝，因为方程ae ax﹣2f（x）＝0有两个不等实数根x1，x2，所以a＝有两个根x1，x2，令g（x）＝（x＞1），g′（x）＝，令g′（x）＝0,得x＝e，当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈(e,+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝，当x→+∞时，g（x）→0，g（1）＝0，所以a＝有两个根时0＜a＜，即a的取值范围是（0，）．下证：+＞1．不妨设x1＞x2，令t＝＞1，ax1＝2lnx1，ax2＝2lnx2，所以a＝，所以+＝＝＝＝＝＝，设h（t）＝t﹣﹣2lnt（t＞1），h′（t）＝1+﹣＝＞0，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0，即t﹣﹣2lnt＞0，即t﹣＞2lnt，由lnt＞0，可得＞1，所以+＞1，得证．。
2024-2025学年广东省韶关市高三(上)质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省韶关市高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足zi =1+i ，则z ⋅−z =( )A. 1B. 2C. 2D. 42.已知数列{a n }是等比数列，若a 1=12，a 4=116，则{a n }的前6项和为( )A. 6364 B. 3132 C. 1516 D. 783.已知向量a =(1,0)，b =(1,1)，向量a +λb 与a 垂直，则实数λ的值为( )A. −2B. 2C. −1D. −34.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据(单位：t)，得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为p ，中位数为m ，平均数为−x ，则( )A. m <p <−xB. p <−x <mC. m <−x <pD. p <m <−x 5.已知函数f(x)={x 2−2ax−1,x <12x −6x ,x ≥1在R 上是单调函数，则a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. [1,2]C. (1,+∞)D. [2,+∞)6.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图.A ，B 是相邻的最低点和最高点，直线AB 的方程为y =2x +43，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=2sin(12x +π3)B. f(x)=2sin(12x +π6)C. f(x)=2sin(π2x +π3)D. f(x)=2sin(π2x +π6)7.已知tanα，tanβ为方程x 2+6x−2=0的两个实数根，则cos (α−β)sin (α+β)=( )A. −12B. 52C. 16D. 568.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 没有公共点，则双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率的取值范围是( )A. ( 62,+∞) B. (1, 62) C. (1, 2) D. ( 62, 2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）A．B．C．D．2. 在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC 是下底面．M 是BB 1上的点，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CC 1＝7，过三点A 、M 、C 1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（ ）A．B．C．D．3.抛物线的准线方程是（ ）A．B．C．D．4.已知数列满足，设，为数列的前n 项和.若对任意恒成立，则实数t 的最小值为（ ）A ．1B ．2C．D．5. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，P 是C 的渐近线上一点且位于第一象限，，若圆与直线PF 1相交，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 如果两个正整数和，的所有真因数（即不是自身的因数）之和等于，的所有真因数之和等于，则称和是一对“亲和数”．约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、费马、欧拉等.1774年，欧拉向全世界宣布找到30对亲和数，并以为2620和2924是最小的第二对亲和数，可到了1867年，意大利的16岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏——在284和2620之间还有一对较小的亲和数1184和1210．我们知道220的所有真因数之和为：，284的所有真因数之和为：，若从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为（ ）A．B．C．D．7. 若数列为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时正整数n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129.若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ）A．B．C．D．10. “存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是A．B．C．D．11.下列函数中，在上是减函数的是（ ）A．B．C．D．广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题(1)广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题(1)三、填空题四、解答题12. 我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补13.写出一个对称中心为的奇函数__________.14. 如图所示的矩形中，，，分别为线段，的中点，则的值为_______.15.在中，，点为斜边上靠近点的三等分点，点为的外心，则的值为_____.16. 从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数389121053(1)根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；(2)求这50件产品尺寸的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求.附：（1）若随机变量服从正态分布，则，；（2）.17.已知数列满足．(1)求数列的通项公式及前n 项和；(2)若________，求数列的前n 项和．在①，②，③这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 在中，角所对的边分别为．（1）求的值；（2）求的周长．19.如图，在四棱锥的展开图中，点分别对应点，，，，已知，均在线段上，且，，四边形为等腰梯形，，.（1）若为线段的中点，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面．(1)证明：平面；(2)若，且，求点到平面的距离．21. 已知函数．(1)若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．(2)若有两个零点，求满足题意的a的最小整数值．（参考数据：，）。
广东省韶关市2021-2022学年高三上学期综合测试(一)数学试题
,故
D
正确.
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
三、填空题（第 13、14、15 题每小题 5 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）.
题号 13
14
15
16
答案 -1
1 7
8 2π 3
5， [−6, 6]
3
13.【解析】由函数 是定义在 上的奇函数得
，
.
14.【解析】
，所以
又
．
15.【解析】设
2
n+1
∑ ( ) 即 2i−1 ai = Cn0 ⋅ 20 + Cn1 ⋅ 21 + Cn2 ⋅ 22 +L + Cnn ⋅ 2n = 1+ 2 n = 3n ，D 错误. 故选：AC. i =1
12.【解析】 如图(1)所示，因为线段 BE 在棱 AB 上，过 F 作棱 CD 的平行线，交 DD1 于
设平面 的法向量为
，
， BP1,− 3 , 1 ，…………8 分 2 2
当n ≥ 2时，Sn = 2n+1 − 2, Sn−1 = 2n − 2 …………………………………2 分
an = Sn − Sn−1 = 2n , 所以 an = 2n ．
综上， an = 2n n ∈ N ∗ ………………………………………………3 分 设等差数列 的公差为 d ， 由题有 b2 + b4 + b6 = 21，解得 d = 2 ………………………………………………4 分
又
，
平面
，…………………………………………………5 分
又
面
，
…………………………………………………………6 分
广东省韶关市2024届高三上学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题1. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2.如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，3.函数在内存在极值点，则( )A．B ．C ．或D ．或4. 直线关于点对称的直线方程（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）A ．若，且与不垂直，则与一定不垂直B ．若与不平行，则与一定是异面直线C ．若，且，则与可能平行D ．若，则与可能垂直7. 若虚数单位是关于x 的方程的一个根，则（ ）A ．0B ．1C．D ．28. 已知点P ，A ，B在双曲线(a ＞0，b ＞0)上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．广东省韶关市2024届高三上学期第一次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）A．B．C．D．10. 若复数满足（其中是虚数单位），则A ．2B ．4C．D．11. 如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．12.设半径为的球面上有四点，且两两垂直，若，则球半径的最小值是（ ）A ．2B．C．D ．413. 某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x 12345销量y （万件）5096142185227若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A．线性回归方程必过B．C．相关系数D ．6月份的服装销量一定为272.9万件14. 已知是复数，且为纯虚数，则（ ）A．B．C ．在复平面内对应的点不在实轴上D ．的最大值为15.已知函数，则（ ）A．的最小正周期为B ．在上单调递增C．的图象关于直线对称D ．若，则的最小值为16.已知随机变量满足，，，若，则（ ）A ．有最大值B ．无最小值C．有最大值D ．无最小值17. 已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．18. 过抛物线的焦点引圆的两条切线所形成的角的正切值为__________．四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题19. 若曲线在在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为________．20.已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.21. 在的展开式中，含项的二项式系数为_________；系数为_________．（均用数字作答）22. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．23.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值24.是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）的浓度（微克/立方米）（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？25. 如图甲，将直角边长为的等腰直角三角形，沿斜边上的高翻折.如图乙，使二面角的大小为，翻折后的中点为M .八、解答题九、解答题（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.26.如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．27. 某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大.为此有关专家提出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施.实施方案1：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5. 实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数.（1）分别求，的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元.为了实现两年后的平均利润更大，应该选择哪种方案？28. 某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随机抽取了件产品，并对每件产品进行评分，得分均在内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于产品为“优质品”．(1)求在甲生产线所抽取件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；(2)将频率视作概率，用样本估计总体．在甲、乙两条生产线各随机选取件产品，记“优质品”件数为，求的分布列和数学期望。
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 在中，设，，，则（ ）A．B．C．D．2. 为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区A ，B ，C 参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区A ，则不同的安排方法种数共有（ ）种A ．100B ．110C ．140D ．2603. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．4. 设，若，则A ．256B ．-128C ．64D ．-325.已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）A．B．C．D．6.公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线的焦距为4，则其离心率为（ ）A．B．C ．2D ．48. 双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ）A．B．C．D．9. 已知圆，恒过点的直线与圆交于两点．下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B．C．的最大值为D ．过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上10. 已知向量，，则（ ）A．B．C．D．与的夹角为11. 某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在的室温下测量水温单位随时间（单位：）的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据得到如下的散点图：广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题三、填空题四、解答题现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有（ ）A．B．C．D．12. 如图，已知函数的图象与轴交于点，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（）A．B．的最小正周期为4C．的一个单调增区间为D．图象的一条对称轴为13.设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．14. 数据1，2，2，2，3的中位数是____________.15. 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元.16. 如图，在四边形ABCD 中，，_________，DC =2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①；②；③.（1）求的大小；（2）求△ADC 面积的最大值.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知(1)求角A ；(2)若为锐角三角形，且的面积为S ，求的取值范围．18. 甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.(1)求甲能入选的概率.(2)求乙得分的分布列和数学期望；19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.20. 家庭教育是现代基础教育必不可少的一个重要组成部分，家庭教育指导师是一个新兴的行业.因为疫情的影响，某家庭教育指导师培训班转为线上教学.已知该培训班推出网课试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：第n次课第1次课第2次课第3次课第4次课或之后收费比例0.90.80.70.6现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：听课课时数1课时2课时3课时不少于4课时频数50201020假设网课的成本为每课时50元.(1)根据以上信息估计1位学员消费三次及以上的概率；(2)若一位学员听课4课时，求该培训班每课时所获得的平均利润.21. 某中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名.为配合“双减政策”该校在新学年推行“”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列列联表﹒并判断是否有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？支持实行“弹性上下班”制不支持实行“弹性上下班”制合计男教师女教师合计(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：。
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 从1，2，3，4，5，6这6个数中随机地取3个不同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为（ ）．A．B．C．D．2. 采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（ ）A ．0.46B ．0.49C ．0.51D ．0.543. 已知正实数x ，y 满足，则的最大值为（ ）A．B ．0C ．1D ．24. 如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（）A．B．C．D．5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 A ．1B．C ．2D ．36. 已知两个等差数列和的前n 项和分别是和，且，则等于（ ）A ．2B．C．D．7.函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m 的取值可以为（ ）A．B．C．D．8. 若存在m ，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（ ）A．的解集为或B ．的解集为C ．D．9.写出一个半径为且与轴和圆都相切的圆的标准方程______.10. 已知三棱锥的棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题(高频考点版)广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题(高频考点版)四、解答题面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.11.已知数列中，，前n 项和为.若，则数列的前2023项和为___________.12. 已知点在抛物线上，过点P 作两条直线分别交抛物线C 于相异两点A ，B ，若直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为________.13.已知集合，集合，．（1）若，求实数m 的值；（2）若，求实数m 的取值范围．14.如图所示，在正方体中，分别是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.15. 毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果(1)前排站3人，后排站4人(2)老师的左右两边都是女学生(3)男学生互不相邻(4)老师不站中间，且女学生不站两端16. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.(1)求B ；(2)若，求面积的最大值.。
广东省韶关市2022届高三上学期综合测试(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（ ）A ．向右平行移动个单位长度B ．向左平行移动个单位长度C ．向右平行移动个单位长度D ．向左平行移动个单位长度2. 若函数的图象向左平移（）个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为A．B．C．D．3. 已知，，则等于（ ）A．B．C．D．4. 若对于任意的实数，有，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知圆与圆相交于A ,B 两点，则四边形OACB 的面积是A．B．C．D．6.已知，则（ ）A．B．C．D．7. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．8.已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）．A．B．C．D．9. 在三棱锥中，，的内心到三边的距离均为2，平面，且三棱锥的三个侧面与底面所成的角都为，则下列说法正确的是（ ）A ．的周长为10B．C ．三棱锥的体积为D．三棱锥的内切球的体积为10. 关于函数，下列结论正确的是（ ）A ．在上单调递增B ．的图象关于直线对称C．的图象关于点（1，0）对称D ．的值域为11.已知函数的图象关于直线对称.当时，，则以下结论正确的是（ ）A ．当时，B ．若，则的解集为C．若恰有四个零点，则的取值范围是D ．若对，则广东省韶关市2022届高三上学期综合测试（一）数学试题(高频考点版)广东省韶关市2022届高三上学期综合测试（一）数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题12. 已知复数 ，则（ ）A．B．C．D ．若关于 的方程的一个根为 ，则13. 在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.14. 若正方体的棱长为1，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且面，则异面直线与所成角的正弦值为__.15. 已知向量满足，则的取值范围是_______.16. 图1所示的是等腰梯形，，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，连接，，形成一个四棱锥，如图2所示.(1)若平面平面，求证：；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求三棱锥的体积.17.已知数列的前项积为，且满足.(1)求的值；(2)试猜想数列的通项公式，并给予证明；(3)若，记数列的前项和为，证明：.18. 某种产品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （万元）之间有如下一组数据：广告费支出x 24568销售额y3040605070(1)求出样本点中心(2)求回归直线方程（其中，）19. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．20. 为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023年10月27日，乐山市招才引智系列活动——教育人才专场在西南大学北碚校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试，10位评委打分如茎叶图所示：(1)写出甲得分的中位数和乙得分的众数；(2)现有两种方案评价选手的最终得分：方案一：直接用10位评委评分的平均值；方案二：将10位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8个评分的平均值.请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？21. 已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（I）求数列的通项公式和它的前n项和；（II）若对任意不等式恒成立，求k的取值范围.条件①条件②，当，，注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分.。
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(1)证明： ；
(2)若 是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 （不在 轴上）为直线 上一点，直线 交曲线 于另一点 .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
解得 ， ，
所以 .
18．(1)证明见解析
(2)140
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到 ，然后利用 的增减性解不等式 即可.
【详解】（1）
，
，所以数列 为首项为 ，公比为 等比数列.
（2）由（1）可得
，
D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的
10．已知正方体 ，设 是棱 的中点，则（）
A． 平面
B．
C．平面 与平面 所成角的正弦值为
D．三棱锥 与三棱锥 体积相等
11．设 是抛物线 上一点， 是 的焦点， 在 的准线 上的射影为 ， 关于点 的对称点为 ，曲线 在 处的切线与准线 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则（）
A．6小时B．7小时C．8小时D．9小时
7．已知点 为坐标原点，点 是双曲线 （ ， ）的右焦点，以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线交于点 ，线段 交双曲线 于点 .若 为 的中点，则双曲线的离心率为（）
A． B． C．2D．3
8．已知函数 ，若 ，其中 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
对于D，因为 ，所以 ， ，
因为函数 在 单调递增，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，D正确，
故选：ACD.
【点睛】本题解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
13．
【分析】根据二项展开式的特点得到中间一项为第4项，然后利用通项公式求系数即可.
【详解】依题意，展开式的中间一项是第4项， ，其系数为 .
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试（一）数学试题
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若 ， ， 是 的共轭复数，则 （）
A． B．2C． D．10
3．下列区间中，函数 的单调递减区间是（）
A． B． C． D．
4．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
对于B选项，如图，因 ，所以异面直线 与AC所成角就是 与AC所成角.又连接 ，因 ，所以 为等边三角形，有 ，
得异面直线 与AC所成角为 ，故B错误.
对于C选项，如图，因平面 平面 ，所以平面 与平面 所成角等于平面 与平面 所成角.取 中点为G，连接BG， .
因 ，BG ，所以 为平面 与平面 所成二面角的平面角.设正方体棱长为2，则 ，所以 .
所以 ，因为直线 的方程为 ， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，
因为 ，所以 是 的中点，
故 ， ，代入双曲线方程，得 ，
整理，得 ， ，
所以 .
故选：A.
8．A
【分析】根据 得到 ，即 ，然后分 和 两种情况，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为 ，
由上面结论可得 ，
所以 ，其中 ，则 .
从而 ，又 是线段 中点，所以 是线段 的中点，又 ，
所以 ，所以C正确.
对于D，因为 ，所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时，最小值为4，故选项D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】结合基本不等式及对数函数的单调性估计判断A；利用导数证明 ，赋值判断B；观察不等式的结构，构造函数 ，利用导数判断其单调性，利用函数单调性比较大小，判断C；根据函数 的单调性判断D.
D选项设直线 的方程为 ，得到 ，然后根据坐标表示出 ，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】对于A，焦点到准线距离 ，A不正确.
对于B，因为 ： 的准线为 ： ，焦点为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，（或由抛物线定义知 ，所以 ，）故选项B正确；
对于C，因为 ，所以 处的切线斜率， ，而 ，所以 ，
【详解】设原来池中污染物的质量为 ，依题意，经过 小时污染物的质量 ，
所以， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C.
7．A
【分析】由圆的几何性质可得 ，结合双曲线的几何性质求出直线 的方程，与双曲线方程联立求出点 的坐标，由此可求点 的坐标，根据点 在双曲线上可得 的关系，化简求离心率.
【详解】∵以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线交于点 ，
A． 到 距离等于4B．
C． 是等腰三角形D． 的最小值为4
12．以下四个不等关系，正确的是（）
A． B． C． D．
三、填空题
13． 的展开式的中间一项的系数为___________（具体数字作答）.
14．已知 ，且 ，则 ___________.
15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即 .切比雪夫距离是 与 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即 .已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________.
设外接球的半径为 ，则 .
设三棱锥外接球球心为 ，内切球球心为 ，内切球与平面 的切点为 ，易知： ， ， 三点均在 上，且 平面 ，
设内切球的半径为 ，由等体积法：
，得 ，
将几何体沿截面 切开，得到如下截面图：
两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到 ， ，
∴ ，∴ ， 两点间距离的最大值为 .
故答案为：3；
所以 ，由方程组 ，解得 ， ，
所以， ， 两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
16．3
【分析】由题意可将三棱锥补成正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，由此可求出外接球的半径；利用等积法可求出内切球的半径，进而即可求解
【详解】由已知可证明 ， ， 两两垂直且长度均为 ，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
四、双空题
16．已知三棱锥 中， 为等边三角形， ， ， ， ，则三棱锥的外接球的半径为___________；若 ､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最大值为___________.
五、解答题
17．在 中， 为 的中点，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积.
18．已知数列 的首项 ，且满足 ，设 .
即
∴
而 随着 的增大而增大
要使 ，即 ，则 ，
∴ 的最小值为140.
(1)证明： ；
(2)设直线 交曲线 于另一点 ，若圆 （ 是坐标原点）与直线 相切，求该圆半径的最大值.
22．已知函数 ， ， .
(1)若直线 与 在 处的切线垂直，求 的值；
(2)若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求证： .
参考答案：
1．B
【分析】先化简集合B，再由并集与补集的定义求解即可
【详解】由题意， ，
故C错误.
对于D，由图， .
，又 ，故 ，
故D正确.
故选：AD
11．BCD
【分析】A选项根据抛物线方程得到焦点到准线距离 ；
B选项设 ，得到 ， ，根据坐标得到 ，或根据 即可得到 ；
C选项根据直线 ， 的斜率相等得到 ，根据 是线段 中点，得到 是线段 的中点，最后利用 和直角三角形的性质得到 即可；
故答案为：-160.
14．Байду номын сангаас
【分析】由 ，利用二倍角公式得到 ，再结合诱导公式，利用商数关系求解.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
故答案为：
15．6
【分析】由条件确定 与 两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点 的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.
【详解】因为点 是直线 ： 上的动点，要使 最小，则 ，此时 ，
5．已知 ， ， ，若 ，则向量 在向量 上的投影向量为（）
A． B． C． D．
6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水.已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10%，若要使池中污染物不超过原来的 ，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据： ， ）（）
当 时，
当且仅当， ， 时等号成立；
当 时，
，当且仅当 ， 时等号成立；因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
9．BC
【分析】利用频率分布直方图频率、频数、中位数与平均数的求法，对选项逐一检验即可.
【详解】对于A，由 ，解得 ，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在 的频率为 ，在 的频率为 ，所以女观众收看时长的中位数落在 中，不妨设为 ，
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最小正整数 .
19．北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在 中利用正弦定理可得 ，再由诱导公式得到 ，结合已知条件，即可得证；